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计算固体计算力学 - 第五章 接触和碰撞问题



计算固体计算力学

博士研究生课程

计算固体力学
课程编号:017090

王生楠,谢伟

西北工业大学 航空学院
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计算固体计算力学

授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解

方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题

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计算固体计算力学

引言
接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性 连在一起的部分,这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲 击来传递。 接触实例:齿轮的齿间啮合;汽(气)轮机及发动机中叶片 与轮盘的榫接;两物体的撞击(动态接触)。 研究现状:简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究, 但只有在有限元方法及计算机出现以后,接触问题的研究才有 了长足发展,并达到实用化程度。 接触问题的特点:属边界非线性问题,边界条件不再是定解条件,而 是待求结果;两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变,并 与接触体的刚性有关。这是该问题的特点,也是困难所在。
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引言
研究内容: ? 接触模式问题:描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷 下接触状态的变化;(解决如何描述的问题) 几何约束问题:表示接触面上两物体位移所要满足的条件; (解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述?) 摩擦定律问题:反映接触面上力与位移或压力与切向力之间 的关系; 求解方法问题:建立数学方程并加以求解。

?
?

?

对以上四方面内容,不少学者进行了研究,提出了不同的理论与 方法,对同一问题,各种理论各有优缺点,尚未达到共识。基于接触 问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性,它一直是固体力学研究 的热点。
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引言
研究内容浅析: 接触模式问题:解决接触面上接触力的传递问题。 点-点(node-to-node)接触模式:将两接触体的接触面分成同样 的网格,使结点组成一一对应的结点对,假定接触力的传递 通过结点对实现,接触面上各局部区域的接触状态也相应地 按结点对来判断。优点-直观、简单、易于编程。缺点-对 于复杂接触面情形,网格结点一一对应不易做到。 点-面(node-to-surface)接触模式:先将两接触体人为地分为 主动体(master body)与被动体(slave body),并假定主 动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点(不一 定是网格结点)相接触。优点-两接触体可根据自身情况剖 分网格。缺点-方法较复杂、编程难度大。

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引言
研究内容浅析: (续) 几何约束问题:与接触模式密切相关。实际上,在接触模式确定的 同时,接触体边界的约束性也随之确定,即相应地以点对点形 式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。 摩擦定律问题:我们都知道已被广泛采用的库仑(Coulomb)摩擦 定律,其中的摩擦系数为常数。实际上,摩擦系数不仅取决于 接触体的材料,而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触 面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物 体,摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理 非常复杂,因此,目前仍然多采用库仑摩擦定律,只是将静、 动摩擦系数分开处理。

2017/1/12

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引言
研究内容浅析: (续) 求解方法问题:在这方面,许多科学家倾注了大量的精力。 经典方法:利用有限元方法,通过迭代进行求解。

数学规划方法:利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统 总势能极值(或驻值)问题,其涉及的命题可表述为:
二次 规划 问题

? 寻求一组位移矢量 ?q? ; ? 使系统总势能 ? 取驻值; ? 并满足条件 h ? q ? ? 0 。

引入单边约束条件

线性互补问题

目前,接触问题分析的方法主要还是经典方法,即从各种变 分原理出发,将几何约束和摩擦定律引入泛函,最终获得接触问 题的控制方程。这是由于大型工程结构分析,大多都采用有限元 方法,而经典方法仍然在此框架之内。

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第一节 接触面的连接条件和接触判定条件
一、接触面的连接条件

在有限元位移法中,借助于恰当的选择位移模式和形函数可以保
证连续体中单元内部的连续性和跨单元的连续性,而无需增加其他 条件。但在接触问题中,除了各相互接触物体内部变形的协调性以

外,还必须保证各接触物体之间在接触边界上变形的协调性,不可
以相互侵入,同时还包括摩擦条件—称为接触面的连续条件。
采用有限元法分析接触问题时,需要分别对接触物体进行有限元网格 划分,并规定在初始接触面上,两个物体对应结点的坐标位置相同,形成 接触对。整体和局部坐标系下,两个物体由于接触载荷引起的等效结点力 矢量分别记为
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计算固体计算力学

利用坐标变换关系可得

如果考虑摩擦力,采用载荷增量法分析,离散化后的接触条件如下:
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分离的结点对

粘结结点对

滑移结点对

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第一节 接触面的连接条件和接触判定条件
二、接触面判定条件

接触求解的迭代过程首先假定可能接触区内各接触点对的接触状
态,根据相应的接触定解条件求解。但是,一般来说,开始假定的 接触状态并不符合实际,如何确定三种接触状态的分界点是接触问

题处理中最基本的,在有限元中,这一问题可以归结为确定积分界
限的问题。而这一问题只有通过迭代过程才能求解,每次迭代必须 逐个检查接触点对的接触状态是否需要修改。
接触点对状态判定条件只能用于分析滑动量较小的情况。对于接触间

有较大相对滑动的情况,须用点-线,点-面或面-面接触条件。这些判定条
件要比点对判定条件复杂得多。
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计算固体计算力学 接触判定条件

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第二节 接触问题的罚函数法
产生接触的两个物体必须满足无穿透的约束条件,数学上施加 无穿透约束的方法有拉格朗日乘子法,罚函数法以及直接约束法。

用拉格朗日乘子法、罚函数法或增广拉格朗日乘子法将接触约束条
件引入到系统的总泛函中,再根据变分原理或虚功原理得到系统的 总体平衡方程,求解的迭代过程实际上是一个搜索接触状态的过程

。Abaqus/Standard中应用的是罚函数法——将约束条件引入势能
泛函分析。

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一、接触点对 将被动接触块上的结点P和主动接触块上与其接触的Q点构成一个
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 , uP , xQ , uQ 接触对。它们在tk+1时刻的坐标的坐标和位移分别是 xP

点Q一般不是单元的结点,其坐标和位移可由所在接触块上结点和 位移插值得到。假设主动接触块是二维的4结点单元,则有
xQ ? ? N i ??Q ,?Q ?xi
i ?1 4

uQ ? ? N i ??Q ,?Q ?ui
i ?1

4

x k ?1 ? x k ? ?x k

uk ?1 ? uk ? ?uk

其中: ?Q ?Q --Q点在接触块的自然坐标。

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接触对P和Q间的相对位移为。

uP ? uQ ? N c d c
其中
N c ? ? I3?3 ? N1 ? N2 ? N3 ? N4 ?
d c ? uT P

?

T u1

T u2

T u3

T u4

?

N i ? N i I3?3

i ? 1, 2, 3, 4

为方便引入接触条件,引入局部坐标系
T T c c ? u? ? u ?? T u ? u ? T N d ? ? P Q P Q
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二、有限元方程 粘结接触状态 由罚函数法有,局部坐标系下一个接触点对的接触力引起的等

效结点力向量

和罚系数有关的矩阵

F ?k ?1 ? ???T T N c d c ? ??d ?
整体坐标系下接触力等效结点力向量

F
对称阵

k ?1

?? N

? ?
c

T

T ??T N d ? N
T c c

? ?
c

T

T ??d ?

? k ?1 F k ?1 ? ? Kc d c ? F

--系统的等效结点接触力向量

代入离散系统的平衡或运动方程

??k ?1 ? ? K ? K ? d k ?1 ? F k ?1 ? F ? k ?1 Md c

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第三节 接触单元
应用有限单元法分析接触问题,一种最为直接的方式是在接触 面上设立一种特殊形式的单元,一般称为接触单元,也称为界面单 元。通过这些单元与接触物体的连接、组装,建立接触系统的整体 的平衡方程。常用的接触单元,有两结点单元、岩土力学中的 Goodman单元、无厚度的四边形单元、薄层单元及无厚度六面体空 间单元等。

具体内容参考《线性与非线性有限元及其应用》,郭乙木等著

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第四节 Abaqus中的接触问题

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