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等比数列的前n项和数列总结


等比数列的前 n 项和
一、等比数列的前 n 项和公式 1.乘法运算公式法 - ∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1 - =a1(1+q+q2+…+qn 1) - ?1 -q? ? 1 +q+q2+…+qn 1? a1? 1 -qn? =a1· = , 1-q 1-q a1? 1 -qn? ∴Sn= . 1-q 2.方程法 - ∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1 - =a1+q(a1+a1q+…+a1qn 2) - - =a1+q(a1+a1q+…+a1qn 1-a1qn 1) - =a1+q(Sn-a1qn 1), ∴(1-q)Sn=a1-a1qn. a1? 1 -qn? ∴Sn= . 1-q 3.等比性质法 a2 a3 a4 an ∵{an}是等比数列,∴ = = =…= =q. a1 a2 a3 an-1 a2+a3+…+an ∴ =q, a1+a2+…+an-1 Sn-a1 a1-anq a1? 1 -qn? 即 =q 于是 Sn= = . Sn-an 1-q 1-q 二、等比数列前 n 项和公式的理解 (1)在等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn 五个量,知道其中任意三个量,都可求出其余两 个量. a1? 1 -qn? a1 n a1 a1 (2)当公比 q≠1 时, 等比数列的前 n 项和公式是 Sn= , 它可以变形为 Sn=- · q+ , 设 A= , 1-q 1- q 1-q 1-q 上式可写成 Sn=-Aqn+A.由此可见,非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和 构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). 等比数列前 n 项和性质 (1)在等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列,即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列. S偶 (2)当 n 为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即 =q. S奇 (3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等比数列, 即 Sn=-Aqn+A? 数列{an}为等比数列. 题型一 等比数列前 n 项和公式的基本运算(在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元 素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用 a1 和 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到 两式相除达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用;在解决与前 n 项和有关的问题时, 首先要对公比 q=1 或 q≠1 进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. ) 1、 在等比数列{an}中,(1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n;(2)若 q=2,S4=1,求 S8.

2、 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.

题型二 等比数列前 n 项和性质的应用 3、 一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项和为 170,求出数列的公比和项数. 4、 等比数列{an}中,若 S2=7,S6=91,求 S4.

题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 5、 借贷 10 000 元, 以月利率为 1%, 每月以复利计息借贷, 王老师从借贷后第二个月开始等额还贷, 分 6 个月付清, 6 5 试问每月应支付多少元?(1.01 ≈1.061,1.01 ≈1.051) [规范解答] 方法一 设每个月还贷 a 元,第 1 个月后欠款为 a0 元,以后第 n 个月还贷 a 元后,还剩下欠款 an 元(1≤n≤6),则 a0=10 000, a1=1.01a0-a, a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a, …… a6=1.01a5-a=……=1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a. 由题意,可知 a6=0, 即 1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a=0, 6 ? 1.01? × 102 1.061× 102 a= .因为 1.016=1.061, 所以 a= ≈1 739. 6 ? 1.01? -1 1.061-1 故每月应支付 1 739 元. 方法二 一方面,借款 10 000 元,将此借款以相同的条件存储 6 个月,则它的本利和为 S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元). 另一方面,设每个月还贷 a 元,分 6 个月还清,到贷款还清时,其本利和为 S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a a[? 1 +0.01?6-1] = =a[1.016-1]× 102(元). 1.01-1
6 ? 1.01? × 102 由 S1=S2,得 a= . 6 ? 1.01? -1

以下解法同法一,得 a≈1 739.

故每月应支付 1 739 元. 方法技巧 错位相减法求数列的和 若数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前 n 项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比 q,并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数 列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法. 6、已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; - (2)设 bn=(4-an)qn 1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

数列归纳整合
一、数列的概念及表示方法 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数. (2)表示方法:列表法、图象法、通项公式法和递推公式法. (3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆

动数列和常数列.
? ?S1?n=1?, (4)an 与 Sn 的关系:an=? ?Sn-Sn-1?n≥2? . ?

二、等差数列、等比数列性质的对比 等差数列 ①设{an}是等差数列,若 s+t=m+n,则 as +at=am+an; ②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等差数列; ③等差数列中连续 m 项的和组成的新数列是 等差数列,即:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是 等差数列 等比数列

性质

①设{an}是等比数列,若 s+t=m+n,则 as· at=am· an; ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等 比数列; ③等比数列中连续 m 项的和组成的新数列是等比数 列,即:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列(注意: 当 q=-1 且 m 为偶数时,不是等比数列)

函数 特性

①等比数列{an}的通项公式是 n 的指数型函数,即 an ①等差数列{an}的通项公式是 n 的一次函数, a1 即 an=an+b(a≠0,a=d,b=a1-d); =c· qn,其中 c≠0,c= ; q ②等差数列{an}的前 n 项和公式是一个不含常 ②等比数列{an}的前 n 项和公式是一个关于 n 的指数 数项的 n 的二次函数,即 Sn=an2+bn(d≠0) 型函数,即 Sn=aqn-a(a≠0,q≠0,q≠1)

三、等差数列、等比数列的判断方法 an+1 (1)定义法:an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列; =q(q 为常数,q≠0)?{an}是等比数列. an (2)中项公式法:2an+1=an+an+2?{an}是等差数列;an+12=an· an+2(an≠0)?{an}是等比数列. (3)通项公式法:an=an+b(a,b 是常数)?{an}是等差数列;an=c· qn(c,q 为非零常数)?{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法:Sn=an2+bn(a,b 为常数,n∈N*)?{an}是等差数列;Sn=aqn-a(a,q 为常数,且 a≠0,q≠0, q≠1,n∈N*)?{an}是等比数列. 专题一 数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心之一,它如同函数中的解析式一样,有解析式便可研究函数的性质,而有了数列的通 项公式,便可求出数列中的任何一项及前 n 项和. 常见的数列通项公式的求法有以下几种: (1)观察归纳法求数列的通项公式 就是观察数列的特征,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与序号 n 的内在联系,结合常见数列的通项公 式,归纳出所求数列的通项公式. (2)利用公式法求数列的通项公式 数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出 a1 与 d 或 a1 与 q,再代入公式 an=a1+(n-1)d 或 - an=a1qn 1 中即可. (3)利用 an 与 Sn 的关系求数列的通项公式 如果给出的条件是 an 与 Sn 的关系式,可利用
? ?S1?n=1?, an=? 先求出 a1=S1,再通过计算求出 an(n≥2)的关系式,检验当 n=1 时,a1 是否满足该式, ?Sn-Sn-1?n≥2?, ?

若不满足该式,则 an 要分段表示. (4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式 形如:已知 a1,且 an+1-an=f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法; an+1 形如:已知 a1,且 =f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法. an

(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求 an 较难,可以通过整理变形等,从中构造出一个等差数列或等比数列,从而求出通项公式. 1、已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2 且 a1=2,求 an. n+1 2、数列{an}中,若 a1=1,an+1= a (n∈N*),求通项公式 an. n+2 n 3、已知数列{an}满足 an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式. 3 4、设 Sn 为数列{an}的前 n 项的和,且 Sn= (an-1)(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 2 专题二 数列求和 求数列的前 n 项和 Sn 通常要掌握以下方法: 1、公式法:直接由等差、等比数列的求和公式求和,注 意对等比数列 q≠1 的讨论. 2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推 导过程的推广. 3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列再求和. 4、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 5、倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 1 1 1 1 1、求数列 2 ,4 ,6 ,…,2n+ n+1的前 n 项和 Sn. 4 8 16 2 1 2 n 2 2、在数列{an}中,an= + +…+ ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n 项的和. n+1 n+1 n+1 an· an+1 3、求和 Sn=x+2x2+3x3+…+nxn. 专题三 数列的交汇问题 数列是高中代数的重点内容之一,也是高考的必考内容及重点考查的范围,它始终处在知识的交汇点上,如数列与 函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题. 1、已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成立,试求 m 的取值范围. 2 2、数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=an2· bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn.


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