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空间向量及其运算


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题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体 空间向量及其运算 高考要求 1 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘 2 了解空间向量的基本定理; 3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质; 4 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 5 握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件 知识点归纳 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算:
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??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R)
运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

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⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
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3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量. 由于任何一组平行向量都
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可以平移到同一条直线上, 所以平行向量也叫做共线向量. 向量 b 与非零向 量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b =λ a
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4 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量 叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在 的直线可能是同一直线,也可能是平行直线. 5. 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条 ,
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件是存在实数 λ,使 a =λ b

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推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对 于任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

???? ???? ? ? OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量
6 空间直线的向量参数表示式:
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???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB ,

???? 1 ???? ???? OP ? (OA ? OB ) 中点公式. 2
7.向量与平面平行:已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平 ? ? 行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通常 我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的
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?

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? ? ? ? ? 条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb
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8.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对

?

? ?

x, y ,使 MP ? xMA ? yMB

????

??? ?

????

??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ② ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 或 OP ? xOA ? yOB ? zOM ,( x ? y ? z ? 1) ③
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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? ? ? 9 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量
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? ? ? ? ? p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc
???

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若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
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? ? ?

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推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一 的三个有序实数 x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC

??? ?

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10 空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,
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作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且 规定 0 ?? a, b ?? ? , 显然有 ? a, b ??? b , a ? ; ? a , b ?? 若

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2

, 则称 a 与

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? ? ? b 互相垂直,记作: a ? b ??? ? ?

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11.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作: | a |

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12.向量的数量积:已知向量 a, b ,则 | a | ?| b | ?cos ? a b ? 叫做 a, b 的数 , 量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? , A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 则 上的正射影 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
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13.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 14.空间向量数量积运算律: (1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律)
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题型讲解 例 1 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条
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件是: 对于空间任一点 O, 存在实数 x、 z 且 x+y+z=1, y、 使得 OA =x OB +y OC +z OD

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分析:要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件,自然想到共面向量 定理
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解:依题意知,B、C、D 三点不共线,则由共面向量定理的推论知: 四点 A、B、C、D 共面 ? 对空间任一点 O,存在实数 x1 、y1 ,使得

??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ??? ? OA = OB +x1 BC +y1 BD = OB +x1( OC - OB )+y1( OD - OB )=(1
- x1 - y1 ) OB +x1 OC +y1 OD , 取 x=1 - x1 - y1 、 y=x1 、 z=y1 , 则 有

??? ?

??? ?

????

??? ??? ??? ???? ? ? ? OA =x OB +y OC +z OD ,且 x+y+z=1

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点评: 向量基本定理揭示了向量间的线性关系, 即任一向量都可由基向 量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础 共(线)面向量基本定 理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明点共(线)面 本题的结 论,可作为证明空间四点共面的定理使用 例 2 在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角 线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 B、D 间的距离 解:如下图,因为∠ACD=90°,
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所以 AC · CD =0

??? ?

??? ?

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? ??? ??? ? 同理, BA · AC =0
??? ?

A
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D C A B

D C

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因为 AB 与 CD 成 60°角, 所以〈 BA , CD 〉=60°或 120°
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B

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因为 BD = BA + AC + CD ,

??? ??? ? ?

??? ?

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所以 BD 2= BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · AC +2 BA · CD +2 AC · CD = BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · CD =3+2×1×1×cos〈 BA , CD 〉=2 或 2 , 所以| BD |=2 或 2 , 即 B、D 间的距离为 2 或 2
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例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BD1 交平面 ACB1 于点 E,求证:
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D1 A1 B1 E D M A B

C1

C

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(1)BD1⊥平面 ACB1; (2)BE=

1 ED1 2

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证明: (1)我们先证明 BD1⊥AC

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? ? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ∵ BD1 = BC + CD + DD1 , AC = AB + BC ,
∴ BD1 · AC =( BC + CD + DD1 )( AB + BC ) · = BC · BC + CD · AB = BC · BC - AB · AB =| BC |2-| AB |2=1-1=0
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∴BD1⊥AC 同理可证 BD1⊥AB1,于是 BD1⊥平面 ACB1 (2)设底面正方形的对角线 AC、BD 交于点 M,
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则 BM =

???? ?

? 1 ????? ???? ????? ? 1 ??? BD = B1D1 ,即 2 BM = B1D1 2 2

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∴ BM ? B1D1 , 四点 B, B1 , D1 , M 共面, 所以,D1B 与平面 ACB1 之交点 E,就是 D1B 与 MB1 的交点
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由 2 BM = B1D1 知, ?EMB ∽ ?EB1D1 ,D1E∶EB=2∶1 ∴BE=

???? ????? ?

1 ED1 2

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点评:利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点 共面、求长度、求夹角等问题 例 4 如图,点 A 是△ABD 所在平面外一点,G 是△BCD 的重心,
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? 1 ??? ???? ???? ( AB ? AC ? AD ) 3 ??? ? ??? ??? ???? ? ? 分析: 想方设法把向量 AC 逐步用 AB, AC, AD 有
求证: AG ? 关的向量的表示,直至用它们表示为止

????

A

???? ??? ??? ? ? 证明:∵ AG ? AC ? CG

E D

B G C

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??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ???? ? ? ? 1 ??? ??? CG ? [ CB ? CD)] ? (CB ? CD ) ? (CA ? AB ? CA ? AD ) 3 2 3 3 ???? ???? 1 ??? ??? ???? 1 ??? ???? ???? ? ? ? AG ? AC ? (2CA ? AB ? AD) ? ( AB ? AC ? AD) 3 3
例 5 下列命题中不正确的命题个数是 ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB + BC + CD + DA = 0 ; ②| a |-| b |=| a + b |是 a 、 b 共线的充要条件 ③若 a 、 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行 ④对空间任意点 O 与不共线的三点 A、 C, OP =x OA +y OB +z OC B、 若

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ?

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??? ?

??? ?

(其中 x、y、z∈R) ,则 P、A、B、C 四点共面 A1 B2 C3
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D4
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解:易知只有①是正确的,对于④,若 O ?平面 ABC,则 OA 、 OB 、

??? ?

??? ?

??? ? OC 不共面,由空间向量基本定理知,P 可为空间任一点,所以 P、A、B、
C 四点不一定共面 答案:C 例 6 A 是△BCD 所在平面外一点, N 分别是△ABC 和△ACD 的重 M、 心,若 BD=4,试求 MN 的长 A 解:连结 AM 并延长与 BC 相交于 E,连结 AN 并延长与 CD 相交于 E,则 E、F 分别是 BC 及 CD M 的中点 B N
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现在 MN = AN - AM =

???? ???? ?

???? ?

? ? ? ? ? 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ??? ( AF - AE )= EF = ( CF - CE )= 3 3 3 ??? ? ??? ? ? ? ? 2 1 1 1 ??? ??? 1 ??? CB )= ( CD - CB )= BD ( CD - 3 2 2 3 3 ???? ???? ? ? 1 ??? ? 1 4 ∴ MN =| MN |= | BD |= BD= 3 3 3
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2 3

??? ? 2 ??? ? AF - AE =
3

D F

E

C

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点评:本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化 例 7 设 A、B、C 及 A1、B1、C1 分别是异面直线 l1、l2 上的三点,而 M、
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N、P、Q 分别是线段 AA1、BA1、BB1、CC1 的中点 求证:M、N、P、Q 四 点共面
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证明: NM =

???? ?

? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ∴ BA =2 NM , A1B1 =2 NP
2

? ? ? 1 ??? ??? 1 ???? BA , NP = A1B1 , 2 2
B
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C A Q M A1 N P B1 C1

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? ??? ? ? 1 ??? ???? 又∵ PQ = ( BC + B1C1 ) (*) ,
A、B、C 及 A1、B1、C1 分别共线,

∴ BC =λ BA =2 NM , B1C1 =ω A1B1 =2ω NP 代入(*)式得 PQ =

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

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??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 (2λ NM +2ω NP )=λ NM +ω NP , 2
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∴ PQ 、 NM 、 NP 共面

??? ?

???? ?

??? ?

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∴M、N、P、Q 四点共面 小结:

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1 若表示向量 a 1, a 2,…, a n 的有向线段终点和始点连结起来构成一
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?

?

?

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个封闭折图形,则 a 1+ a 2+ a 3+…+ a n= 0
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2 应用向量知识解决几何问题时,一方面要选择恰当的基向量,另一方 面要熟练地进行向量运算 3 空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示,这三个 向量也称为一个基底 在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它 们用同一个基底来表示,从而实现解题的目的 4 要用向量法解题,所涉及判断位置或长度或所成角的向量,一般应能 用关系明确的向量表示, 或较容易用坐标表示, 否则应考虑用其它方法来解
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学生练习 1 在以下四个式子中正确的有
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① a + b · c ,② a · b · c ) ( ,③ a ( b · c ) ,④| a · b |=| a || b |

? ?

?

?

?

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A1 个
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B2 个
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C3 个
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D0 个
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解析:根据数量积的定义, b · c 是一个实数, a + b · c 无意义 实数
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?

?

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与向量无数量积,故 a · b · c )错,| a · b |=| a || b || c os〈 a , b 〉|, (
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只有 a ( b · c )正确

?

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答案:A

2 设向量 a 、 b 、 c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是
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A{a +b ,b -a ,a }
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B{a +b ,b -a ,b }
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C{a +b ,b -a ,c }
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D{a +b +c ,a +b ,c }
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解析:由已知及向量共面定理,易得 a + b , b - a , c 不共面,故可 作为空间的一个基底,故选 C
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答案:C

3 在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,向量 AB? 、 AD? 、 BD 是
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????

???? ?

??? ?

A 有相同起点的向量 C 共面向量
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B 等长的向量 D 不共面向量
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解析:∵ AD? - AB? = B?D? = BD ,∴ AB? 、 AD? 、 BD 共面 答案:C

???? ?

???? ????? ??? ?

????

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4 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点,若 A B1 = a , 1
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???? ?

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????? ? ???? ? ????? A1D1 = b , A1 A = c ,则下列式子中与 B1M 相等的是
1 ? 1 ? ? a + b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c D- 2 2 ? ???? ???? 1 ??? ??? ? ? ????? ???? ???? ? 1 ???? 解析:B1M = B1B + BM = B1B + ( BA + BC )= A A - A1B1 + 1 2 2 ????? ? ? 1 ? 1 1 A1D1 = c - a + b ,故选 A 答案:A 2 2 2
A-
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1 ? 1 ? ? a + b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c C 2 2
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B

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5 O、A、B、C 为空间四个点,又 OA 、 OB 、 OC 为空间的一个基底,
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??? ?

??? ?

??? ?

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则 A O、A、B、C 四点共面,但不共线 C O、A、B、C 四点中任意三点不共线
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B O、A、B、C 四点不共线 D O、A、B、C 四点不共面
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解析:由基底意义, OA 、 OB 、 OC 三个向量不共面,但 A、B、C
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??? ?

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三种情形都有可能使 OA 、 OB 、 OC 共面 只有 D 才能使这三个向量不共
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??? ?

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面,故应选 D
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答案:D

6 已知四边形 ABCD 中, AB = a -2 c , CD =5 a +6 b -8 c ,对角线
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??? ? ?
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??? ?

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AC、BD 的中点分别为 E、F,则 EF =_____________

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解析:∵ EF = EA + AB + BF , EF = EC + CD + DF , 两式相加,得 2 EF =( EA + EC )+( AB + CD )+( BF + DF ) ∵E 是 AC 的中点,故 EA + EC = 0 同理, BF + DF = 0

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?

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??? ???? ? ?

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∴2 EF = AB + CD = a -2 c ) (5 a +6 b -8 c ) a +6 b -10 c ∴ ( + =6
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??? ? ? ? ? EF =3 a +3 b -5 c

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答案:3 a +3 b -5 c

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7 已知 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,且 a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,则〈 a ,
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解析:由条件知( a +3 b )(7 a -5 b )=7| a |2-15| b |2+16 a · b =0, · 及( a -4 b )(7 a -2 b )=7| a |2+8| b |2-30 a · b =0 · 两式相减得 46 a · b =23| b |2, ∴a ·b =

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? ? 1 ? 2 | b | 代入上面两个式子中的任意一个,即可得到| a |=| b | 2
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1 ?2 ? ? |b | ? ? ? ? a ?b 1 ∴cos〈 a , b 〉= ? ? = 2 ? 2 = ∴〈 a , b 〉=60° 答案:60° 2 | a || b | | b |
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8 试用向量证明三垂线定理及其逆定理
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? a

已知: PO、PA 分别是平面α 的垂线和斜线,OA 是 PA 在α 内的射影, α ,求证: a ⊥PA ? a ⊥OA ? ? ? ? 证明:设直线 a 上非零向量 a ,要证 a ⊥PA ? a ⊥OA,
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即证 a · AP =0 ? a · AO =0 ∵a

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? ? ?

α , a · OP =0,

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∴ a · AP = a · AO + OP )= a · AO + a · OP = a · AO ( ∴ a · AP =0 ? a · AO =0,即 a ⊥PA ? a ⊥OA

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点评:向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具 在应用过程 中,常需要通过加、减法对向量进行转换,当然,转换的方向是有利于计算 向量的数量积
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9 在空间四边形 ABCD 中, 求证:AB ·CD + AC ·DB + AD ·BC =0
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? ? ??? ??? ??? ?

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证法一:把 AB 拆成 AC + CB 后重组,

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? ? ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? AB · CD + AC · DB + AD · BC
=( AC + CB ) CD + AC · DB + AD · BC ·

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= AC · CD + CB · CD + AC · DB + AD · BC = AC · CD + DB )+ CB · CD + DA ) ( ( = AC · CB + CB · CA = CB · AC + CA )= CB · 0 =0 (

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证法二:设 a = DA , b = DB , c = DC , 则

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??? ?

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? ? ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? AB · CD + AC · DB + AD · BC
=( b - a )(- c )+( c - a ) b +(- a )( c - b ) · · ·
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=- b · c + a · c + c · b - a · b - a · c + a · b =0

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点评: 把平面向量的运算推广到空间后, 许多基本的运算规则没有变 证 法一中体现了向量的拆分重组技巧, 要求较高; 证法二设定三个向量为基底,
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而原式中所有向量化归为关于 a 、b 、c 的式子,化简时的思路方向较清楚
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