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浙江省历年高数竞赛试题及解答



浙江省首届数学分析竞赛试题(2002.12.7)
一. 计算题(每小题 5 分,共 30 分)

1.求极限 lim

1 ? cos x 。 x ?0 (e x ? 1)( 1 ? x ? 1)

2.求积分 3.设 y 4.设

?? | xy ?1| dxdy , D ? {( x,

y) 2 ? x ? 2, 2 ? y ? 2}。
D
x

1

1

? x 2 e x 是方程 y?? ? ay? ? by ? cehx 的一个解,求常数 a, b, c, h 。
0

且当 x ? ?1 时,f ( x)[ ? f ( x) 连续,

xe x , 求 f ( x) 。 f (t )dt ? 1] ? 2(1 ? x)2

5.设 Sn

? ? arctan
k ?1

n

1 2k 2

,求 lim Sn 。
n ??
1

2 6.求积分 1 (1 ? 2

?

1 x? x ? )e x dx 。 x

二.

x2 y 2 ? ? 1内的面积。 (15 分)求平面 x ? 2 y ? 2z ? 1 含在椭圆柱体 4 9
(20 分)证明:

三. 四.

?0

2?

sin( x 2 )dx ? 0 。

( 20 分 ) 设 二 元 函 数

f ( x, y)

有一阶连续的偏导数,且

f (0,1) ? f (1,0)
y
五.

。证明:单位圆周上至少存在两点满足方程

? ? f ( x, y ) ? x f ( x, y ) ? 0 。 ?x ?y
(15 分)设 a1

? 1,a2 ? 1,an? 2 ? 2an?1 ? 3an ,n ? 1 ,求 ? an x n
n ?1

?

的收敛半径,收敛域及和函数。

2002 年浙江省高等数学竞赛试题及解答
一、计算题 1. 求极限 lim
x?0

? ex ? 1?

1 ? cos x

?

1 ? x ?1

?

.

解:原式 ? lim
x?0

?1 ? cos x ? ?

1? x ?1

?e

x

? 1? x

?

? 2lim
2. 求积分 I 解:记 D1

1 x 1 ? cos x ? 2 ? 1 ? ? 1. 2 x?0 e x ? 1 2 x ? ?

1 1 ? ? ? ?? xy ? 1 dxdy , D ? ?? x, y ? : ? x ? 2, ? y ? 2 ? . 2 2 ? ? D
? ?? x, y ? : xy ? D, xy ? 1? , D2 ? ?? x, y ? : xy ? D, xy ? 1? ,

I ? ?? ? xy ? 1? dxdy ? ?? ?1 ? xy ? dxdy
D1 D2

? ?1 dx ? 1? xy ? 1? dy ? ? 1dx ? ?1 ? xy ? dy
2 x 2
2?1 ? 2 ?? 1 1? ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 1 ?? ? ?1 ? x ? 22 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? dx ? ?1 ?? ? ? ? x ? 2 ? 2 ? ? dx x ? ? x ?? 2? 2 ? x 2 ?? 2 ?2 ? 2 ?? x
2? 2? 1 1 1 1? ? ? ?1 ? 2 x ? ? 2 ? dx ? ?1 ? x ? ? ? dx 2 x 8 2 x 2? ? 2? 2?
2?1 7 1 5 ? ? ?1 ? x ? ? ? dx x 2? 2? 8

2

2

2

1 x 1 2

?

17 1 1? ? 1? 5? 1? ? ? ? 22 ? 2 ? ??l n 2 ? l n ? ? ? 2 ? ? 8 2? 2 ? ? 2? 2? 2?

?

15 ? 2ln 2 . 64
2 x

3. 设 y ? x 解:

e

是方程 y?? ? ay? ? by ? ce 的一个解,求常数 a , b , c , h .
hx

y? ? ? x 2 ? 2 x ? e x ,

y?? ? ? x 2 ? 4 x ? 2 ? e x ,
代入方程,得 ?
2 x hx ??1 ? a ? b ? x ? ? 4 ? 2a ? x ? 2? ? e ? ce ,

于是

?h ? 1 ?2 ? c ? , ? 4 ? 2 a ? 0 ? ? ?1 ? a ? b ? 0
? ?2 , b ? 1 , c ? 2 , h ? 1 .

故a 4. 设

f ? x ? 连续,且当 x ? ?1 时,

x xe x ? ? ,求 f ? x ? . f ? x ? ? f ? t ? dt ? 1 ? ? 0 ? 2 ?1 ? x ?2 ? ?

解:由条件可知

f ? 0? ? 0 ,

? ? ?

??
x 0

x

0

2 ? ? ?2 f ? t ? dt ? 1 ? ? xe x ?1 ? x ? , ?

?

??

f ? t ? dt ? 1 ? 1 ? ? tet d ? ?1 ? t ?
0

?

2

x

?

?1

?
x 0
x

? ? xex ?1 ? x ? ? ? et dt
?1

? ? xe ?1 ? x ? ? e ? 1
x ?1

ex ? ? 1, 1? x


??

x

0

x ex ex f ? t ? dt ? 1 ? ? , f ? t ? dt ? 1 ? 1? x 1 ? x ?0

?

2

f ? x? ? ?

xe

x 2 3 2

2 ?1 ? x ?
n

.

5、 设 S n

? ? arctan
k ?1

1 ,求 lim S n . n ?? 2k 2

解:利用公式 arctan x ? arctan y

? arctan

x? y , 1 ? xy

arctan

1 1 1 , ? arctan ? arctan 2 2k 2k ? 1 2k ? 1

S n ? ? arctan
k ?1

n

n 1 1 1 ? ? ? ? arctan ? ? arctan ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 1 ? k ?1 ?

1 ?arctan ?1 a r c t a n , 2n ? 1
lim Sn ?
n??

?
4

;

? arctan 2k
k ?1

?

1
2

?

?
4

.

由 arctan
?

2 1 1 , ? arctan ? arctan 4k 2 ? 4k ? 1 2k ? 2 2k
2



? arctan 4k
k ?2

2 1 ? arctan . ? 4k ? 1 2
1

1 ? x? ? 6. 计算积分 I ? ?1 ? 1 ? x ? ? e x dx . x? 2?
2

解法一

1 x? ? x? 1 ?? 1 ? x? 1 1 ? x? 1 ? ? x x x x ? e ? ? x ? ? e ? ? xe ? , 因为 ? 1 ? x ? ? e x? x? ? ? ? ?

2 ? 1 x? ? ? x? 1 ? ? 3 5 x x 所以 I ? ?1 ? xe ? dx ? ? xe ? ? e 2 . 2? ? ? ?1 2
2

2

解法二

I ? ?1 e
2 2

2

x?

1 x

1 ? x? ? dx ? ?1 ? x ? ? e x dx x? 2?
2

1

? ?1 e
2

x?

1 x

dx ? ?1 xde
2

2

x?

1 x

? ?1 e
2

2

x?

1 x

1 2 x? ? x? 1 ? 3 5 x x dx ? ? xe ? ? ?1 e dx ? e 2 . 2 ? ?1 2 2

2

解法三

分析:观察被积函数的特点,令

u?

1 做代换,利用定积分的“递推方法”求 I , x



1 ? u ,则 x

I ??

1 2 2

1 ? 1 ? u ?u ? 1 ? ?1 ? ? u ? e ? ? 2 ? du ? u ? ? u ?

??

1 2 2

? 1 ? u ?1 ? ? u ? e ? u ?
1 u u

1 ? u ? d e ? ? ? ?

1 1 1 ?? 1 ? 1 1 ? u u1 ? ? u u 2? 2? ? ??1 ? ? u ? e e ? ? ? ?1 ? ? u ? e e du ? ? ? ?1 ? 2 ? e e du 2 2 u ? ? ? u ? ? ?? u ?2

1 2

? 3e ? ?
5 2

5 2

1 2 2

1 1 1 1 1 ? u? u ? ? u? u 2? ? ?1 ? ? u ? e du ? ?2 ?1 ? 2 ? e du u ? ? ? u ?

1 1 1 u? 1? ? 1 ? u? u u ? 2 ? 3e ? ?1 ?1 ? ? u ? e du ? ? e d ? u ? ? 2 u u? ? ? 2? 2

5 ? ? ? 3e ? I ? ? e ? ? 3e 2 ? I , ? ?2
5 2 1 u? u

1 2

3 5 所以 I ? e 2 . 2
二、求平面 x ? 2 y ? 2 z ? 1 含在椭圆柱体

x2 y 2 ? ? 1 内的面积. 4 9

? 1 x2 y 2 ? 解: z ? x ? y ? 1, D ? ?? x, y ? : ? ? 1? , 2 4 9 ? ?
S ? ?? 1 ? ? z x ? ? ? z y ? dxdy
2 2 D

? ??
D

?1? 1 ? ? ? ? 12 dxdy ?2?

2

?

3 3 d x d y ? ? ? ? 2 ? 3 ? 9? . ?? 2D 2

三、证明: 证明:令 x

?

2?

0

sin ? x 2 ? dx ? 0 .

2

? u,



?

2?

0

sin ? x 2 ? dx ? ? sin u ?
2? 0

1 2 u

du

2? sin u 1 ? ? sin u ? ? ?? du ? ? du ? ? 2? 0 u u ?

? sin ?? ? t ? ? 1 ? ? sin u ? ?? du ? ? dt ? 0 2? 0 u ? ?t ?
? ? sin u 1 ? ? sin u ? ? ?? du ? ? du ? 0 2? 0 u ? ?u ?

?

1 ? 1 ? 1 sin u ? ? ? 2 0 u ?? ? u

? ? du ? 0 . ?

同理可证

?

2?

0

sin x dx ? 0 . x

四、设二元函数

f ? x, y ? 有一阶连续的偏导数,且 f ? 0,1? ? f ?1,0? ,
? ? f ? x, y ? ? x f ? x , y ? ? 0 . ?x ?y

证明:在单位圆周上至少存在两点满足方程 y 证明:令 x ? cos? , y ? sin ? , F 因为

?? ? ? f ? cos? ,sin? ? , ? 0 ? ? ? 2? ? ;

f ? x, y ? 有一阶连续的偏导数,所以 F ?? ? 可导.
?f ?f ?f ?f ? ? sin? ? ? cos? ? ? y ? x , ?x ?y ?x ?y
? ?0? ? f ?1,0? , F ? ? ? ? f ? 0,1? , F ? 2? ? ? f ?1,0? , 2 ? ?

F ? ?? ? ?

由条件,得 F

?

?? ? ?? ? F ? 0 ? ? F ? ? , F ? ? ? F ? 2? ? , ?2? ?2?
利用罗尔中值定理,得 存在 ?1 ? ? 0, 存在 ? 2 ? ?

? ?

??

? ,使得 F? ??1 ? ? 0 , 2?

?? ? ,2? ? ,使得 F ? ??2 ? ? 0 , ?2 ?

即得在单位圆周上至少存在两点满足方程 y 五、设 a1
?

? ? f ? x, y ? ? x f ? x , y ? ? 0 . ?x ?y

? 1 , a2 ? 1 , an?2 ? 2an?1 ? 3an , ? n ? 1,2,
n

?,



?a x
n ?1 n

的收敛半径,收敛域及和函数.

解:由条件可知,

an?2 ? an?1 ?3? an?1 ? a? n, an?2 ? 3an? 1 ? ? ? an? 1? 3an ? ,
于是 an ? 2

? an?1 ? 3n ? a2 ? a1 ? ? 3n 2 ,
n n

an?2 ? 3an? 1 ? ? ? 1 a ?1 ? ? 2 ? ? a 2? 3 ? ? ?1,
从而 4an?1

an?1
因此 an

? ? 1 ? ? 3 ? ? ?1? ? 2
? 2 3n ? ? ?1?
n

n



n



? n ? 1,2, ? ? n ? 1,2, ? .

?

1 n?1 n ?1 3 ? ? ?1? 2

?

?



因为 lim

an?1 ? lim n?? a n?? n

3n?1 ? 3 , n ?1 ? 1? 1? ? ? ? ? 3?

? ?1? 3?

n

所以收敛半径 r
?

?

1 ; 3

1 ? ? n?1 n ? ? n ?1 ? 1 1? an x ? ? ? 3 x ? ? ? ?1? x n ? 的收敛域为 ? ? , ? ; ? 2 ? n?1 ? 3 3? n ?1 n ?1 ?
n

? an xn ?
n ?1

?

1 ? ? n?1 n?1 ? ? n ?1 x ? ? 3 x ? ? ? ?1? x n?1 ? 2 ? n?1 n ?1 ?
1 ? 1 1 ? x? ? ?. 2 ? 1 ? 3x 1 ? x ?

?

(五) 、设 已知 an

?an? , ?bn? 为满足 ea

n ?1

? an ? ebn , ? n ? 1,2,
证明:

? 的两个实数列,
n

? 0 , ? n ? 1,2,

? ,且 ? an 收敛.
n ?1

?

?b
n ?1

?

也收敛.

证明:由

?a
n ?1

?

n

收敛,得 lim an
n??

?0,

由e 由

bn

? ean?1 ? an ,得 lim bn ? 0 ,
n ??

ean?1 ? an ? ebn ? ebn ,得 an?1 ? bn ,

显然

??e
n ?1

?

an ?1

?e

bn

? ? ?a
n ?1

?

n

收敛,

因为 lim
?

an?1 ? bn 1 ? lim ? 1, a b n?? e n ?1 ? e n n?? e?n
n ?1

所以

??a
n ?1 ?

? bn ? 收敛, bn ? an?1 ? ? an?1 ? bn ? ,

bn ? an?1 ? bn ? an?1 ,
于是

?b
n ?1

n

收敛,

?b
n ?1

?

n

收敛.

或者 an?1

? ln ebn ? an ? bn ? ln 1 ? ane?bn
n ? bn

?

a ?b lim n?1 n n?? an
? n ?1

? ? ?, ln ?1 ? a e ? ? lim ? 1,
n??

an
?

? ? an?1 ? bn ? 收敛,从而 ? bn 收敛.
n ?1

(五) 、设 an

? 0 , ? n ? 1,2,

? ,且 e

an

? an ? e

bn



? n ? 1,2, ? ,若 ? an 收敛.,
n ?1

?

试证

?a
n ?1

?

bn
n
?

收敛.

证明:由

?a
n ?1

n

收敛,得 lim an
n??

?0,

由e

bn

? ean ? an ,得 lim bn ? 0 ,
n ??

bn ln e an ? an an bn ? lim 2 ? lim 因为 lim 2 n?? a n?? a n?? an n n

?

?

? lim ?
x?0
?

ln ? e x ? x ? x2
bn n ?1 an
?

?

1 , 2



? an 收敛,所以 ?
n ?1

收敛.
?

(五) 、 设 an

? 0 ,? n ? 1,2,

? ,? an 收敛,且 ea
n ?1

n

? an ? ean ?bn ,? n ? 1,2,

?,

证明:

?b
n ?1 ?

?

n

也收敛.

证明:由

?a
n ?1

n

收敛,得 lim an
n??

?0,
n ??

再由 e

an

? an ? ean ?bn ,得 lim bn ? 0 ,

an ? bn ? ln ean ? an

?

?,
x

bn ? ln ean ? an ? an ,

?

?

lim
n??
?

ln ean?1 ? an an

?

? ? lim ln ? e
x?0?
?

? x?

x

? 0,

? ln ean ? an
n ?1

?

?

收敛,所以

? bn
n ?1

收敛,

?b
n ?1

?

n

收敛.

an ? bn ? ln ean ? an

?

?,

an ? bn an a ?b ? lim n 2 n 因为 lim n?? n?? an an

? lim
n??

ln ean ? an a
2 n

?

? ? lim ln ? e
x?0
?

x

? x?
2

x

?

1 , 2

所以

an ? bn ? an n ?1
?

收敛,

?a
n ?1

?

bn
n

发散.

2004 年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(工科类) 一. 计算题(每小题 15 分,满分 60 分)

x2 ?0 e cos tdt ? x ? 2 1. 计算: lim 。 x?0 ? x ? tan x ? x ? 1 ? 1
x t

?

?

解: 原式 ? lim
x?0
0 0

2? et cos tdt ? 2 x ? x 2
0

x

? x ? tan x ? ? x

2e x cos x ? 2 ? 2 x ? lim x ?0 2 x ? tan x ? x sec 2 x 2e x cos x ? 2 ? 2 x ? lim x ?0 x ? tan x ? x tan 2 x
0 0

2e x cos x ? 2 ? 2 x ? lim x ?0 x tan 2 x ? 3 ? x ? tan x x ? ? 3 x x3 ? ? ?

0 0

? x ? tan x x tan 2 x ? x ? tan x x tan 2 x 其中 lim ? ? ? lim ? ? lim 3 3 3 x?0 x?0 x?0 x x x x3 ? ?
1 ? sec 2 x x tan 2 x ? tan 2 x x tan 2 x 4 ? lim ? lim ? lim ? lim ? ? x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 3x 2 x3 3x 2 x3 3

3 2e cos x ? 2 ? 2 x 3 e x cos x ? e x sin x ? 1 ?? lim 原式 ? ? lim 4 x ?0 x3 2 x ?0 3x 2
x

0 0

1 e x cos x ? e x sin x ? e x sin x ? e x cos x ? lim 2 x ?0 2x

0 0

1 ?2e x sin x 1 ?? lim ? . 4 x ?0 x 2
① lim

0 0

tan x ? sin x 在课堂上作为一个典型的例子; x?0 x3

② tan x ? x ? O ( x 3 ) 2. 计算: 解: 原式 ?

?
0

?

0

? ? cos x dx 。 x2 ? ? x ? 2004
? ? cos x 2 ? ? ?2
dx

?

?

? ? 2004 ?x? ? ? 2? 4 ?
?

? ? 2?
?

2

t ?
2

? ? sin x ?2
4

dx
?

? 2004 dx ? ? 2?
?

???
2 ?

?

?
t2 ?
1

sin x t2 ?

2

?

2

4

? 2004

2

?2
4
2

dx

? 2004
d t 2004 ?

?

2004 ?

?2
4

???
2 ? 2

?

?

? ? ? t ? ? ?1 2 ? ? ? ? 2004 ? ? 4 ? ?
?
2

?2
4

?

1 2004 ?

?2
4

arctan

t 2004 ?

?2
4
?

?
2

?

1 2004 ?

?

2

arctan

?
2004 ?

?

2

.

4

4

其他想法:

后者 ??

?
2

? ? ? cos x ? ? cos x dx ? ? ? x2 ? ? x ? 2004 ?2 x2 ? ? x ? 2004dx ? ? x ? ?t ? ? ? cos( ? t) 2 ? ? cos x

原式 ?

?

2 0

2

x ? ? x ? 2004

dx ?

?

2 0

(t ? ) ? ? (t ? ) ? 2004 2 2
2

?

2

?

dt

??2
0

?

t2 ?

? ? sin t ?2
4

dt , 看来做不下去了!!!

? 2004

3. 求函数 f ? x, y ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 15 y 在

? ? ? x, y ? 4x2 ? y 2 ? 1 上的最大、小值。
解: ①在圆内(开集)

?

?

f x? ? x, y ? ? 2 x , f y? ? x, y ? ? 8 y ? 15 , 解 得 驻 点 (0, ?
但不在圆域内.

15 ), 8

②在圆周上 4 x 2 ? y 2 ? 1 , 求 f ? x, y ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 15 y 的极 值, 是条件极值问题.

F ? x, y ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 15 y ? ? (4 x 2 ? y 2 ? 1)
Fx? ? x, y ? ? 2 x ? 8? x ? 0 Fy? ? x, y ? ? 8 y ? 15 ? 2? y ? 0

F?? ? x, y ? ? 4 x 2 ? y 2 ? 1 ? 0
解得: 驻点 (0,1),(0, ?1)

f (0,1) ? 19 , f (0, ?1) ? ?11
故最大值为 f (0,1) ? 19 , 最小值为 f (0, ?1) ? ?11. 4. 计算:

?? max ? xy, x ? d? ,其中
3 D

D ? ?? x, y ? ?1 ? x ? 1,0 ? y ? 1? 。
y

?? max ? xy, x ? d?
3 D

y ? x2

? ?? xyd? ? ?? x3 d? ? ?? x3 d? ? ?? xyd?
D1 D2 D3 D4

1 ? 6
这题不能用对称、奇偶性等性质来做! 二. (本题满分 20 分) 设 f ? x ? ? arc tan 解: f ?( x) ? ?

D3 D4
o

D1

D2

x
1? x ,求 f n ? 0 ? . 1? x

1 , 1 ? x2

则 (1 ?

x 2 ) f ?( x) ? ?1 ,

则两边对 x 求 (n ? 1) 阶导数,由莱布尼茨公式得:

(1 ? x 2 ) f ( n ) ( x) ? 2(n ? 1) xf ( n?1) ( x) ? n(n ? 1) f ( n?2) ( x) ? 0 ,
令x

? 0 ,得:

f ( n ) (0) ? ?n(n ? 1) f ( n?2) (0) ,而 f ?(0) ? ?1, f ??(0) ? 0 ,


f

(n)

当n为偶数; ? 0, ? (0) ? ? . n ?1 2 ? ?(?1) n!, 当n为奇数;

? 3 3? x2 y2 ? 1 在 A ?1, 三. (本题满分 20 分) 设椭圆 ? ? 点的切线交 y 4 9 2 ? ?
轴于 B 点,设 l 为从 A 到 B 的直线段,试计算

? sin y ? ? 3 y cos y ln ? x ? 1? ? 2 3x ? 3 ? dy 。 ? ?dx ? ? ? ? ? x ? 1 ? l ? y
x2 y2 ? 1 两边对 x 求导得: 解: 方程 ? 4 9
B
C

x 2y ? y? ? 0 , 2 9
则 y ? x ?1 ? ?

l

? 3 3? A ?1, ? ? 2 ?

3 , 2
3 x ? 2 3, 0 ? x ? 1 2

O

直线段 l 的方程为: y ? ? 令 P( x, y) ?

x

sin y ? 3y , x ?1

Q( x, y) ? cos y ln ? x ? 1? ? 2 3x ? 3 ,


?P cos y ?Q cos y ? ? 3, ? ?2 3 ?y x ? 1 ?x x ? 1

? ?? ? x ?1
l

y ?sin

? 3y ? d x ?? l n? x ? ?1 ?cosy ? ?
BC

2 ?x 3 ? ?

3d y

? ?? 3 3d? ?
D

?

?

CA

?

? 3 3 ?? d? ? 3 ?
D

3 3 2 2 3

3 ? ? sin 3 1? 3 ? 2 dy ? ? ? ? 3? 3 ? dx 0 x ? 1 2 ? ? ? ?

?

9 3 3 3 9 21 3 3 ? ? ln 2 ? sin ? ? ? ln 2 ? sin . 4 2 2 2 4 2
b

四. (本题满分 20 分) 设函数 f 连续, a ? b ,且 ? f ? x ? dx ? 0 ,
a

试证明: f ? x ? ? 0 , x ? ? a, b ? 。 证明: ① ? f ? x ? dx ? lim ? f (?i ) ?xi
b a n

? ?0

i ?1

由于 a ? b , 故 ?xi ? 0 , 无论 ? a, b ? 怎么分、?i ? ? xi ?1 , xi ? 怎么取,

lim ? f (?i ) ?xi 存在且相等, 即 lim ? f (?i ) ?xi ? 0 ,
? ?0
i ?1

n

n

? ?0

i ?1

由于 f 连续,故 f ? x ? ? 0 , x ? ? a, b ? ; (理由说的不够充分) ②假设存在 x0 ? ? a, b ? ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,不妨设 f ? x0 ? ? 0 , 则 ?? ? 0, ?x ? [ x0 ? ? , x0 ? ? ], 都有f ? x ? ? 0 , 由于函数 f 连续,故在 [ x0 ? ? , x0 ? ? ] 内存在最大、最小值分别 为 M 0 , m0 ,显然 M0 ? 0, m0 ? 0 , 而 ? f ? x ? dx ? ?
a b x0 ?? x0 ??

f ? x ? dx ? 2? m0 ? 0 与 ? f ? x ? dx ? 0 矛盾,
a

b

故假设错误,即 f ? x ? ? 0 , x ? ? a, b ? 。 五. (本题满分 15 分) 判别级数 ?
n
?

1

n ?1 n

? n!?
?

2

的敛散性。

?n? 解:斯特林公式: n! ? 2n? ? ? ? ? e12 n ,0 ? ? ? 1 ?e?
极限形式: lim
n??

n !e n n
n? 1 2

?

1 ? 1. 2?

?
?
?

?

1

n ?1 n

? n!?

2

??
n ?1

?

1 ? n ? 2n? ? ?
1
2n

n ? ? n ? 12 n ? ?? ? ?e ? ? ?e? ?

2

1

n ?1 n

? n!?

2

??
n ?1 n

?

?n? 2n? ? ? ? ? e 6 n ?e?
收敛.

?

??
n ?1

?

1
?

n2 ? e 6n

2

?2

n

2n?

??

1 ?2 n ?1 n ? e
2

?

故? 判别 ? n
n ?1 ?

?

1

n ?1 n

? n!?

2

1 的敛散性: n!
1 ?0 n n!
n

证明: lim
n??

n ?n? (1) 证明 n! ? , 即 ? ? ? n ! 3 ?3?
n

1) 当 n ? 1 ,

显然成立;
n

?n? 2) 假设 n 时也成立,即 ? ? ? n !; ?3? ? n ?1? 3) 当 n ? 1 时, ? ? ? 3 ? ? n ?1? ?? ? ? n ?
n?1 n?1

? n ?1 n ? ?? ? ? ? n 3?
n?1

n ?1

? n ?1 ? ?? ? ? n ?

n ?1

?n? n ?? ? ? ?3? 3

n

n ? n ?1? ? n!? ? ? ? 3 ? n ?

? (n ? 1)!?

n 3(n ? 1)

1 ? n ?1 ? ? ? ? ? (n ? 1)! 3? n ?
?? n ? 1 ? n ? ? ? 而 ?? ? ? 是单调递增数列, n ? ? ? ? ? ?
而且有界(证明两个重要极限里第 2 个).

n

? (n ? 1)!

?

1 3 1 3 ? lim ? 0. , 而 , 由夹逼定理得 : lim ? 0 n n?? n n ! n?? n n! n

?
n

1

? n!?

2

? 9 9 ? 2 ,而 ? 2 收敛, 由比较判别法得: n n?1 n

?

?

1

n ?1 n

? n!?

2

也收敛.

六. (本题满分 15 分) 设函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上连续,证明:
2 ? 1 f ? x? ? ? 1 f ? x? dx ? ? ? 2 dx , ? t ? 0 ? 。 ? ?0 2 2 0 t ? x2 t ? x 2 t ? ? 2 2 1 1 f ? x? ? 1 f ? x? ? 1 dx ? ? ? 2 dx ? ? 2 dx 证明: ? ? 2 0 t ? x2 0 t ? x2 0 t ? x2 ? ? 2

2 2 1 1 1 f ? x? ? 1 f ? x? ? arctan ? ? 2 dx ? ? ? 2 dx . t t 0 t ? x2 2t 0 t ? x 2

许瓦兹不等式:

? n ? ? n 2? ? n 2? ①有限项情况: ? ? ai bi ? ? ? ? ai ? ? ? ? bi ? , ai ? 0, bi ? 0, i ? 1,2, , n ? i?1 ? ? i?1 ? ? i?1 ?
(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)

2

? ? ? ? ? 2? ? ? 2? ②可推广到可数情况: ? ? ai bi ? ? ? ? ai ? ? ? ? bi ? ; ? i?1 ? ? i?1 ? ? i?1 ?
③均值的形式: ④积分的形式:

2

? E (?? )?

2

? E (? ) E (? ) ;

??

b

a

f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

?

2

b

b

2005 年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
一、计算题(每小题 12 分满分散 60 分) 1. 计算

?

1

?1

|1 ? 2 x | dx

? ln(1 ? x) ,x ?0 ? 2. 设 f ( x) ? ? 可导,求常数 a , b 的值 x ? ?ax ? b, x ? 0
? n 2?n3? 3. 计算 lim ? ? ? n ?? ? 2 ? ? sin x dx 4. 计算 ? 3cos x ? 4sin x
5. 求函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1| ? | x ? 3| 的值。 二、(本题满分 20 分)设 f ( x ) 在 x ? 0 点二阶可导,且 lim 求 f (0), f '(0) 和 f ''(0) 的值。 三、(本题满分 20 分)证明:当 0 ? x ?
n

f ( x) ?1, x ? 0 1 ? cos x

?
2

时, tan x ? x ?

1 3 x 3

四、(本题满分 20 分)设

A ? ? 2?

? ? (1 ? sin x)2 sin 2 x 10(1 ? sin 2 x) 2 2 dx , B ? dx , C ? dx , ? ? 2 2 2 ? ? ? ? x 2 ? cos 2 x ? 1 ? sin x 4 x ? ? 2 2 2

?

试比较 A,B,C 的大小。 五、(本题满分 15 分)设 ak ? (1) 求 lim ak ;
k ??

1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 k k ?1 k ? 2

?

1 , k ? 1, 2,3, k ? 2k
2

.

(2) 证明数列 ak 单调减少。 六、( 本 题 满 分 15 分 ) 对 下 列 f ( x ), 分 别 说 明 是 否 存 在 一 个 区 间 [a, b],(a ? 0), 使

{ f ( x) | x ?[a, b]} ? {x | x ?[a, b]} ,并说明理由。
(1) f ( x ) ?

1 2 2 x ? 3 3

(2) f ( x) ?

1 x

(3) f ( x ) ? 1 ?

1 x

2005 年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题解答
一.1. 解

?

1

?1

1 ? 2 x dx

? ?1 ? 2 x ? 1 ? d x ??
2

1

1 2 ?1

x ? 1 ? 2?
2

dx

? ? x ? x? 1 ? ? x ? x
2 1 2

?

1 2 ?1

? 1 1? ? 1 1 ? ?0?? ? ??? ? ?? 2 ?4 2? ?2 4?

?

1 5 ?2? . 2 2
f ? x ? ? lim ln ?1 ? x ? ? 1, ?
x ?0 1 x

2. 解: lim ?
x ?0

x?0?

lim f ? x ? ? lim ? ax ? b ? ? b , ?
x?0

因为

f ? x ? 在 x ? 0 处连续,所以 b ? 1,

f ?? ? 0 ? ? a ,

f ? x ? ? f ? 0? ln ?1 ? x ? ? x f ?? ? 0 ? ? lim ? lim x?0? x?0? x x2
1 ?1 ? ? 1 1 1 ? x ? lim ? lim ? ? ? , ? ? x ?0 ? x ?0 ? 2x 2 1 ? x 2 ? ? ? ?


f ? x ? 在 x ? 0 处可导, f ?? ? 0 ? ? f ?? ? 0 ? ,
?? 1 . 2
n

于是 a

? n 2? n3? 3. 解: lim ? ? ? 2?3 ? 6 . n?? 2 ? ?
4. 解:

? 3cos x ? 4sin x dx ,
? ? 4 A ? 3B? s i n x? A? 4 B ? 3 ?
, co x s

sin x

sin x ? A? 4sin x ? 3cos x ? ? B ? 4cos x ? 3sin x ?

? 4 A ? 3B ? 0 , ? 3 A ? 4 B ? 0 ?

A?

4 3 ,B ?? , 25 25

sin x 3 4cos x ? 3sin x ? ? 4 dx ? ? dx ? ? 3cos x ? 4sin x ? ? 25 25 4sin x ? 3cos x ? ?

?
5. 解:

4 3 x ? ln 4sin x ? 3cos x ? C . 25 25

f ? x? ? x ? x ?1 ? x ? 3 f ? x ? ? ? x ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? ?3x ? 4 ;

当 x ? 0 时, 当0 ? 当1 ?

x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? x ? 3 ? x ? 2 ; x ? 3 时, f ? x ? ? x ? ? x ? 1? ? 3 ? x ? x ? 2 ;

当 x ? 3 时,

f ? x ? ? x ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 3x ? 4 .

二.解:

? f ? x? ? f ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim ? ? ?1 ? cos x ?? ? 0 ; x?0 x?0 1 ? cos x ? ?
x?0

f ? ? 0 ? ? lim

f ? x ? ? f ? 0? ? f ? x ? 1 ? cos x ? ? lim ? ? ? ? 0; x?0 1 ? cos x x x ? ?

? ? f ? x? ? f ? x ? 1 ? cos x ? lim ? lim ? ? ? 1, x?0 1 2 x?0 1 ? cos x 1 2 ? x x ? ? 2 ? 2 ?
f ? x ? ? f ? 0? ? f ? ? 0? x ? ?
所以

1 f ?? ? 0 ? x 2 ? o ? x 2 ? 2

1 f ?? ? 0 ? x 2 ? o ? x 2 ? , 2

f ?? ? 0 ? ? 1.
1 ? ? f ? x ? ? tan x ? ? x ? x 3 ? , f ? 0 ? ? 0 ; 3 ? ?

三.证明:令

因为

f ?? x ? ?

1 ? ?1 ? x 2 ? , f ? ? 0? ? 0 ; 2 cos x

f ?? ? x ? ?

2sin x ? 2 x , f ?? ? 0? ? 0 ; cos3 x

? 1 ? 2sin 2 x ? ??? f ? x? ? 2? ? 1? 4 ? cos x ?
?2 1 ? 2sin 2 x ? ?1 ? sin 2 x ?
sin 2 x ? 4 ? sin 2 x ? cos 4 x
2

cos4 x

?2
所以

? ? ? ?? ? 0 , ? x ? ? 0, ? ? , ? 2 ?? ?

f ?? ? x ? ? 0 ,进而 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? ? 0 ,

即得 tan x ?

?? 1 ? x ? x3 , ? 0 ? x ? ? . 2? 3 ?

四.解: A ?

??
2 ?

?

?1 ? sin x ?
1 ? sin 2 x

2

dx

2
2

1 ? 2sin x ? sin 2 x ?? ? dx 2 ? 1 ? sin x 2

?

? 2? 2 dx ;
0

?

B??
由于

?
2

?

?
2

? sin 2 x sin 2 x 2 dx ? 2 ?0 x2 ? cos2 x dx , x 2 ? cos 2 x

sin 2 x ? 1 ,得 B ? A , x2 ? cos2 x
?
2

C?? ?
?

10 ?1 ? sin 2 x ? 4 x2 ? ? 2

2

dx ? 2?

?

2 0

10 ?1 ? sin 2 x ? 4 x2 ? ? 2

dx ,

利用

2

?

?

? sin x ? ? ?? ? 1 , ? x ? ? 0, ? ? , x ? 2 ?? ?

? 4 x2 ? 10 ?1 ? 2 ? 10 ?1 ? sin 2 x ? ? ? 10 得 ? ?2 ? 2 ? 1, 2 2 4x ? ? 4x ? ? 2 ? 于是 C ? A , 故B? A?C.
五、设 xn

??

1 2 k ?0 n ? k

2n

, n ? 1,2,

.

(1)求 lim xn ; (2)证明数列
n ??

?xn? 单调减少.

解: (1)显然

2n ? 1 2n ? 1 ? xn ? 2 2 n ? 2n n
故有

lim xn ? 0 .
n??

(2) xn ?1

?

2? n ?1?

?
k ?0

1 n ?k
2

??
k ?0

2n

1

? n ? 1?

2

?k

?

1

? n ? 1?
2

2

? 2n ? 1

?

1

? n ? 1?

2

? 2n ? 2



xn ? xn?1 ? ?

1 1 ? ? ?? 2 ? 2 ? 2 ? n ? 4n ? 2 n ? 4n ? 3 ? k ?0 ? n ? k ? ? n ? 1? ? k
2n

2n ? 1

?

?

? ?
于是数列

1 ? 1 ? ?? 2 ? 2 ? ? n ? 2n ?? n ? 4n ? 1? ? n ? 2n n ? 4n ? 1 ?
2 2 2

? 2n ? 1?? 2n ? 1?
2n ? n ? 1?

?n

? 2n ?? n2 ? 4n ? 1?

?0,

?xn? 单调减少.
1 2 f ? x ? ? x 2 ? ,在 ? 0, ?? ? 上严格单调递增, 3 3

六.解: (1)

欲使

f ? a, b? ? ? a, b? ,必有 f ? a ? ? a , f ? b ? ? b .
1 2 f ? x ? ? x2 ? ? x , 3 3

考虑

x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,
3? ?1? ? ?x? ? ?? ? 2? ?2? ?
2 2



x1 ? 1, x2 ? 2 ,
所以存在区间 (3) 欲使

?1,2? ,使 f ?1,2? ? ?1,2? .

f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上严格单调减少,

f ? a, b? ? ? a, b? ,必有 f ? a ? ? b , f ? b ? ? a .

1 1 ?b, ?a, a b
所以存在区间

? 1? a , , ? 0 ? a ? 1? ,使得 ? ? a? ?

? 1? ? 1? f ? a, ? ? ? a, ? . ? a? ? a?

(4) 欲使 必须

f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上严格递增,

f ? a, b? ? ? a, b? , f ? a ? ? a , f ?b ? ? b .
1 ? x, x

f ? x? ? 1?

x2 ? x ? ?1 ,
1? 3 ? x ? ? ? ,此方程无实数解, ? ? 2? 4 ?
故不存在区间
2

?a, b? , ? a ? 0? ,使得 f ?a, b? ? ?a, b? .

2006 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
一、 计算题(每小题 12 分,满分 60 分)

?? x ? n x ? 1、计算 lim n ??1 ? ? ? e ? . n ?? ?? n ? ? ? ?

n x ?? ? ??? x ? x ? 解: ? lim n ? ?1 ? ? n ?? ? n? ? ?? ? ??

n x ?? ? ? x x ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n? ? ?? ? ? ? 1 ? e x ? ? lim nex ?? ? ? ? n ?? e ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

x n n ?? ? ? x x x ? ?x ? ?? ? ? ?1 ? ? ? e ?1 ? ? ? e ? ? ? ? n? n? ?? ? x ? lim ne x ??1 ? ? ? 1? ? lim nex ? ? n ? ? n ?? e e ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?

? x ?x 1 ?1 ? ? ? e ? 1 ? t ?t ? e n? ? 2 x ?1 2 x ?1 ? x e lim ? x e lim n?? t ?0 x t n
t ? ln(1 ? t ) 0 1 ? t ?1 ? t ? ? 0 t2 ? x 2 e x ?1 lim t ?0 1
1 t

n

? x 2 e x lim
t ?0

t ? (1 ? t ) ln(1 ? t ) (1 ? t )t 2

? x 2 e x lim

t ? (1 ? t ) ln(1 ? t ) t ?0 t2

? x 2 e x lim
t ?0

0 0

1 ? 1 ? ln(1 ? t ) 2t

? ? x 2e x 2 。
2、求

1 ? x 4 ? x8 ? x(1 ? x8 ) dx .

解:

1 ? x 4 ? x8 1 1 ? x 4 ? x8 2 1 1 ? x 2 ? x 4 dx ? dx ? ? dx ? x(1 ? x8 ) 2 ? x2 (1 ? x8 ) 2 x(1 ? x4 ) 1 1 ? x2 ? x4 2 1 1 ? x ? x2 ? ? 2 dx ? ? dx 4 x (1 ? x 4 ) 4 x(1 ? x 2 )

1 ? ? 3 ? ? ? 1 ? A B C ? 1 ? 2 1 ? ?? ? ? ? ? 2 ? dx ? dx ? ? ? 4 ? x ?1 x x ? 1 ? 4 ? x ?1 x x ? 1 ? ? ?

?

1? 3 1 ? ? ln( x ? 1) ? ln x ? ln( x ? 1) ? ? C ? 4? 2 2 ?

3 1 1 ? ? ln( x ? 1) ? ln x ? ln( x ? 1) ? C . 8 4 8

? ex 2 ? ? e y ? dx . 3、求 ? dy ? ? 0 y ? ? ? x ?
1 1
2

x ? ex 1 1e 1 1 2 ? 2 ? e y ? dx ? ? dy ? dx ? ? dy ? e y dx 解: ? dy ? ? 0 y 0 y x 0 y ? ? ? x ? 1 1
2 2

? ? dx ?
0
1
2

1

x

0

1 1 2 ex dy ?? dy ? e y dx 0 y x
1
2

2

? ? e x dx ? ? (1 ? y )e y dy ? ? xe x dx ?
2

1

0

0

0

e ?1 . 2

4、求过 (1, 2,3) 且与曲面 z ? x ? ( y ? z)3 的所有切平面皆垂直的平面方程. 解:令 F ( x, y, z ) ? x ? ( y ? z )3 ? z 则 Fx?( x, y, z) ? 1 , Fy?( x, y, z) ? 3( y ? z) , Fz?( x, y, z) ? ?3( y ? z)2 ?1
2

令所求平面方程为: A( x ? 1) ? B( y ? 2) ? C ( z ? 3) ? 0 , 在曲面 z ? x ? ( y ? z) 上取一点 (1,1,1) ,则切平面的法向量为 {1, 0, ?1} ,
3

则 A?C ? 0 在曲面 z ? x ? ( y ? z) 上取一点 (0, 2,1) ,则切平面的法向量为 {1,3, ?4} ,
3

则 A ? 3B ? 4C ? 0 . 解得: A ? B ? C 即所求平面方程为: x ? y ? z ? 6 . 二、(15 分)设 f ( x) ? e ?
x

x3 ,问 f ( x) ? 0 有几个实根?并说明理由. 6

解: 当 x ? 0 , e ? 0 ?
x

x3 6
x

x3 当 x ? 0 , e ? 0 且 e 的增长速度要比 来得快!所以 f ( x) ? 0 无实根. 6
0

? ? n? 20 三、(满分 20 分)求 ? ? x ? 中 x 的系数. ? n ?1 ?

3

? ? ? ? x ? ? 1 ? 3 解: 当 x ? 1时, ? ? x n ? ? ? ? ?? ? ?x ? n ?1 ? ? 1 ? x ? ? 1 ? x ?
3 3 ? 1 ??? x ? ? n ??? x ?? ? ? x ? ? ?? ? ? 1 ? x ? 2 ? n ?0 ? 2

3

3

3

x3 ? ? ? n(n ? 1) x n ?2 2 n?2
故?

?

? x n ? 中 x 20 的系数为 171 . ? ? n ?1 ?
?

3

四、(20 分) 计算 解: 而

?

C

xyds ,其中 C 是球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? R2 与平面 x ? y ? z ? 0 的交线.
C C

?

C

( x ? y ? z ) 2 ds ? ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )ds ? 2? ( xy ? yz ? zx)ds

?

C

( x ? y ? z )2 ds ? 0 ,
C

? ?

C

( x 2 ? y 2 ? z 2 )ds ? ? R 2 ds ? 2? R3 , xyds ? ? yzds ? ? zxds ,
C C

C



?

C

xyds ? ?

? R3
3

.
n

五、 (20 分 ) 设 a1 , a2 ,
n

, an 为非负实数 , 试证 :

?a
k ?1

k

sin kx ? sin x 的充分必要条件为

? ka
k ?1

k

?1.
证明:必要性 由于

? ak sin kx ? sin x ,则 ? ak
k ?1 k ?1 n k ?1

n

n

sin kx sin x , x?0 ? x x

? lim ? ak
x ?0

n sin kx sin x ? ? kak ? lim ?1. x ? 0 x x k ?1

充分性;要证明

?a
k ?1

n

k

sin kx ? sin x ,只需证明:

?a
k ?1

n

k

sin kx ? 1 ,这里 sin x ? 0 ,

sin x

若 sin x ? 0 ,不等式显然成立;

即只需证明:

?a
k ?1

n

k

sin kx ? 1, sin x



? ak
k ?1

n

n sin kx sin kx n , ? kak ? 1 ? ? ak sin x sin x k ?1 k ?1

故只要说明:

sin kx ? k ,即 sin kx ? k sin x , sin x

当 k ? 1 时,显然成立; 假设当 k ? n 时,也成立,即 sin nx ? n sin x ; 当 k ? n ? 1 时, sin(n ?1) x ? sin(nx ? x) ? sin nx cos x ? sin x cos nx

? sin nx ? sin x ? (n ?1) sin x .
六 、 (15 分 ) 求 最 小 的 实 数 c , 使 得 满 足

sin nx ? n sin x

?

1

0

f ( x) d x ? 1的 连 续 函 数 f ( x) 都 有

?

1

0

f ( x )dx ? c .
解:

?

1

0

f ( x )dx ? ? f ( x ) dx ? 2? t f (t ) dx ? 2? f (t ) dx ? 2 ,
0 0 0

1

1

1

取 y ? 2 x ,显然
n

?

1

0

1 1 2 4 f ( x) dx ? 1 ,而 ? f ( x )dx ? ? 2 xdx ? 2 ? ? , 0 0 3 3

取 y ? (n ? 1) x ,显然 而

?

1

0

f ( x) dx ? 1 ,

?

1

0

f ( x )dx ? ? (n ? 1)
0

1

? x?

n

dx ? 2 ?

n ?1 ? 2, n ? ? , n?2

故最小的实数 c ? 2 .

2007 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题(每小题 12 分,满分 60 分) 1、求

?

x9 x5 ? 1 x9

dx .

解:

?

1 x5 1 t dx ? ? dx5 ? ? dt 5 5 5 5 t ?1 x ?1 x ?1
u ?t ?1

?

1 u ?1 1 1 1 du ? ? udu ? ? du ? 5 5 5 u u

?

2 3 2 1 u2 ? u2 ? C 15 5

2 5 2 ( x ? 1) 2 ? ( x 5 ? 1) 2 ? C 。 15 5
(1 ? x) x ? (1 ? 2 x) 2 x 2、求 lim . x ?0 sin x (1 ? x) x ? (1 ? 2 x) 2 x (1 ? x) x ? (1 ? 2 x) 2 x ? lim 解: lim x ?0 x ?0 sin x x
1 1 ? ? 1 ? ln(1 ? x) ? 1 ln(1 ? 2 x) ? ? 2x ? lim ?(1 ? x) x ? ? ? (1 ? 2 x ) ? ? ? ? 2 x ?0 x 2x2 ? ? x( x ? 1) ? ? x(2 x ? 1) ?? ? 1 1 ? ? x ? ( x ? 1) ln(1 ? x) ? ? 2 x ? (2 x ? 1) ln(1 ? 2 x) ? ? x 2x ? lim ?(1 ? x) ? ? (1 ? 2 x ) ? ? ?? x ?0 x 2 ( x ? 1) 2 x 2 (2 x ? 1) ? ? ? ?? ? 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1

3

1

1 ? x ? ( x ? 1) ln(1 ? x) ? ? 2 x ? (2 x ? 1) ln(1 ? 2 x) ? 2x ? lim(1 ? x) ? ? lim(1 ? 2 x) ? ? ? 2 x ?0 x ? 0 x ( x ? 1) 2 x 2 (2 x ? 1) ? ? ? ? 1 x

? e lim
x ?0

x ? ( x ? 1) ln(1 ? x) 2 x ? (2 x ? 1) ln(1 ? 2 x) ? e lim 2 x ? 0 x 2 x2

? ln(1 ? x) ?2 ln(1 ? 2 x) ? e lim x ?0 x ?0 2x 4x e e ? ? ?e ? . 2 2 ? e lim
3、求 p 的值,使 解:

0 0

?

b

a

( x ? p)2007 e( x ? p ) dx ? 0 .
2

2

?

b

a

( x ? p ) 2007 e ( x ? p ) dx ?

t ? x? p

?

b? p

a? p

t 2007 et dt

2

被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:

a ? p ? ?b ? p , 解得: p ? ?
4、计算

a?b . 2

?

a

0

dx ? emax{b x
0

b

2 2

, a2 y 2 }

dy, (a ? 0, b ? 0) .
dy ? ?? e max{b x
D
2 2 2 2

解:

?

a

0

dx ? e max{b x
0
2 2

b

2 2

,a2 y 2 }

,a2 y 2 }

d? , 其中 D 如右图

? ?? emax{b x
D1
2 2

,a2 y 2 }

d? ? ?? e max{b x
D2
2 2

,a2 y 2 }

d?
b

y?

? ?? ea y d? ? ?? eb x d?
D1 D2

D1

b x a

D2

a

? ? dy ? b e a y dx ? ? dx ? a eb x dy
2 2 2 2

b

a

y

a

b

x

0

0

0

0

a b a2 y2 b a 22 ye dy ? ? xeb x dx ? b 0 a 0 1 b a2 y2 1 a b2 x2 ? e d (a 2 y 2 ) ? e d (b 2 x 2 ) ? 0 2ab 2ab ?0 1 a 2b 2 ? (e ? 1) . ab 2 5、计算 ?? ( x ? y ) dS ,其中 S 为圆柱面 x2 ? y 2 ? 4, (0 ? z ? 1) . ?
S

z

解:

?? ( x
S

2

? y)dS ?

1 ( x 2 ? y 2 )dS ? ?? ydS ?? 2 S S

?

1 4dS ? ?? ydS 2 ?? S S
2 2

? ?x ? ? ?x ? ? 8? ? ?? y 1 ? ? ? ? ? ? dydz ? ?y ? ? ?z ? Dyz
? 8? ? ?? y 1 ?
Dyz

o

y

y2 ? 02 dydz ? 8? 4 ? y2

被积函数关于 y 是奇函数,积分区域关于 z 对称, 二、(20 分)设 un ? 1 ?

x

1 2 1 1 2 ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6
?

?

1 1 2 ? ? , 3n ? 2 3n ? 1 3n

vn ?

1 1 ? ? n ?1 n ? 2
n

1 u ,求: (1) 10 ;(2) lim un . n ?? 3n v10

解: (1) un ?

? ? ? ?? ? 3k ? 2 3k ? 1 3k ?
k ?1

?

1

1

2 ?
1 1 2 ? ? , 3n ? 2 3n ? 1 3n

1 2 1 1 2 ? 1? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6

?

vn ? ?

3n 1 1 n 1 ? ? ?? k ?1 n ? k k ?1 k k ?1 k

2n

? 1 1 1 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6

1 ? ? n

?

1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 3n ? ? 2

1? ? ? n?

n 1 2 ? 3n 1 n 1 ? 1 un ? vn ? ? ? ? ? ??? ?? 3k ? 1 3k ? k ?1 k k ?1 k k ?1 ? 3k ? 2

n ? 2 1 ? n 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 3k ? k ?1 k k ?1 ? 3k

?

un ? 1; vv 1 ? 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 ? 1 ? ? 3n ?

(2) lim un ? lim vn ? lim ?
n ?? n ?? n ??

? 1? 1 1 ? lim ? ? ? n ?? n 1 2 ? 1? 1? ? n ? n
? lim 1 2n 1 ? n ?? n k k ?1 1? n
2 0

? 1 ? (图来说明积分上下) ? k 2n ? ? 1? 1? ? n n ? 1

??

三、 (满分 20 分)有一张边长为 4? 的正方形纸(如图), C 、D 分别为 AA? 、BB? 的中点,E 为 DB? 的中点, 现将纸卷成圆柱形, 使 A 与 A? 重合,B 与 B? 重合, 并将圆柱垂直放在 xOy 平面上,且 B 与原点 O 重合, D 若在 y 轴正向上,求: (1) 通过 C , E 两点的直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程; (2) 此旋转曲面、 xOy 平面和过 A 点垂直于 z 轴的平面所围成的立体体积. 解:

1 dx ? ln 3 . 1? x

C (0, 4, 4? )
2

A

C

A?

z
A

LCE

4? N x ? 2 y ?Q 2 z M ? ? : 2 ?4? y?2

x

D M ( x, y, z ) 旋转曲面上任意取一点
E(2, 2,0)
B
B D E

B?

?z ? ? x0 ? 2? ? 2 ? z ? ?2 则 N ( x0 , y0 , z0 ) 的坐标为: ? y0 ? 2? ? ? z0 ? z ? ?
2 2 2

, Q(0,0, z)

? ?z ? ? z ? MQ ? x ? y ? NQ ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? 2? ? ? 2? ?
化简得:所求的旋转曲面方程为: x ? y ?
2 2

2

z2 ? 8, 2? 2

(2) A(0, 0, 4? ) ,故过 A(0, 0, 4? ) 垂直 z 轴的平面方程为: z ? 4? 令 x ? 0 ,解得在坐标面 yoz 上的曲线方程为: y ?
2

z2 ?8, 2? 2

图中所求的旋转体的体积为:

V ??

4?

0

? z2 ? ?? ? 8 ? dz ? 2? 2 ? ? ?

2

z

??
??

4?

0

? z2 ? ? ? 2 ? 8 ?dz ? 2? ?
z2 dz ? 32? 2 2?
B

z ? 4?

4?

y

0

32? 2 128? 2 2 ? ? 32? ? . 3 3
四、 (20 分) 求函数 f ( x, y, z ) ? 值、最小值. 解: f x?( x, y, z ) ?

x2 ? y 2 ?

x

z2 ?8 2? 2

x 2 ? yz 2 2 2 ,在 D ? {( x, y, z) 1 ? x ? y ? z ? 4} 的最大 2 2 2 x ?y ?z

2 x( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 x( x 2 ? yz ) 2 xy 2 ? 2 xz 2 ? 2 xyz ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 z ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 y( x 2 ? yz ) zx 2 ? z 3 ? 2 yx 2 ? y 2 z ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 y( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 z ( x 2 ? yz ) yx 2 ? y 3 ? 2 zx 2 ? z 2 y ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2

f y?( x, y, z ) ? f z?( x, y, z ) ?

由于 x, y 具有轮换对称性,令 x ? y , x ? 0 或 y ? z ? 0 解得驻点: (0, y, y) 或 ( x,0,0) 对 f (0, y, y ) ?

x 2 ? yz 1 x 2 ? yz , ? f ( x ,0,0) ? ?1, x2 ? y 2 ? z 2 2 x2 ? y 2 ? z 2

在圆周 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 上,由条件极值得: 令 F ( x, y, z) ? x2 ? yz ? ? ( x2 ? y 2 ? z 2 ?1)

Fx?( x, y, z) ? 2x ? 2? x ? 0

Fy?( x, y, z) ? z ? 2? y ? 0
Fz?( x, y, z) ? y ? 2? z ? 0

F??( x, y, z) ? x2 ? y 2 ? z 2 ?1 ? 0
解得: (0,

2 2 2 2 2 2 2 2 , ) , (0, , ? ) , (0, ? , ? ) , (0, ? , ) , (1, 0, 0) , (?1, 0, 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , )? 2 2 2
,

f (0,

f (0,

2 2 1 ,? )?? 2 2 2

,

f (0, ?

2 2 1 ,? )? 2 2 2

,

f (0, ?
2

2 2 1 , ) ? ? , f (1, 0, 0) ? 1 , f (?1,0,0) ? 1 ; 2 2 2
2 2

在圆周 x ? y ? z ? 4 上,由条件极值得: 令 F ( x, y, z) ? x ? yz ? ? ( x ? y ? z ? 4)
2 2 2 2

Fx?( x, y, z) ? 2x ? 2? x ? 0

Fy?( x, y, z) ? z ? 2? y ? 0
Fz?( x, y, z) ? y ? 2? z ? 0

F??( x, y, z) ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ? 0
解得: (0, 2, 2) , (0, 2, ? 2) , (0, ? 2, ? 2) , (0, ? 2, 2) , (2,0,0) , (?2, 0, 0)

f (0, 2, 2) ?

1 1 1 , f (0, 2, ? 2) ? ? , f (0, ? 2, ? 2) ? , 2 2 2

1 f (0, ? 2, 2) ? ? , f (2, 0, 0) ? 1 , f (?2, 0, 0) ? 1 ; 2

f ( x, y, z ) ?
为?

x 2 ? yz ,在 D ? {( x, y, z) 1 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 4} 的最大值为 1 ,最小值 x2 ? y 2 ? z 2

1 . 2

五、 (15 分)设幂级数 数的和函数.

?a x
n ?0 n ?

?

n

的系数满足 a0 ? 2 , nan ? an?1 ? n ?1 , n ? 1, 2,3,

,求此幂级

证明: S ( x) ?

? an xn ? S ?( x) ? ? nan xn?1 ? ? an?1xn?1 ? ? (n ?1) xn?1
n ?0 n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

? ? an x n ? ? nx n ? S ( x) ? ? nx n
n ?0 n ?0 n ?0
? ? x ? ? n ?? ? 1 ?? n n ?1 n ? nx ? x nx ? x x ? x x ? x , ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 ? x ? (1 ? x) n ?0 n ?0 n ?0 ? n ?0 ? ?

?

?

?



即: S ?( x) ? S ( x) ?

x 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, (1 ? x)2
x

求 S ?( x) ? S ( x) ? 0 的通解: S ( x) ? ce , 令 S ( x) ? c( x)e x 代入 S ?( x) ? S ( x) ?

x 得: (1 ? x)2

c( x)e x ? c?( x)e x ? c( x)e x ?

x , (1 ? x)2

x xe ? x 1 ? 1 ?? ?x dx ? ? ? ?? xe ? x ?? dx 即: c( x) ? ? ? ? ? xe dx ? 2 x (1 ? x) e 1? x 1? x ?1? x ?

?

xe? x xe? x ? ? ? ?e? x ? dx ? ? e? x ? c 1? x 1? x

故 S ?( x) ? S ( x) ?

? xe? x ? x 1 的通解为 : S ( x ) ? ? e? x ? c ? ? e x ? ? ce x , ? 2 (1 ? x) 1? x ? 1? x ?


由于 S (0) ? 0 ,解得 c ? ?1 ,

?a x
n ?0 n

?

n

的和函数 S ( x ) ?

1 ? ex . 1? x

1 ? 1 ?? ? x ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 1 ? x ? ? 1 ? x ? ?1 ? x ?
六、(15 分)已知 f ( x ) 二阶可导,且 f ( x) ? 0 , f ??( x ) f ( x ) ? ? f ?( x ) ? ? 0 , x ? R ,
2

(1) 证明: f ( x1 ) f ( x2 ) ? f 2 ?

? x1 ? x2 ? ? , ?x1 , x2 ? R . ? 2 ?
? (0) x

(2) 若 f (0) ? 1 ,证明 f ( x) ? e f

, x?R.
? x1 ? x2 ? ? , ?x1 , x2 ? R , ? 2 ? 1 ? ?1 f ? x1 ? x2 ? , ?x1 , x2 ? R , 2 ? ?2

证明: (1) 要证明 f ( x1 ) f ( x2 ) ? f 2 ?

只需证明

1 1 ln f ( x1 ) ? ln f ( x2 ) ? ln 2 2

也即说明 F ( x) ? ln f ( x) 是凹函数,
2 ? f ?( x) ?? f ( x) f ??( x) ? ? f ?( x) ? f ?( x) ?? ? ? 0, , ? ln f ( x)? ? ? ?ln f ( x)? ? ? ? f ( x) f 2 ( x) ? f ( x) ?

故 F ( x) ? ln f ( x) 是凹函数, 即证. (2) F ( x) ? F (0) ? F ?(0) x ?

F ??(? ) 2 x 2
2

f ( x) f ??( x) ? ? f ?( x)? f ?(0) ? ln f (0) ? x? f (0) 2 f 2 ( x)
即: f ( x) ? e
f ? (0) x

x 2 ? f ?(0) x ,
x ??

, x?R.
?

2008 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题 1、求 lim? ?
x?0

?e ?e ?e 3 ?
x 2x

3x

? ? ? ?

1 sin x

.
1 1

? e x ? e 2 x ? e 3 x ? sin x ? e x ? e 2 x ? e 3 x ? 3 ? sin x ? ?1 ? ? 解: lim? ? lim ? ? x?0 ? x?0 ? 3 3 ? ? ? ?

?e ?e ?e ? lim? x?0 ? 3 ?
x 2x

3x

?e ? ? ?

3
x

?e ?e

2x

3x

?

e x ? e 2 x ? e3 x 1 ? 3 sin x

? lim e
x?0

e x ? e 2 x ? e3 x 1 ? 3 sin x

? lim e
x ?0

0 0

e x ? 2 e 2 x ? 3e3 x ? 3 cos x

? e2 。

2、计算

? cos(3 ? x) sin(5 ? x) dx .
1 1 cos[(5 ? x) ? (3 ? x)]

1

解:

? cos(3 ? x) sin(5 ? x) dx ? cos2 ? cos(3 ? x) sin(5 ? x) dx
? 1 cos(5 ? x) cos(3 ? x) ? sin(5 ? x) sin(3 ? x)] dx ? cos2 cos(3 ? x) sin(5 ? x)

?

1 ? cos(5 ? x) cos(3 ? x) sin(5 ? x) sin(3 ? x)] ? dx ? ? dx ? ? cos2 ? cos(3 ? x) sin(5 ? x) cos(3 ? x) sin(5 ? x) ? ? 1 ? cos(5 ? x) sin(3 ? x) ? dx ? ? dx ? ? cos2 ? sin(5 ? x) cos(3 ? x) ? ? 1 ? d sin(5 ? x) d cos(3 ? x) ? ?? dx? ? ? cos2 ? sin(5 ? x) cos(3 ? x) ?
1 ?ln sin(5 ? x) ? ln cos( 3 ? x) ?? C cos 2

?

?
?

?

1 sin(5 ? x) ln ?C 。 cos2 cos(3 ? x)

法二:

? cos(3 ? x) sin(5 ? x) dx ? ? sin 2( x ? 4) ? sin 2 dx

1

2

??

2 dx ,令 t ? tan(x ? 4), x ? arctant ? 4 2 tan(x ? 4) ? sin 2 1 ? tan2 ( x ? 4)
2 2t ? sin 2 1? t 2 ? 1 2 2 dt ? ? 2 dt ? 2 sin 2 ? 1? t t sin 2 ? 2t ? sin 2 1 dt 2 2 t ? t ?1 sin 2

??

?

2 1 dt ? sin 2 ? 1 ? cos2 ?? 1 ? cos2 ? ?t ? ?? t ? ? sin 2 ?? sin 2 ? ?

? ? ? 1 ? 1 1 ? ?dt ? ? 1 ? cos2 ? cos2 ? ? 1 ? cos2 t? ?t ? ? sin 2 sin 2 ? ? 1 ? cos2 tan(x ? 4) ? 1 sin 2 ? C 。 ? ln 1 ? cos2 cos2 tan(x ? 4) ? sin 2
3、设 f ( x) ? x 3 arcsin x ,求 f
( 2008 )

(0) .
1 1? x2

解: g ( x) ? arcsin x ,则 g ?( x) ?

t ? arcsin x ,则 f (sin t ) ? t sin t 3

d n f (sin t ) ? t sin t 3 dt n

?

?

(n)

0 ? Cn sin t 3

?

?

(n)

1 t ? Cn sin t 3

?

?

( n ?1)

d n f (sin t ) 1 ? 0 ? Cn sin t 3 n dt t ?0

?

?

( n ?1) t ?0

d ( 2008 ) f (sin t ) ? 2008sin t 3 dt 2008 t ?0
? 2008? 2007? 3t 2 cost 3

?

?

( 2007 ) t ?0

?

?

( 2006 ) t ?0

? 2008? 2007? 2006? 6t cost 3 ? 9t 4 sin t 3

?

?

( 2005 ) t ?0

被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:

a ? p ? ?b ? p , 解得: p ? ?
4、计算

a?b . 2

?

a

0

dx ? emax{b x
0

b

2 2

, a2 y 2 }

dy, (a ? 0, b ? 0) .
dy ? ?? e max{b x
D
2 2 2 2

解:

?

a

0

dx ? e max{b x
0
2 2

b

2 2

,a2 y 2 }

,a2 y 2 }

d? , 其中 D 如右图

? ?? emax{b x
D1
2 2

,a2 y 2 }

d? ? ?? e max{b x
D2
2 2

,a2 y 2 }

d?
b

y?

? ?? ea y d? ? ?? eb x d?
D1 D2

D1
b x a 0

b x a

? ? dy ?
0

b

a y b 0

e

a2 y2

dx ? ? dx ? eb x dy
2 2

a

D2

0

a

a b a2 y2 b a 22 ye dy ? ? xeb x dx ? b 0 a 0 1 b a2 y2 1 a b2 x2 ? e d (a 2 y 2 ) ? e d (b 2 x 2 ) ? 2ab 0 2ab ?0 1 a 2b 2 ? (e ? 1) . ab 2 5、计算 ?? ( x ? y ) dS ,其中 S 为圆柱面 x2 ? y 2 ? 4, (0 ? z ? 1) . ?
S

z

解:

?? ( x
S

2

? y)dS ?

1 ( x 2 ? y 2 )dS ? ?? ydS 2 ?? S S

?

1 4dS ? ?? ydS 2 ?? S S
2 2

? ?x ? ? ?x ? ? 8? ? ?? y 1 ? ? ? ? ? ? dydz ? ?y ? ? ?z ? Dyz
? 8? ? ?? y 1 ?
Dyz

o

y

y2 ? 02 dydz ? 8? 2 4? y

被积函数关于 y 是奇函数,积分区域关于 z 对称, 二、(20 分)设 un ? 1 ?

x

1 2 1 1 2 ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6
?

?

1 1 2 ? ? , 3n ? 2 3n ? 1 3n

vn ?

1 1 ? ? n ?1 n ? 2
n

1 u ,求: (1) 10 ;(2) lim un . n ?? 3n v10

解: (1) un ?

? ? ? ?? ? 3k ? 2 3k ? 1 3k ?
k ?1

?

1

1

2 ?
1 1 2 ? ? , 3n ? 2 3n ? 1 3n

1 2 1 1 2 ? 1? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6

?

vn ? ?

3n 1 1 n 1 ? ? ?? k ?1 n ? k k ?1 k k ?1 k

2n

? 1 1 1 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6

1 ? ? n

?

1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 3n ? ? 2

1? ? ? n?

n 1 2 ? 3n 1 n 1 ? 1 un ? vn ? ? ? ? ? ??? ?? 3k ? 1 3k ? k ?1 k k ?1 k k ?1 ? 3k ? 2 n ? 2 1 ? n 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 3k ? k ?1 k k ?1 ? 3k

?

un ? 1; vv 1 ? 1 ? ? n ?? n ? 1 n?2 ? ? 1 ? ? 3n ?

(2) lim un ? lim vn ? lim ?
n ?? n ??

? 1? 1 1 ? lim ? ? ? n ?? n 1 2 ? 1? ? 1? n ? n
? lim 1 2n 1 ? n ?? n k k ?1 1? n
2 0

? 1 1 ? (图来说明积分上下) ? k 2n ? ? 1? 1? ? n n ?

??

三、 (满分 20 分)有一张边长为 4? 的正方形纸(如图), C 、D 分别为 AA? 、BB? 的中点,E 为 DB? 的中点, 现将纸卷成圆柱形, 使 A 与 A? 重合,B 与 B? 重合, 并将圆柱垂直放在 xOy 平面上,且 B 与原点 O 重合, D 若在 y 轴正向上,求: (3) 通过 C , E 两点的直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程; (4) 此旋转曲面、 xOy 平面和过 A 点垂直于 z 轴的平面所围成的立体体积. 解:

1 dx ? ln 3 . 1? x

C (0, 4, 4? )
2

A

C

A?

z
A

LCE

4? N x ? 2 y ?Q 2 z ?M ? : 2 ?4? y?2

x

D M ( x, y, z ) 旋转曲面上任意取一点

?z ?E(2, 2,0) ? x0 ? 2? ? 2 ? B z ? ?2 则 N ( x0 , y0 , z0 ) 的坐标为: ? y0 ? 2 ? ? ? z0 ? z ? ?

B

D

E

B?

, Q(0,0, z)

? ?z ? ? z ? MQ ? x ? y ? NQ ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? 2? ? ? 2? ?
2 2

2

2

化简得:所求的旋转曲面方程为: x ? y ?
2 2

z2 ? 8, 2? 2

(2) A(0, 0, 4? ) ,故过 A(0, 0, 4? ) 垂直 z 轴的平面方程为: z ? 4?

z2 ?8, 令 x ? 0 ,解得在坐标面 yoz 上的曲线方程为: y ? 2? 2
2

图中所求的旋转体的体积为:

V ??

4?

0

? z2 ? ?? ? 8 ? dz 2 ? 2? ? ? ?

2

z

??
?? ?

4?

0

? z2 ? ? ? 2 ? 8 ?dz ? 2? ?
z2 dz ? 32? 2 2?
B

z ? 4?

4?

y

0

32? 2 128? 2 ? 32? 2 ? . 3 3

x2 ? y 2 ?

x

z2 ?8 2? 2

四、 (20 分) 求函数 f ( x, y, z ) ? 值、最小值. 解: f x?( x, y, z ) ?

x 2 ? yz 2 2 2 ,在 D ? {( x, y, z) 1 ? x ? y ? z ? 4} 的最大 x2 ? y 2 ? z 2

2 x( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 x( x 2 ? yz ) 2 xy 2 ? 2 xz 2 ? 2 xyz ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 z ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 y( x 2 ? yz ) zx 2 ? z 3 ? 2 yx 2 ? y 2 z ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 y( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 z ( x 2 ? yz ) yx 2 ? y 3 ? 2 zx 2 ? z 2 y ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )2

f y?( x, y, z ) ? f z?( x, y, z ) ?

由于 x, y 具有轮换对称性,令 x ? y , x ? 0 或 y ? z ? 0 解得驻点: (0, y, y) 或 ( x,0,0) 对 f (0, y, y ) ?

x 2 ? yz 1 x 2 ? yz , ? f ( x ,0,0) ? ?1, x2 ? y 2 ? z 2 2 x2 ? y 2 ? z 2

在圆周 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 上,由条件极值得: 令 F ( x, y, z) ? x2 ? yz ? ? ( x2 ? y 2 ? z 2 ?1)

Fx?( x, y, z) ? 2x ? 2? x ? 0

Fy?( x, y, z) ? z ? 2? y ? 0
Fz?( x, y, z) ? y ? 2? z ? 0

F??( x, y, z) ? x2 ? y 2 ? z 2 ?1 ? 0
解得: (0,

2 2 2 2 2 2 2 2 , ) , (0, , ? ) , (0, ? , ? ) , (0, ? , ) , (1, 0, 0) , (?1, 0, 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , )? 2 2 2
,

f (0,

f (0,

2 2 1 ,? )?? 2 2 2

,

f (0, ?

2 2 1 ,? )? 2 2 2

,

f (0, ?

2 2 1 , ) ? ? , f (1, 0, 0) ? 1 , f (?1,0,0) ? 1 ; 2 2 2

在圆周 x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 上,由条件极值得: 令 F ( x, y, z) ? x ? yz ? ? ( x ? y ? z ? 4)
2 2 2 2

Fx?( x, y, z) ? 2x ? 2? x ? 0

Fy?( x, y, z) ? z ? 2? y ? 0
Fz?( x, y, z) ? y ? 2? z ? 0

F??( x, y, z) ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ? 0
解得: (0, 2, 2) , (0, 2, ? 2) , (0, ? 2, ? 2) , (0, ? 2, 2) , (2,0,0) , (?2, 0, 0)

1 1 1 , f (0, 2, ? 2) ? ? , f (0, ? 2, ? 2) ? , 2 2 2 1 f (0, ? 2, 2) ? ? , f (2, 0, 0) ? 1 , f (?2, 0, 0) ? 1 ; 2 f (0, 2, 2) ?

f ( x, y, z ) ?
为?

x 2 ? yz 2 2 2 ,在 D ? {( x, y, z) 1 ? x ? y ? z ? 4} 的最大值为 1 ,最小值 2 2 2 x ?y ?z

1 . 2

五、 (15 分)设幂级数 数的和函数.

?a x
n ?0 n ?

?

n

的系数满足 a0 ? 2 , nan ? an?1 ? n ?1 , n ? 1, 2,3,

,求此幂级

证明: S ( x) ?

?a x
n ?0 n

n

? S ?( x) ? ? nan x n?1 ? ? an?1 x n?1 ? ? (n ? 1) x n?1
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

? ? an x n ? ? nx n ? S ( x) ? ? nx n
n ?0 n ?0 n ?0

?

?

?



? nx
n ?0

?

n

? ? x ? ? ?? ? 1 ?? ? x? nx n ?1 ? x? ? x n ?? ? x ? ? x n ? ? x ? , ? ? 2 ? 1 ? x ? (1 ? x) n ?0 n ?0 ? n ?0 ?

即: S ?( x) ? S ( x) ?

x 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, (1 ? x)2

求 S ?( x) ? S ( x) ? 0 的通解: S ( x) ? ce x , 令 S ( x) ? c( x)e x 代入 S ?( x) ? S ( x) ?

x 得: (1 ? x)2

c( x)e x ? c?( x)e x ? c( x)e x ?

x , (1 ? x)2

即: c( x) ?

x xe ? x 1 ? 1 ?? ?x dx ? ? xe dx ? ?? xe ? x ?? dx ? ? ? (1 ? x)2 e x ?? 1 ? x 1 ? x 1 ? x ? ?

xe? x xe? x ?x ? ? ? ? ?e ? dx ? ? e? x ? c 1? x 1? x
故 S ?( x) ? S ( x) ?

? xe? x ? x 1 的通解为 : S ( x ) ? ? e? x ? c ? ? e x ? ? ce x , ? 2 (1 ? x) 1 ? x 1 ? x ? ?


由于 S (0) ? 0 ,解得 c ? ?1 ,

?a x
n ?0 n

?

n

的和函数 S ( x ) ?

1 ? ex . 1? x

1 ? 1 ?? ? x ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 1 ? x ? ? 1 ? x ? ?1 ? x ?
法二: nan ? an?1 ? n ?1 ?

an ? 1 1 ? ,同学们自行完成。 an?1 ? 1 n

六、(15 分)已知 f ( x ) 二阶可导,且 f ( x) ? 0 , f ??( x ) f ( x ) ? ? f ?( x ) ? ? 0 , x ? R ,
2

(3) 证明: f ( x1 ) f ( x2 ) ? f 2 ?

? x1 ? x2 ? ? , ?x1 , x2 ? R . ? 2 ?
? (0) x

(4) 若 f (0) ? 1 ,证明 f ( x) ? e f

, x?R.
? x1 ? x2 ? ? , ?x1 , x2 ? R , ? 2 ? 1 ? ?1 f ? x1 ? x2 ? , ?x1 , x2 ? R , 2 ? ?2

证明: (1) 要证明 f ( x1 ) f ( x2 ) ? f 2 ?

只需证明

1 1 ln f ( x1 ) ? ln f ( x2 ) ? ln 2 2

也即说明 F ( x) ? ln f ( x) 是凹函数,
2 ? f ?( x) ?? f ( x) f ??( x) ? ? f ?( x) ? f ?( x) ?? ? ? 0, , ? ln f ( x)? ? ? ?ln f ( x)? ? ? ? f ( x) f 2 ( x) ? f ( x) ?

故 F ( x) ? ln f ( x) 是凹函数, 即证. (2) F ( x) ? F (0) ? F ?(0) x ?

F ??(? ) 2 x 2
2

f ( x) f ??( x) ? ? f ?( x)? f ?(0) ? ln f (0) ? x? f (0) 2 f 2 ( x)
即: f ( x) ? e
f ? (0) x

x 2 ? f ?(0) x ,
x ??

, x?R.

2009 年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
一、计算题(每小题 12 分,满分 60 分)

1.求极限



=

=

=

=

=

2.计算不定积分



=

=

3.设

,求



=

4.设



,求此曲线的拐点













时,





时,





时,



因此拐点为

5.已知极限

,求常数的值



=

=

=1

于是





,得

另解

=1

二、 (满分 20 分)设

,证明:当

时,

证 设











,知当

时,



又设





所以

,

从而

,不等式得证.

三、(满分 20 分)设

,求

的最小值

证 当

时,

,,

,故当



单调增加;



时,



故当



单调减少;



时,



=







。当

时,

,当

时,







的极小值点,又

=

,故

的最小值为

四、(满分 20 分)

=

五、(满分 15 分)设

,证明:

(1)

为偶函数;(2)

证 (1)

(2)

=

六、 (满分 15 分) 设 有唯一解

为连续函数, 且

, 证明在

上方程

证 设







上连续,在

内可导,

, 当

时,



是方程

的解;

当 使

时, ,即方程

,由零点定理,得至少存在一点 至少有一解。



,故 有唯一解



上严格单调递增,因此在

上方程

2010 浙江省大学生高等数竞赛试题(工科类)
一、计算题(每小题 14 分,满分 70 分)

1? ? 1.求极限 lim ? n ( n ? 1 ? n ) ? ? n ??? 2? ?

n ?1 ? n n ?1 ? n

2.计算

? ?1 ? x ?? 2 ? 2 x ? x ?
?? 2 2

+?

dx

3. 设 ?ABC 为锐角三角形,求 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 的最大值和最小 值。 4.已知分段光滑的简单闭曲线 ?(约当曲线)落在平面 ? :ax ? by ? cz ? 1 ? 0 上,设 ? 在

? 上围成的面积为 A,求
右手系。

?

?

? bz ? cy ? dx ? ? cx ? az ? dy ? ? ay ? bx ? dz ,其中 n与? 的方向成
ax ? by ? cz

5.设 f 连续,满足 f ? x ? ?

x ? ? exp ? x2 ? t 2 ? f ? t ? dt ,求 f ? ?1? ? 3 f ?1? 的值。
x 0
1 1 , a n ? ? max ?a n ?1 , x?dx, 0 2

二、 (满分 20 分)定义数列 ?an ? 如下: a1 ? 求 lim a n 。
n ??

n ? 2,3,4,? ,

三 、( 满 分 20 分 ) 设 有 圆 盘 随 着 时 间 t 的 变 化 , 圆 盘 中 心 沿 曲 线

L : x ? cos t , y ? sin t , z ? t 2 (t ? 0) 向空间移动,且圆盘面的法向与 L 的切向一致。若圆盘

3

半径 r (t) 随时间改变,有 r (t ) ? t 2 ,求在时间段 ?0,

? ?

1? 内圆盘所扫过的空间体积。 2? ?

四、 (满分 20)证明:当 ?x ? 0 ,

?

?? x

? t2 ? ? x2 ? 1 exp ? ? ? dt ? exp ? ? ? x ? 2? ? 2?
? ?

五、 (满分 20 分)证明: tan2 x ? 2 sin 2 x ? 3x 2 , x ? ? 0,

??

?. 2?

2010 浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题评析(工科类) 一、计算题:

1.解:原极限= lim ?1 ? n ???

? ?

1 n ?1 ? n ? ? 2 n ?1 ? n ?

?2

n ?1 ? n ? 1 ? ?? ? ? n ?1 ? n ? 2 ?

? e ?0.5

2.解:

1 1 ? 2x ?1 2x ? 3 ? ? ? ? 2 2 ? ?1 ? x ?? 2 ? 2 x ? x ? 5 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? x 2 ?
2

? 原积分=

1 ln ?1 ? x 2 ? ? arctan x ? ln ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ? arctan ? x ? 1? 5

?

?

?? ??

?

2? 5

3.解:记 f ? B, C ? ? sin ? B ? C ? ? sin B ? sin C ? cos ? B ? C ? ? cos B ? cos C

? ? B, C ? ? cos ? B ? C ? ? cos B ? sin ? B ? C ? ? sin B ? 0 fB ? ? B, C ? ? cos ? B ? C ? ? cos C ? sin ? B ? C ? ? sin C ? 0 fC ? cos B ? sin B ? cos C ? sin C ? B ? C 或 B ? C ? ? / 2 ?舍去? cos ? 2B? ? cos B ? sin ? 2B? ? sin B ? 0 ? B ? ? / 3 ? A ? C ? B ? ? / 3
max f ? B, C ? ? 1.5

?

3 ?1

?

min f ? B, C ? ? 1

4 解:原积分= -

?? 2adydz ? 2bdzdx ? 2cdxdy ? ? ? a
s

2

? b2 ? c2 ?

?0.5

?? ? a
s

2

? b 2 ? c 2 ? ds

? ? ? a 2 ? b2 ? c2 ? A
0.5

5.解: f ? ? x

?0.5

? f ? 2 x ? exp ? x2 ? t 2 ? f ? t ? dt ? x ?0.5 ? f ? 2x ? f ? x 0.5 ?
x 0

? f ? ?1? ? 3 f ?1? ? ?1
二、解: an ?

?

1 0

max ?an?1 , x?dx ? ? an?1dx ? an?1 ,
0

1

即 {an } 单调增且 a1 ? 即 {an } 有界。
a 1

1 ? 1, 2

设 0 ? an ? 1, 则 0 ? an?1 ?

?

1 0

max ?an , x?dx ? ? dx ? 1,
0

1

可知 {an } 收敛记其极限为 a ,有 a ?

?

1 0

max ?a, x?dx ? ? adx ? ? xdx ? ?1 ? a2 ? / 2
0 a
0.5

a ?1
三、解: V ?

?

0.5

0

? r 2 ds ? ? ? t 3 1 ? 4t 2 dt ? ? ? 4t 2 1 ? 4t 2 d ? 4t 2 ? 1? / 32
0.5 0 0

?

? t ? 1? 32 ?
1

?

2

tdt ?

? t 32 ? 5

? ?2

2.5

2 ? ? t1.5 ? 3 ?

2 1

?

?
120

?

2 ?1

?

四、证明:
?? ?? ?? ? t2 ? ? t2 ? ? t2 ? ? x2 ? x ? exp ? ? ? dt ? ? x exp ? ? ? dt ? ? t exp ? ? ? dt ? exp ? ? ? x x x ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?

五、证明: tan x ? x, ? tan x ?? ? 1 ? tan x ? 1 ? x ? tan x ? x ? x / 3
2 2 3

易知 sin x ? x ? x / 6
3

? tan2 x ? 2 sin 2 x ? 3x 2 , .

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 工科类
一计算题: (每小题 14分,满分70 分)
1.求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b

姓名

x ???

2.设函数 f : R ? R 可导,且 ?x, y ? R ,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? y ? xy ,求 f ( x ) 的表 线 达式。 。 ? x sin x dx ( n 为正整数) 4.计算 ?? x ? y min ?x, 2 y?dxdy , D 为 y 3.计算
0 n?

2

? x 与 y ? x2 围成的平面有界闭区域。

D

准考证号



5.求曲线 ?

? x ? a cos3 ? ? , (0 ? ? ? ? ) 的形心,其中 a ? 0 为常数。 3 ? ? y ? a sin ?

二、 (满分 20 分)
证明:
n 1 1 ? ln n ? ? ? 1 ? ln n , n ? n i ?1 i
?



三、 (满分 20 分)
设 u : R ? R 所有二阶偏导连续,证明 u 可表示为 u( x, y) ? f ( x) g ( y) 的充分必要条件为
2

u

? 2u ?u ?u 。 ? ?x?y ?x ?y

四、 (满分 20)
在草地中间有一个底面半径为 3 米的圆柱形的房子。 外墙脚拴一只山羊, 已知拴山羊的 绳子长为 ? 米,外墙底面半径为 3 米,求山羊能吃到草的草地面积。

五、 (满分 20 分)
证明

? (?1)k ?1Cnk
k ?1

n

1 n 1 ?? 。 k k ?1 k

工科类答案
一、计算题 1、若 a ? b
x ???

lim lo x a (? x b ? ) lim lo x a ?(x 1b? x g x g
x ??? x ???

a

? a)?

x ??? a

?b a lim ? lo xg (? 1a x b

)

a b 同理,当 a<b 时, lim log x ( x ? x ) =b ,

所以 lim log x ( x ? x ) =max( a, b)
x ???

2、解:由假设, ?y ? 0 ,有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? 1? x y

f 可导 ? f ??( x) ? 1 ? x

同理 f ??( x) ? 1 ? x ? f ?( x) ? 1 ? x 3、解:

f ( x)? x? 2x / 2? c
n

?

n? 0

x sin x dx ? ? ?
j ?1

n

j? j? ??

x sin x dx ? ? ?
j ?1 n

?

0

? x ? j? ? ? ? sin xdx

? n? x sin xdx ? 2? ? ? j ? 1? ? n? ? 2n ? ? n ? n ? 1? ? n2? ? 2n
0 j ?1

?

4、解: D1 ?

?? x, y ? x ? y ?
?? x, y ? x
2
D2

x ,0 ? x ? 1 , D2 ? ?? x, y ? x / 2 ? y ? x,0 ? x ? 1/ 2?

?

D3 ?
原积分 ?
D1

? y ? x,1/ 2 ? x ? 1 , D4 ?
D3

?

?? x, y ? x
x

2

? y ? x / 2, 0 ? x ? 1/ 2

?

?? ( y ? x) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) ydxdy
D4

? ? dx ? ( y ? x) xdy ? ?1 dx ? 2 ( x ? y ) xdy ? ? dx ?1 ( y ? x) xdy ? ? dx ? ( x ? y )2 ydy
0 x 2 x

1

x

1

x

1 2 0

2

x

1 2 0

1 x 2 x2

?
?

1 3 2 1 1 1 1 1 1 x ? x 2 ? x 4 1 ? ( x 4 ? x5 ? x 6 ) 11 ? x 4 6 7 8 8 5 12 32 0 2

1 2 0

?(

1 4 1 6 2 7 x ? x ? x ) 24 6 21

1 2 0

1 1 11 1 1 253 ? ? ? ? ? 24 ? 7 24 ? 5 32 ? 24 ? 5 32 ?16 64 ? 21 17920

5、解: xc ?

?

L

xds / ? ds ? 0 , yc ? ? yds / ? ds
L L L

而 ds ?

? )2 ? ( y? ? ) 2 d? ? 3a sin ? cos ? d? ( x?
? ?2
0

?
?

L

ds ? ? 3a sin ? cos ? d? ? ?
0

?

ba sin ? cos ? d? ? 3a
? /2
0

L

yds ? ? a sin 3 ? x3a sin ? cos ? d? ? 6a 2 ?
0

?

sin 4 ? cos ? d? ?

6 2 a 5

? xc ? 0

yc ?

2 a 5

二、证明:显然

?

j ?1 j

j 1 1 1 dx ? ? ? dx j ?1 x x j

j?2

n n n j 1 n1 1 1 ?? ? 1? ? ? 1? ? ? dx ? 1 ? ? dx ? 1 ? ln n j ?1 x 1 x j ?1 j j ?2 j j ?2 n

另一方面

? j ? ? j ? n ? ??
j ?1 j ?1 j ?1

1

n ?1

1

1

n ?1

j ?1 j

1 1 1 dx ? ? ? ln n x n n

三、证明: u ? f ( x) g ( y ) 时,显然有 uuxy ? uxu y 反之,若 uuxy ? uxu y 成立,即有 (uu xy ? u x u y ) / u ? (
2

ux )y ? 0 u

? ux / u ? f1 ( x) 也即 ln u ? ? f1 ( x)dx ? g1 ( y ) ? f 2 ( x) ? g1 ( y )

? u ? f ( x) g ( y )

四、解:(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点,拴羊点在 x 轴上 x ? 3 点,则羊跑最远的曲

线在 x ? 3 的区域内是渐开线 即 x ? 3(cos t ? (? / 3 ? t )sin t ) y ? 3(sin t ? (? / 3 ? t ) cos t ) 记在 x ? 3 山羊能吃到草的草地面积为 S1

S1 ? 2?

3

3/ 2

ydx ? 2?
? /3

? /3

0

9sin 2 tdt ? 2? (3sin t ? (? ? 3t ) cos t )(3t ? ? ) cos tdt ?2?
? /3
? /3
0

0

? /3

0

9sin 2 tdt

? 2?

0

2 2 3? ?(? ? 3t )sin t cos t ? (? ? 3t ) cos t ? ?dt ?2?

9sin 2 tdt

? /3 ? 1 1 ? ? ? ? ?3(? ? 3t ) sin 2 t ? (? ? 3t ) 2 (t ? sin 2t ) ? ? ? ?6(? ? 3t )(t ? sin 2t ) ? 9sin 2 t ? dt 0 2 2 ? ?0 ? ?
? /3? 1 9? 1 1 ? ? ? ? ? 3 ?? ? 3t ? ? t 2 ? cos 2t ? ? ? t ? sin 2t ? ? 9 ? ? t 2 ? cos 2t ?dt 0 2 2? 2 2 ? ?0 ?0 ? ? ? /3 ? /3

? /3

? t3 1 ? 9 3 ? ? 9 ? ? sin 2t ? 8 ?3 4 ?

? /3
0

?

?3
9

所以山羊能吃到草的草地面积 S ?

?3
9

?

?3
2

?

11? 3 18

(方法二) 山羊能吃到草的草地面积 S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积 S1 和 绳子绕向房子时转过 ? ? 其扫过的面积可近似为扇形

?? 2 r 2

S1 ? ?

? /3

0

?? ? 3? ? d? ? ? 3 / 9
n k ?1 k n

2

所以 S ? 11? /18
3

五、证明:

1 n 1 ?1 n 1 k ?1 k k ?1 k k (?1) C ? ? ? (?1) Cn t dt ? ? (?1)k Cn t dt ? ? 0 0 k t k ?1 k ?1 k ?1

n n 1 1 ? (1 ? t ) 11? x (1 ? t ) n ? 1 ?? dt ? ? dt ? ? dx 0 0 0 1? x t t 1



n 1 n 11? t ? k ?1 ? t d t ? ? ?0 ? ?0 1 ? t dt k ?1 k k ?1 n

? 等式成立



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