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高二数学椭圆的离心率



高二数学椭圆的离心率(1) 1.已知椭圆 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接

AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e= _________ .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,右焦点为 F,右准线为 l, ,则椭圆 C 的

短轴的一个端点为 B,设原点到直线 BF 的距离为 d1,F 到 l 的距离为 d2,若 d2= 离心率为 _________ .

3.椭圆

为定值,且

的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,△ FAB

的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是 _________ .

4.在△ ABC 中,AB=BC, _________ .

.若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e=

5.已知长方形 ABCD, AB=4, BC=3, 则以 A、 B 为焦点, 且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为 _________ .

6.设 F1,F2 是椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点.若

AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为 _________ .

7.已知 F1、 F2 分别是椭圆 的取值范围是 _________ .

的左、 右焦点, 点 P 是椭圆上的任意一点, 则

8.椭圆

(a>b>0)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于 A,B 两点,若△ FAB 的周长最

大时,△ FAB 的面积为 ab,则椭圆的离心率为 _________ .

椭圆的离心率(2)

1.已知椭圆 _________ .

内有两点 A(1,3) ,B(3,0) ,P 为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为

2.椭圆

,F1,F2 分别是其左、右焦点,若椭圆上存在点 P 满足|PF1|=2|PF2|,

则该椭圆离心率的取值范围是 _________ .

3.设 A 为椭圆

(a>b>0)上一点,点 A 关于原点的对称点为 B,F 为椭圆的右焦点,且 _________ ; (2)若 θ∈[ ],则该椭圆离心率的取值范围

AF⊥BF,设∠ABF=θ. (1)|AB|=



为 _________ . 2 2 4.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b ,4b ], 则该椭圆离心率 e 的取值范围是 _________ .

5.已知 A,B,P 为椭圆

+

=1(m,n>0)上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 PA,

PB 的斜率乘积 kPA?kPB=﹣2,则该椭圆的离心率为 _________ .

6.已知椭圆的方程为

,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q

两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若△ PQM 为正三角形,则椭圆的离心率等于 _________ .

7.已知椭圆 与直线 B1F 交于点 P,若

的上焦点为 F,左、右顶点分别为 B1,B2,下顶点为 A,直线 AB2 ,则椭圆的离心率为 _________ .

8.如图,P 是椭圆

上的一点,F 是椭圆的左焦点,且



则点 P

到该椭圆左准线的距离为 _________ .

高二数学椭圆的离心率
参考答案与试题解析
一.填空题(共 16 小题) 1. (2013?辽宁)已知椭圆 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,

B 两点,连接 AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆右焦点为 F',连接 AF'、BF',可得四边形 AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ ABF
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中利用余弦定理算出|BF|=8, 从而得到|AF| +|BF| =|AB| , 得∠AFB=90°, 所以 c=|OF|= |AB|=5. 根 据椭圆的定义得到 2a=|BF|+|BF'|=14,得 a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆 C 的离 心率. 解答: 解:设椭圆的右焦点为 F',连接 AF'、BF' ∵AB 与 FF'互相平分,∴四边形 AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6 ∵△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= , ∴由余弦定理|AF| =|AB| +|BF| ﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF, 可得 6 =10 +|BF| ﹣2×10×|BF|× ,解之得|BF|=8 由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得 a=7 ∵△ABF 中,|AF| +|BF| =100=|AB|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

∴∠AFB=90°,可得|OF|= |AB|=5,即 c=5 因此,椭圆 C 的离心率 e= = 故答案为:

点评: 本题给出椭圆经过中心的弦 AB 与左焦点构成三边分别为 6、8、10 的直角三角形,求椭圆的 离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.

2. (2013?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,右焦点为 F, ,

右准线为 l,短轴的一个端点为 B,设原点到直线 BF 的距离为 d1,F 到 l 的距离为 d2,若 d2= 则椭圆 C 的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据“d = ”结合椭圆的半焦距,短半轴,长半轴构成直角三角形,再由等面积法可得
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2

d1= 解答:

,从而得到 a 与 b 的关系,可求得 ,从而求出离心率. ,d2= ,

解:如图,准线 l:x= 由面积法得:d1= 若 d2= ,则
2

, ,整理得 +( )﹣ a ﹣ab﹣ =0,解得
2

=0, .

两边同除以 a ,得

∴e= 故答案为: .

=



点评: 本题主要考查椭圆的几何性质,即通过半焦距,短半轴,长半轴构成的直角三角形来考查其离 心率,还涉及了等面积法.

3. (2012?四川) 椭圆

为定值, 且

的左焦点为 F, 直线 x=m 与椭圆相交于点 A、

B,△ FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△ FAB 的周长的表达式,进而求出何时周长最大, 即可求出椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的右焦点 E.如图: 由椭圆的定义得:△ FAB 的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE ﹣BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB﹣AE﹣BE≤0,当 AB 过点 E 时取等号; ∴△FAB 的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a; ∴△FAB 的周长的最大值是 4a=12?a=3;
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∴e= = 故答案: .

= .

点评: 本题主要考察椭圆的简单性质.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中,圆 锥曲线的定义往往是解题的突破口. 4. (2010?资阳三模)在△ ABC 中,AB=BC, 椭圆的离心率 e= .

.若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 AB=BC=1, 则 从而求出该椭圆的离心率. 解答: 解:设 AB=BC=1, ∴ ,

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, 由此可知



则 .



答案: . 点评: 本题考查椭圆的性质及应用,解题时要注意的正确选取. 5. (2007?福建)已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离 心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 压轴题. 分析: 2 2 由已知 c=2, =3?b =3a?a ﹣4=3a?a=4,由此可以求出该椭圆的离心率.
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解答: 解:∵AB=4,BC=3,A、B 为焦点, ∴c=2, ∴b =3a, 2 ∴a ﹣4=3a ∴a=4, ∴e= .
2

=3,

故答案: .

点评: 本题考查椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

6. (2013?浙江模拟)设 F1,F2 是椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C

交于 A,B 两点.若 AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由 AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,利用椭圆的定义可求得|AF1|=2,从而可得 a 的值,再由勾股 定理可求得 2c 的值. 解答: 解:∵F1,F2 是椭圆 C + =1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 交于 A,B 两
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点,AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,如图: ∴不妨令|AB|=3, |AF2|=4, 再令|AF1|=x, 由椭圆的定义得: |AF1|+|AF2|=2a, ①|BF1|+|BF2|=2a② ①+②得:x+4+3﹣x+5=4a, ∴a=3,x=2. 在 Rt△ F1F2A 中, ∴4c =4+16=20, ∴c= . ∴椭圆的离心率为 e= 故答案为: . .
2

=

+



点评: 本题考查椭圆的简单性质,突出考查椭圆的定义的应用,求得 a 与 c 的值是关键,考查转化与 运算的能力,属于中档题.

7. (2013?盐城一模)已知 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点,



的取值范围是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的性质:当|PF |=a+c=
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2



时,即

取得最大值,即可得出.

解答: 解:∵椭圆 ,∴a= ,b=2=c.

设 k=

=



则当|PF1|=|PF2|时,k 取得最小值 0; 当|PF2|=a+c= k= ∴k 的取值范围是 故答案为 , 取得最大值. . . , 时,则 时,即 时,

点评: 熟练掌握椭圆的性质:当|PF |=a+c= 2

取得最大值是解题的关键.

8. (2013?盐城二模)椭圆

(a>b>0)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于 A,B 两点,

若△ FAB 的周长最大时,△ FAB 的面积为 ab,则椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△ FAB 的周长的表达式,进而求出何时周长最大, 即可求出椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的右焦点 E.如图: 由椭圆的定义得:△ FAB 的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣AE ﹣BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB﹣AE﹣BE≤0,当 AB 过点 E 时取等号; ∴△FAB 的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a; ∴△FAB 的周长的最大值是 4a;
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此时,△ FAB 的面积为 ×2c× ∴a =2bc,平方得, 4 2 2 2 a =4(a ﹣c )c 4 2 即 4e ﹣4e +1=0 ∴e= . .
2

=ab,

故答案为:

点评: 本题主要考查椭圆的简单性质.在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中,圆 锥曲线的定义往往是解题的突破口.

9. (2013?松江区二模) 已知椭圆 的最大值为 15 .

内有两点 A (1, 3) , B (3, 0) , P 为椭圆上一点, 则|PA|+|PB|

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的方程,算出它的焦点坐标为 B(3,0)和 B'(﹣3,0) .因此连接 PB'、AB',根据 椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+ (2a﹣|PB'|) =10+ (|PA|﹣|PB'|) . 再由三角形两边之差小于第三边, 得到当且仅当点 P 在 AB'延长线上时,|PA|+|PB|= 10+|AB'|=15 达到最大值,从而得到本题答案. 解答:
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解:∵椭圆方程为



∴焦点坐标为 B(3,0)和 B'(﹣3,0) 连接 PB'、AB',根据椭圆的定义,得|PB|+|PB'|=2a=10,可得|PB|=10﹣|PB'| 因此,|PA|+|PB|=|PA|+(10﹣|PB'|)=10+(|PA|﹣|PB'|) ∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'| ∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+ 当且仅当点 P 在 AB'延长线上时,等号成立 综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为 15 故答案为:15 =10+5=15

点评: 本题给出椭圆内部一点 A,求椭圆上动点 P 与 A 点和一个焦点距离 B 和的最大值,着重考查 了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.

10. (2012?浙江模拟)椭圆

,F1,F2 分别是其左、右焦点,若椭圆上存在点 [ ,1) .

P 满足|PF1|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是

考点: 椭圆的简单性质.

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专题: 计算题. 分析: 由椭圆的定义可得 e(x+ 求得离心率 e 的取值范围. 解答:

)=2?e(

﹣x ) ,解得 x=

,由题意可得﹣a≤

≤a,解不等式

解:设点 P 的横坐标为 x,∵|PF1|=2|PF2|,则由椭圆的定义可得 e(x+ ∴x= ,由题意可得﹣a≤ ≤a,

)=2?e(

﹣x) ,

∴ ≤e<1,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是[ ,1) , 故答案为:[ ,1) 点评: 本题考查椭圆的定义,以及简单性质的应用,由椭圆的定义可得 e(x+ 是解题的关键. )=2?e( ﹣x) ,

11. (2012?湘潭模拟)设 A 为椭圆 椭圆的右焦点,且 AF⊥BF,设∠ABF=θ. (1)|AB|= (2)若 θ∈[ , ;

(a>b>0)上一点,点 A 关于原点的对称点为 B,F 为

],则该椭圆离心率的取值范围为 [



] .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: (1) 设A (x, y) , B (﹣x, ﹣y) , F (c, 0) , 由 AF⊥BF, 可得
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=0, 从而可得 x +y =c =a

2

2

2

2

﹣b ,|AB|=2|AO|,代入可求 (2)设左焦点为 F′,根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a,根据 B 和 A 关于原点对称可知|BF|=|AF′|, 推知|AF|+|BF|=2a,又根据 O 是 Rt△ ABF 的斜边中点可知|AB|=2c,在 Rt△ ABF 中用 α 和 c 分 别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a 中即可表示出 范围. 解答: 解: (1)设 A(x,y) ,B(﹣x,﹣y) ,F(c,0) , ∵AF⊥BF, ∴
2 2

2

即离心率 e,进而根据 α 的范围确定 e 的

=c ﹣x ﹣y =0
2 2 2

2

2

2

∴x +y =c =a ﹣b ∴|AB|=2|AO|=

(2)∵B 和 A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为 F′ 根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O 是 Rt△ ABF 的斜边中点,∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a

∴e=

=

∵a∈[

π, π]

∴ π≤α+ π≤ π ∴ ∴ 故答案为:2 ; ≤sin(α+ π )≤1

点评: 本题主要考查了椭圆的性质的应用,向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用,解题 时要特别利用好椭圆的定义. 12. (2011?江苏模拟)从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取 值范围是[3b ,4b ],则该椭圆离心率 e 的取值范围是 [ , ] .
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先设出椭圆的标准方程,在第一象限内取点(x,y) ,设 x=acosθ,y=bsinθ,进而可表示出圆 2 2 的内接矩形长和宽,进而表示出该矩形的面积,由 3b ≤2ab≤4b ,求得 3b≤2a≤4b,平方后,利
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用 b= 解答:

代入求得 a 和 c 的不等式关系,进而求得 的范围,即离心率 e 的范围.

解:设椭圆的标准方程为

+

=1,

在第一象限内取点(x,y) ,设 x=acosθ,y=bsinθ, (0<θ< 则椭圆的内接矩形长为 2acosθ,宽为 2bsinθ, 内接矩形面积为 2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab, 2 2 由已知得:3b ≤2ab≤4b , 3b≤2a≤4b, 平方得:9b ≤4a ≤16b , 2 2 2 2 2 9(a ﹣c )≤4a ≤16(a ﹣c ) , 2 2 2 2 5a ≤9c 且 12 a ≥16 c , ∴ ≤ ≤ , ] , ]
2 2 2



即 e∈[

故答案为:[

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质,椭圆的应用和椭圆的参数方程的应用.考查了学生综合分析 问题和基本的运算能力.

13.已知 A,B,P 为椭圆

+

=1(m,n>0)上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线

PA,PB 的斜率乘积 kPA?kPB=﹣2,则该椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质.

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的对称性可知 A,B 关于原点对称,设出 A,B 和 P 的坐标,把 A,B 点坐标代入 双曲线方程可求得直线 PA 和直线 PB 的斜率之积,进而求得 m 和 n 的关系,进而根据双曲线 的离心率公式即可得出答案. 解答: 解:根据双曲线的对称性可知 A,B 关于原点对称, 设 A(x1,y1) ,B(﹣x1,﹣y1) ,P(x,y) , 则 ﹣ =1,有 kPA?kPB=﹣ =﹣2,∴ =2.

∴e=

=

=



故答案为:



点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及了双曲线的对称性质,考查了学生对双曲线基础知识 的全面掌握.

14. (2012?江苏一模)已知椭圆的方程为

,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的

直线与椭圆交于 P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若△ PQM 为正三角形,则椭圆的离心率 等于 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出 FQ 的长,直角三角形 FMQ 中,由边角关系得 tan30°=
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,建立关于离心率的方程,

解方程求出离心率的值. 解答: 解:由已知得 FQ= ,MF= ,

因为椭圆的方程为

,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于

P、Q 两点, 椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若△ PQM 为正三角形,

所以 tan30°=

=

=

= =e

所以 e=

, .

故答案为:

点评: 本题考查椭圆的简单性质,直角三角形中的边角关系,解方程求离心率的大小.

15. (2011?新余一模)已知椭圆

的上焦点为 F,左、右顶点分别为 B1,B2, ,则椭圆的离心率为 .

下顶点为 A,直线 AB2 与直线 B1F 交于点 P,若

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

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分析: 求出直线 AB 的方程和直线 B F 的方程,联立方程组求得点 P 的坐标,由 2 1 B2 为 AP 的中点, 由线段的中点公式建立关于 a、c 的方程,从而求出离心率 的值. 解答: 解:由题意得 F(0,c) ,B1(﹣b,0) ,B2 (b,0) ,A(0,﹣a) . 直线 AB2 的方程为 直线 B1F 的方程为 ∵ ,即 ax﹣by﹣ab=0 ①. , 即 cx﹣by+cb=0 ②.由①②得点 P( ,∴a+c=2(a﹣c) ,

,可知



) .

,∴B2 为 AP 的中点,∴2b=0+ ,

a=3c,∴ = .椭圆的离心率为 故答案为: .

点评: 本题考查直线的截距式方程,求两直线的交点坐标,椭圆的简单性质的应用.

16.如图,P 是椭圆 到该椭圆左准线的距离为 .

上的一点,F 是椭圆的左焦点,且



则点 P

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由

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可以推出 Q 是线段 PF 的中点, 由 P 在椭圆上及 ,再求出到左准线的距离. ,

, 通过解方程组

求得 P 点横坐标为 解答: 解:∵ ∴Q 是线段 PF 的中点, ∵由 P 在椭圆上且

,设 P(a,b) ,F(﹣4,0) ,Q(

) ,



,∴



椭圆左准线 x=﹣

. .

∴点 P 到该椭圆左准线的距离 故答案: .

点评: 该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质,另外还考查运算能力.是中档题.



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