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2.2.1用样本频率分布估计总体分布


2.2.1 用样本的频率 分布估计总体分布

我国是世界上严重缺水的国家之一, 如何用样本的频率分布 城市缺水问题较为突出。

估计总体分布?

2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市

1、抛掷硬币的大量重复试验的结果: 频率分布表: 样本容量为72 088
实验结果 正面向上 反面向上 频数 36 124 35 964 频率 0.501 1 0.498 9

频率分布条形图
0.7 0.6

频率 “正面向上”记为0

0.5 0.4
0.3 0.2 0.1

“反面向上”记为1

结论:当试验次 数无限增大时, 两种试验结果的 频率大致相等。

试验结果 0 1

归纳1:当总体中的个体所取的不同数值较少 时,其随机变量是离散型。则样本的频率分布表 示形式有: (1)样本频率分布表
试验结果 频数 频率

(2)频率分布条形图

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

频率

试验结果 0 1

实例

某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行 居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量 标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费,超过a 的部分按议价收费。
①如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定 为多少比较合理呢?

②为了较合理地确定这个标准,你认为需要做哪些工作?

通过抽样,我们获得了100位居民某年的月平均用水量,如下表:

思考:由上表,大家可以得到什么信息?

画一组数据的频率分布直方图,可以按以下 的步骤进行: 1.极差:样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差

0.2~4.3 2.确定组距,组数:.如果将上述 100个数据按组距为0.5进行分组, 那么这些数据共分为多少组? (4.3-0.2)÷0.5=8.2

3 将数据分组,决定分点:以组距为0.5进 行分组,上述100个数据共分为9组, 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间。

[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5), ?,[4,4.5].
4 画频率分布表:登记频数,计算频率,列出频 率分布表。

分 组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计

频数 4 正 8 正 正 正 15 正 正 正 正 22 正 正 正 正 正 25 正 正 14 正 一 6 4 2 100

频数累计

频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00

5 画出频率分布直方图(纵轴表示频率 /组距)
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

宽度:组距
高度:
频率 组距

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

上图称为频率分布直方图,其中横轴 表示月均用水量,纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的宽度 和高度在数量上有何特点?

图形的意义:频率分布直方图中各小长 方形的面积表示什么?各小长方形的面 积之和为多少? 频率 宽度:组距 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

高度:
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

频率 组距

月均用水量/t

各小长方形的面积=频率 各小长方形的面积之和=1

3 分析例题:频率分布直方图非常直观 地表明了样本数据的分布情况,你能根 据上述频率分布直方图指出居民月均用 水量的一些数据特点吗?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的,而 且是“单峰”的;
(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值 附近,只有少数居民的月均用水量很多或很少; (3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.

思考:对一组给定的样本数据,频率分 布直方图的外观形状与哪些因素有关? 在居民月均用水量样本中,你能以1为组 距画频率分布直方图吗?

与分组数(或组距)及坐标系的单位长 度有关. 频率
0.4 0.3 0.2 0.1
O

组距

1

2

3

4

5 月均用水量/t

小结

画频率分布直方图的步骤

1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数(将数据分组) 组距:指每个小组的两个端点的距离 组数:将数据分组,当数据在100个以内时, 按数据多少常分5-12组。 组数= 极差 ? 4.1 ? 8.2 3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)

组距

0.5

4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。

频率分布直方图如下:
频率

组距

连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

利用样本频分布对总体分布进行相应估计

(1)上例的样本容量为 100,如果增至1000, 其频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增

至10000呢?

(2)样本容量越大,这种估计越精确。

总体密度曲线
当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么 频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线——总体密 度曲线. 总体密度曲线
频率 组距

月均用 水量/t

a

b

(图中阴影部分的面积,表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比)。

茎叶图
当样本数据较少时,用茎叶 图表示数据的效果较好,它不但 可以保留所有的信息,而且 可以 随时记录,给数据的记录和表示 都方便。

茎叶图
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的

原始记录如下:

(1)甲运动员得分:
13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39

(2)乙运动员得分: 49,24,12,31,50,
31,44,36,15,37,25,36,39





8
4 6 3 3 6 8 3 8 9

0
1 2 3 4 2 5 1 4 5 4 6 1 6 7 9 9

1

5

0

注:中间的数字表示得分的十位数字。 旁边的数字分别表示两个人得分的 个位数。

练习:某中学高一(2)班甲,乙两名 同学自高中以来每场数学考试成绩情况 如下: 甲的得分:95,81,75,91,86,89, 71,65,76,88,94 乙的得分:83,86,93,99,88,96, 98,98,79,85,97 画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶 图对两人的成绩进行比较。

练习:
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构, 随机抽样50名,其年龄分别如下: 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44, 40,59,39,42,44,50,37,44,45,29, 48,45,53,48,37,28,46,50,37,44, 42,39,51,52,62,47,59,46,45,67, 53,49,65,47,54,63,57,43,46,58. (1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计年龄在32~52岁的知识分子所占的比例 约是多少.

(1)极差为67-28=39,取组距为5,分为8组.
样本频率分布表: 分 组 [27,32) [32,37) [37,42) [42,47) [47,52) [52,57) [57,62) [62,67) 合 计 频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50 频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00

(2)样本频率分布直方图:
频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄

(3)因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7, 故年龄在32~52岁的知识分子约占70%.

1. 一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为 0.125, B) 那么该组样本的频数为( A.2 B.4 C.6 D. 8

C ) 2. 在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法正确的是( A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确

3、已知样本10, 8, 6, 10, 8, 13, 11, 10, 12, 7 , 8 , 9, 12 , 9, 11, 12, 9, 10, 11, 11, 那么频率为0.2范围的是( D )
A.5.5~7.5 C. 9.5~11.5 分组 5.5~7.5 7.5~9.5 9.5~11.5 11.5~13.5 频数 2 6 8 4 B. 7.5~9.5 D. 11.5~13.5 频率 0.1 0.3 0.4 0.2

合计

20

1.0

4、一个容量为20的样本数据.分组后,组距与频数如下:

(0, 20]

2;

(20,30] 3; (50,60] 4;

(30,40] 4; (60,70] 2;

(40,50] 5;
(2002,江西)

则样本在(-∞,50]上的频率为: 7/10

5、观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则 0.3 新生婴儿体重(2700,3000)的频率为: ; y

0.00 1
240 2700 3000 3300 3600 3900 X 体重

6.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名 年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:
频率/组距
0.07

0.05
0.03

体重(kg)

54.5 58.5 62.5 66.5 70.5 74.5

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( C ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

课后作业
1. P71 练习 第三题。 2. 习题2.2 A组 第一题(1)。 3. 习题2.2 A组 第二题。


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