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高中数学 优选法与试验设计初步课件 新人教A版选修4-7



选修4-7优选法与试验设计初步

第一讲

优选法

一.什么叫优选法 二.单峰函数

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.利用线性规划原理,可以解决在线 性约束条件下,求线性目标函数的最大 值或最小值问题,同时还可以求得使目 标函数取得最大或最小值的最优解.其中 在可行域内寻找最优解,体现了一种优 选法思想.

2.蒸馒头是日常生活中常做的事情, 为了使蒸出的馒头好吃,就要放碱,如 果碱放少了,蒸出的馒头就发酸;碱放 多了,馒头就会发黄且有碱味.如果你没 有做馒头的经验,也没有人可以请教, 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量 标准.

3.在实践中的许多最优化问题,试 验结果与因素的关系,有些很难用数学 形式来表达,有些表达式很复杂,这需 要我们学习解决这类问题的数学方法.

探究(一):优选法

思考1:有一种商品价格竞猜游戏,参与 者在只知道售价范围的前提下,对一件 商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估 价不正确时,主持人以“高了”或“低 了”作为提示语,再让竞猜者继续估价, 在规定时间或次数内猜对了即可获得相 应奖品.如果你参与这项活动,每次会怎 么给出估价?

思考2:在生产、生活和科学实验中,人 们为了达到优质、高产、低耗等目的, 需要对有关因素的组合进行选择,其中 最佳组合简称最佳点,关于最佳点的选 择问题,称为优选问题.优选问题在生产、 科研和日常生活中大量存在,如商品价 格竞猜,蒸馒头放碱等都是优选问题, 你能列举一个优选问题的实例吗? 思考3:有一个1km2的正方形池塘,现 在要找到池塘的最深点,若每隔1m测量 一次,大约要测量多少次? 约106次

思考4:对于那些试验结果和相关因素的 关系不易用数学形式表达或数学表达很 复杂的优选问题,人们往往通过做试验 的办法来寻找各种因素的最佳点.通过试 验方法来求最佳点时,如果不合理安排, 就可能面临什么问题? 面临大量试验.

花费大量人力、财力和时间. 有时可能不具有操作性.

思考5:利用数学原理,合理安排试验, 以最少的实验次数迅速找到最佳点的科 学试验方法称为优选法.那么使用优选法 的目的是什么?需要进一步探究的问题 是什么?
目的:减少试验次数.

问题:优选法如何实施.

探究(二):单峰函数

思考1:在军事训练中,发射炮弹要考虑 发射角多大时炮弹的射程最远,这是一 个优选问题,能否用数学形式表达炮弹 的射程与发射角之间的关系?



思考2:设炮弹的初速度为v,发射角为 θ(0°≤θ ≤90°),在时刻t炮弹距发射 点的水平距离为x,离地面的高度为y, 空气阻力忽略不计,则在下面的直角坐 标系中,炮弹飞行轨迹的参数方程和普 通方程分别是什么? y ? x ? tv cos ? ? (t为参数) ? 1 2 θ y ? tv sin ? ? gt ?
? 2
O
x

g 2 y ? x tan ? ? 2 x 2 2v cos ?

思考3:炮弹的射程x与发射角θ 之间的 函数关系是什么?其图象如何?炮弹发 射角的最佳点是什么?
v ? x ? sin 2? (0 ? ? ? ) g 2
2

射程x

最佳点是? ?
O
?
4

?
4

? 发射角θ
2

思考4:上述结果表明,发射角在 [0, 2 ] 内有唯一的最佳点 ,当发射角在[0, 2 ] 4 ? 内的取值比 4 大些或小些时射程都近, 通常称这样的试验具有单峰性.一般地, 怎样理解单峰性的含意? 在试验范围内有唯一的最佳点,当试验 范围内变化因素的取值比最佳点再大些 或最小些时,试验效果都差,而且取值 距离最佳点越远试验效果越差.
?
?

?

思考5:下图中的两个函数称为区间 [a,b]上的单峰函数,那么单峰函数的 定义特征是什么?
y y f(x) O a g(x) x C b x

O a

C

b

函数f(x)在区间[a,b]上只有唯一的最 大(小)值点C,且在点C的两侧单调,并 具有相反的单调性.

思考6:下列各图中的函数是区间[a,b] 上的单峰函数吗?单峰函数一定是连续 函数吗?
y y

y

O a

b x O a

b x O a

b x

规定:区间[a,b]上的单调函数是单峰 函数. 单峰函数不一定是连续函数.

探究(三):因素与试点

思考1:在炮弹发射试验中,除发射角外, 客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程?

初速度,空气阻力,地理位置等.

思考2:一般地,把影响试验目标的诸多 原因称为因素.由于全面考虑试验中的各 种因素往往非常困难,常假设其中的某 些因素保持不变,或忽略某些影响较小 的因素,而把关注点集中在感兴趣的某 个因素上.如果在一个试验过程中,只有 (或主要有)一个因素在变化,则称这 类问题为单因素问题. 炮弹发射试验是 否为单因素问题?认为哪些因素保持不 变?忽略了哪些因素? 认为初速度保持不变,忽略了空气阻力.

思考3:把试验中可以人为调控的因素叫 做可控因素,不能人为调控的因素叫做 不可控因素,炮弹发射试验中哪些是可 控因素,哪些是不可控因素?一般地, 在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素? 发射角是可控因素,空气阻力是不可控 因素,感兴趣的是可控因素.

思考4:表示试验目标与因素之间对应关 系的函数称为目标函数,常用x表示因素, f(x)表示目标函数,包含最佳点的因素 范围下限用a表示,上限用b表示. 炮弹 发射试验的目标函数,因素范围上、下 限分别是什么?
v f 目标函数: ( x) ? sin 2 x g
2

? 因素范围上限: ,下限:0.
2

思考5:当主要因素确定之后,接下来的 任务是通过试验找出最佳点,使试验的 结果(目标)最好. 当目标函数没有表 达式时,一般要选择适当的方法安排试 验点(简称试点),选择试点方法找出 最佳点的基本原则是什么?

试点个数尽可能少.

思考6:设x1和x2是因素范围[a,b]内的 任意两个试点,C为最佳点,把两个试点 中效果较好的点称为好点,效果较差的 点称为差点.若目标函数为单峰函数,则 好点与差点哪个更接近最佳点?
y f(x) y f(x) x

O a

C

b

O

a

C

b

x

若好点和差点在最佳点同侧,则好点比 差点更接近最佳点;否则,不好说.

思考7:若目标函数为单峰函数,则最佳 点,好点,差点的相对位置关系如何?
y f(x) y f(x)

O

a

C

b x

O

a

C

b

x

最佳点与好点必在差点的同侧. 思考8:以差点为分界点,把因素范围分 成两部分,其中好点所在部分称为存优 范围.据此,你能设计一个找最佳点的方 法吗? 不断缩小存优范围

理论迁移 例1 据医学统计,人群中带有某种传染病毒的 人所占的比例为0.25%.某市在一次高考体检中有1 万名考生待检,为了查清这些考生中哪些人携带 此病毒,医院采取一种叫“群试”的方法,通过 血液化验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血 样分成两部分,一份保存备用,一份与其他若干 人的血样混合在一起化验.若某组混合血样中含 此病毒,说明这组人中有该病毒携带者,然后利 用备用血样逐个化验排查;若某组混合血样中不 含此病毒,说明这组人中没有该病毒携带者,这 样就可以减少化验的次数.若将这1万名考生平均 分成200组进行群试化验排查,那么至多做多少次 化验,就一定能找出所有该病毒携带者. 1424次

例2 已知函数f(x)为区间[0,1]上的 单峰函数,且f(x)在x=a时取最大值, 并称a为峰点,包含峰点的区间叫做含峰 区间.证明:对任意x1,x2∈(0,1), x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含 峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为 含峰区间.

例3

已知函数

若f(x)是[0,4]上的单峰函数,求a的取 值范围.

1 3 2 2 f ( x) ? x ? 2ax ? 3a x ? 2 3

4 (??, 0] U[ , ??) 3

小结作业

1.如果影响试验的某个因素(记为x) 处于某种状态(记为x=x0)时,试验结 果最好,那么这种状态(x=x0)就是这 个因素(x)的最佳点.
2.具有单峰性的试验是优选法研究的 最简单的试验,在这样的试验中,试验 结果可以表示为实验因素的单峰函数.

3.目标函数并不需要f(x)的真正表 达式,因素范围可以用a到b的线段来表 示. 不断缩小存优范围是寻找最佳点的 一个有效办法.

作业: P3习题1.1:1,2.

P5习题1.2:1,2.

选修4-7优选法与试验设计初步

第一讲

优选法

三.黄金分割法——0.618法

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.优选法的含意是什么?

利用数学原理,合理安排试验,以最少 的实验次数迅速找到最佳点的科学试验 方法. 2.区间[a,b]上的单峰函数的基本特 点是什么? 函数在区间[a,b]上只有唯一的最大(小) 值点C,且在点C的两侧单调,并具有相 反的单调性.

3.好点、差点和单峰函数存优范围的 含义分别是什么?

好点:两个试点中效果较好的点;
差点:两个试点中效果较差的点; 存优范围:以差点为分界点,把因素范 围分成两部分,好点所在 部分对应的范围.

4.优选法的基本原则是以最少的实验 次数迅速找到最佳点,在实际问题中, 应采取什么办法贯彻这个原则?对具有 单峰性的试验,如何安排试点才能迅速 找到最佳点?这才是优选法的核心内容, 也是我们必须解决的问题.

探究(一):黄金分割常数

思考1:对于单峰函数,最佳点与好点必 在差点的同侧,从而可以通过不断缩小 存优范围来寻找最佳点,具体如何操作?

先在因素范围[a,b]内任选两点各做一 次试验,根据试验结果确定好点与差点, 在差点处把[a,b]分成两段,截掉不含 好点的一段,留下存优范围[a1,b1]再 在[a1,b1]内重复上述工作,?.

思考2:假设因素区间为[0,1],取两个 试点0.1和0.2,则对峰值在(0,0.1)内 的单峰函数,两次试验存优范围缩小到 了什么区间?对峰值在(0.2,1)内的单 峰函数,两次试验存优范围缩小到了什 么区间?
y y f(x) f(x) O 0.1 0.2 1 x O 0.1 0.2 1

x

(0,0.2)

(0.1,1)

思考3:上述结果表明,如果试点选取是 随意的,则对寻找单峰函数最佳点的效 率会产生一定的影响.由于在试验之前无 法预知哪个试点是好点,为了克服盲目 性和侥幸心理,在每次选取两个试点时, 你认为这两个试点应具有什么相对位置 关系为好? a b

关于区间中点对称

思考4:在一个区间内关于中点对称的两 点有无数对,实践表明,两个试点离中 点太近或太远,都不利于很快接近最佳 点.我们设想:每次舍去的区间长度与舍 去前的区间长度之比为常数.对单峰函数, 若两个试点的试验结果一样,应如何舍 去区间?

同时舍去两个试点外侧的区间.

思考5:在因素区间[a,b]内选取两个试 点x1和x2,且x1>x2,由点x1和x2关于区 间[a,b]的中心对称,可得什么关系? 舍去的区间长度为多少? a x2 x1 b

x2-a=b-x1

思考6:不妨设x2是好点,x1是差点,则 舍去的区间是什么?存优范围是什么? 再在存优范围内[a,x1]内做试验要取几 个试点? 舍去(x1,b]
a x2 x1 b 存优范围是[a,x1] 取一个试点

思考7:在存优范围[a,x1]内取第三个 试点x3,则点x2与x3的相对位置关系如何? 舍去的区间长度为多少?
a x3 x2 x1

关于区间[a,x1]的中心对称,且点x3在 点x2左侧,舍去的区间长度为x1-x2.

思考8:根据按比例舍去原则,可得什么 等式?

a a

x2 x1 x3 x2 x1

b

b ? x1 x1 ? x2 ? b?a x1 ? a

思考9:将上面的等式可得,

如何理解这个等式两边的实际意义?
a

b ? x1 x1 ? x2 x1 ? a x2 ? a 1? ? 1? ? ,即 b?a x1 ? a b ? a x1 ? a
x2 x1
x3 x2 x1 b

a

两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间 的比例数.

x1 ? a 思考10:设 ? t ,有什么办法求出 b?a
t的值吗?

5 ?1 t? 2

探究(二):黄金分割法

思考1: 示,ω ≈0.618.试验方法中,利用黄金 分割常数确定试点的方法叫做黄金分割 法,也叫做0.618法.一般地,利用这个 方法寻找单峰函数在因素区间[a,b]内 的最佳点,具体如何操作? 在存优范围内取黄金分割点为试点.

5 ?1 称为黄金分割常数,用ω 表 2

思考2:炼钢时通过加入含有特定化学元 素的材料,使练出的钢满足一定的指标 要求.假设为了炼出某种特定用途的钢, 每吨需要加入某元素的量在1000g到 2000g之间,若以1g为间隔,把所有的可 能性都做一遍试验来寻找最优点,这种 方法称为均分法,利用均分法寻找最优 点有什么缺点?

试验次数太多,在时间、人力和物力上 造成浪费.

思考3:用一张纸条表示1000~2000g, 以1000为起点标出刻度,如何确定第一 试点x1和第二试点x2的值?
1000 1382 1618 x1 2000

x2

x1=1000+0.618×(2000-1000) =1618(g), x2=1000+2000-x1=1382(g).

思考4:如果称因素范围的左右两端点值 分别为小头和大头,那么x1和x2的直观 表达式如何?
1000 1382 x2 1618 x1 2000

x1=1000+0.618×(2000-1000) =1618(g), x2=1000+2000-x1=1382(g).

x1=小+0.618×(大-小), x2=小+大-x1.

思考5:用黄金分割法确定第一试点x1 后,x2的值相当于“加两头,减中间”. 类似地,在确定第n个试点xn时,如果 存优范围内相应的好点是xm,则xn等于 什么? 小 大 xn xm xn=小+大-xm

思考6:对前述炼钢问题,比较第一、二 次试验结果,如果第二试点x2是好点, 则第三试点x3的值如何计算?
1000 1382 1618 x1 2000

x2

x3=1000+1618-1382=1236(g)

思考7:比较第二、三次试验结果,如果 第二试点x2仍是好点,则第四试点x4的 值如何计算?
1000
1236 1382 1618 x3 x2

x1

x4=1236+1618-1382=1472(g)

思考8:用0.618法寻找最佳点时,虽然 不能保证在有限次内准确找到最佳点, 但随着试验次数的增加,存优范围会越 来越小,若用一个数据δn来刻画n次试验 后的精度,以此衡量一种试验方法的效 率,则δn应如何计算? n次试验后的存优范围 δn= 原始的因素范围

思考9:用0.618法确定试点时,n次试验 后的精度δ n为多少? δ n=0.618n-1

思考10:用0.618法寻找最佳点时,若给 定精度δ ,为了达到这个精度,至少要 做多少次试验?

lg ? n? ?1 lg 0.618

理论迁移

例1 已知某因素范围是[100,1100], 用黄金分割法寻找最佳点,已知前6次试 验后的好点包含在区间[700,750]内, 求第6次试验后的存优范围.
[684,774]

例2 调酒师为了调制一种鸡尾酒,每 100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在 1kg到2kg之间,用0.618法寻找它的最佳 加入量,要求加入柠檬汁的误差不超出 1g,问需要做多少次试验? 需要做19次试验 例3 在用0.618法寻找最佳点的过程 中,若某次试验后的存优范围是[2,b] 且2.382是这个存优范围内的一个好点, 求b的值. b=2.618或b=3.

小结作业

1.建立黄金分割法的基本原则是: 两个试点关于存优范围的中心对称,且 每次舍去的区间长度与舍去前的区间长 度成比例.

2.黄金分割法主要适用于单因素单 峰目标函数,第一个试点确定在因素范 围的0.618处,后续试点可以用“加两头, 减中间”来确定.

3.试验方法的效率常用精度δn来反映, 在相同试验次数下,精度越高,方法越 好.

作业:

P10习题1.3:1,2,3.

选修4-7优选法与试验设计初步

第一讲

优选法

四.分数法

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.黄金分割法的基本原则是什么? 两个试点关于存优范围的中心对称,且 每次舍去的区间长度与舍去前的区间长 度成比例. 2.用黄金分割法寻找最优点时,第一 个试点选在何处?后续试点的数量值如 何计算? 第一个试点在因素范围的0.618处; 后续试点选在存优范围内,用“加两头, 减中间”来确定数量值.

3.用黄金分割法确定试点时,n次试 验后的精度δn为多少? δ =0.618n-1
n

4.黄金分割法操作简单实用,是一种 重要的优选法,是寻找单因素单峰目标 函数最佳点的主要方法.但是,如果因素 范围是由一些离散的点组成,就不便甚 至不能利用黄金分割法来寻找最佳点.用 此,我们希望以黄金分割法为基础,再 研究一个类似的方法来弥补黄金分割法 的不足.

探究(一):分数法的概念

思考1:在配置某种清洗液时,需要加入 某种材料.经验表明,加入量大于130ml 肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入 量,该量杯的量程分为15格,每格代表 10ml,能否用0.618法找出这种材料的最 优加入量?为什么?
不方便,因为用0.618法算出的试点不是 10ml的整数倍,锥形量杯难以精确计量.

5 ?1 思考2:0.618是黄金分割常数 ? ? 2

的近似值,ω 是方程ω 2+ω -1=0的 根,该方程可以作哪些变形? 1 ? ω (ω +1)=1, ? 等. 1? ? 1 思考3:将等式 ? ? 右边的ω 反复 1? ? 1 用 代替,可得什么关系式?

1? ?

1 1 1 ?? ? ?L ? 1 1? ? 1? 1 1? 1 1? ? 1? 1?O
思考4:上式右边是一个繁分式,叫做无 穷连分数,为了书写简便,记作 1 1 1 L ,那么这个无穷分数的前6项 1?1?1? 分别为多少?

1 ? 1, 1

1 1 1 ? , 1?1 2

1 1 1 2 ? , 1?1?1 3
1 1 1 1 1 5 ? , 1?1?1?1?1 8

1 1 1 1 3 ? , 1?1?1?1 5

1 1 1 1 1 1 8 ? . 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 13

思考5:依次计算无穷连分数的各项得到 1 , , , , , , ,?.这个 2 3 5 8 13 21 数列1,
2 3 5 8 13 21 34

数列的相邻两项有什么联系?设这个数 列的分子组成数列{Fn},则数列{Fn}为1, 1,2,3,5,8,13,21,34,?,这个 数列有什么构成规律? 前一项的分母等于后一项的分子; F0=F1=1, n ? Fn?1 ? Fn?2 . F

思考6:上述数列{Fn}叫做斐波那契数 Fn 列,随着n的增大, 的值与ω 有什么 Fn ?1 关系? 逐渐趋向于ω 用ω 的渐近分数
Fn 思考7:分数 F 可作为ω 的近似值,而 n ?1 Fn 且n越大近似程度越高,数列 { } 称为 Fn ?1 Fn ω 的渐近分数列, 称为ω 的第n项渐 Fn ?1

近分数.如果用0.618法确定试点不方便, 可以用哪些数代替0.618?

思考8:在前述“配置清洗液”问题中, 因素范围是0~130ml,锥形量杯能精确 计量10ml的整数倍,用哪个渐近分数来 代替0.618选取试点最合适?

8 13

8 思考9:用 代替0.618,第1试点和第2 13 试点对应的加入量分别为多少ml?若第1 试点是好点,则第3试点对应的加入量为 多少ml? 8 x1 ? 0 ? ? (130 ? 0) ? 80 13 x2=0+130-80=50
x3=50+130-80=100

思考10:在优选法中,用渐近分数近似 代替0.618确定试点的方法叫做分数法, 那么在什么情况下使用分数法?
因素范围由一些离散的、间隔不 等的点组成,试点只能取某些特定值.

探究(二):分数法的操作原理

思考1:在测试某设备的线路中,要选 一个电阻,但测试者手里只有阻值为 0.5KΩ ,1KΩ ,1.3KΩ ,2KΩ ,3KΩ , 5KΩ ,5.5KΩ 等七种阻值不等的定值电 阻,用分数法优选这个阻值有何困难? 如何解决?

阻值间隔不均匀,电阻个数不是斐波那 契数.

把这些电阻由小到大排序,并在两端各 增加一个虚点,使因素范围凑成8格.
阻值 0.5 排序 0 1 1 2 1.3 3 2 3 5 5.5 4 5 6 7

8

思考2:通过上述处理,可以把阻值优 5 选变为排列序号优选,用渐近分数 代 8 替0.618确定试点,第1个试点选取哪个 阻值的电阻?第2个试点选取哪个阻值 的电阻? 3KΩ ,1.3KΩ .

思考3:如果第2个试点是好点,则第3个 试点选取哪个阻值的电阻?如果第1个试 点是好点,则第3个试点选取哪个阻值的 电阻? 1KΩ . 5KΩ . 思考4:分数法的基本思想是用适当的渐 近分数代替0.618,再类似黄金分割法的 操作原理选取试点.设某试验的因素范围 是[0,1],如果只能做1次试验,则应取 哪个渐近分数代替0.618?试点选在何处? 1 精度为多少? 精度为0.5. 2

思考5:设某试验的因素范围是[0,1], 如果只能做2次试验,则应取哪个渐近分 数代替0.618?两个试点分别选在何处? 精度为多少? 2 0 1 3
1 2 第1试点选在 处,第2试点选在 处, 3 3 1

精度为

3

.

思考6:如果只能做3次试验,则应取哪 个渐近分数代替0.618?精度为多少?一 般地,如果只能做k次试验,则应取哪个 渐近分数代替0.618?精度为多少? 0 1

1 3 渐近分数取 ,精度为 ; 5 5

渐近分数取

1 Fk ,精度为 F . Fk ?1 k ?1

思考7:用分数法安排试点时,若可能的 试点总数正好是某一个Fn-1,则第1,2 个试点分别选哪个点?经过两次试验后, 存优范围中还剩下多少个试点可能是最 佳点?
0 1 Fn-2 Fn-1 Fn-1 Fn

第Fn-1和Fn-2点,剩Fn-1-1个试点.

思考8:在Fn-1个可能的试点中,最多 做多少次试验就能找到其中的最佳点? 最多做n-1次试验
思考9:若可能的试点总数大于某一个 Fn-1,且小于某一个Fn+1-1,用分数 法安排试点时应作如何处理? 把所有可能的试点减少为Fn-1个, 或增设几个虚点凑成Fn+1-1个.

思考10:一般地,用分数法安排试点的 操作步骤如何?

(1)将试点个数调整为Fn-1个;
Fn ?1 (2)用 代替0.618确定第一个试点; Fn

(3)用“加两头,减中间”的方法确 定后续试点.

思考11:对目标函数为单峰的情形,用 分数法寻找最佳点的试验次数与试点个 数有什么关系? (1)当因素范围内有Fn+1-1个试点时, 最多只需作n次试验就能找出其中的最佳 点. (2)通过n次试验,最多能从Fn+1-1个 试点中保证找出最佳点. (3)只有按照分数法安排试点,才能通 过n次试验保证从Fn+1-1个试点中找出 最佳点.

理论迁移

例 某化工厂拟对某一化工产品进行 技术改良,需要优选加工温度,试验范 围定为60~80°C,精度要求±1°,技 术员准备用分数法进行优选. (1)如何安排试验? (2)最多通过几次试验就可以找出最佳 点? (3)若最佳点为70°C,求各试点的值.

小结作业

1.分数法适用于单因素单峰函数的 因素范围由一些离散的点组成,试点只 能取某些特定值的情形,其基本思想是 用适当的渐近分数代替0.618,然后按 类似黄金分割法的操作原理选取试点. 即先用渐近分数确定第一个试点,后续 试点可以用“加两头,减中间”的方法 来确定.

2.现实中,由于时间、人力、物力 和财力的关系,往往使试验次数受到限 制,这种情况下采用分数法可以达到较 好的效果.当试点个数一定时,用分数法 找出其中的最佳点的试验次数最少. 3.若因素范围内的试点将试验范围所 分的段数不是斐波那契数,则可以通过 减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契 数.

作业:

P17习题1.4:1,2,3.

选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法

五.其他几种常用的优选法

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.斐波那契数列{Fn}的构成规律是什 么? F =F =1, Fn ? Fn?1 ? Fn?2 . 0 1 2.分数法的基本思想与适用范围是什 么? Fn ?1 用渐近分数 近似代替0.618确定试点 Fn 的方法. 适用于单因素单峰函数的因素范围由一 些离散的点组成,试点只能取某些特定 值的情形.

3.用分数法安排试点的操作步骤如何? →将试点个数调整为Fn-1个
Fn ?1 →用 F 代替0.618确定第一个试点 n

→用“加两头,减中间”的方法确定后 续试点.

4.分数法寻找最佳点的试验次数与试 点个数有什么关系? (1)当因素范围内有Fn+1-1个试点时, 最多只需作n次试验就能找出其中的最佳 点. (2)通过n次试验,最多能从Fn+1-1个 试点中保证找出最佳点. (3)只有按照分数法安排试点,才能通 过n次试验保证从Fn+1-1个试点中找出 最佳点.

5.分数法与黄金分割法都是有效的优 选法,其操作原理基本类似,其主要区 别是分数法用渐近数确定第一个试点, 黄金分割法用0.618确定第一个试点,其 共同点是用“加两头,减中间”确定后 续试点.由于这两种优选法的适应范围各 有其局限性,同时,利用这两种方法解 决某些优选问题需要较多的试验次数, 因此,我们还得有一些其他的优选法作 为补充.

探究(一):对分法

思考1:在商品价格竞猜游戏中,竞猜者 以怎样的方式估价,可以尽快猜对商品 的价格? 每次取存优范围的中点值作为估价. 思考2:有一条10km长的输电线路出现了 故障,在线路的一端A处有电,在另一端 B处没有电,你有什么办法通过试点迅速 查出故障所在位置? 每次取存优范围的中点作为试点.

思考3:上述安排试点的方法称为对分法, 那么对分法的操作步骤是什么?

→取因素范围的中点为试点
→根据试验结果截去范围的一半 →在存优范围内重复上述操作,直至找 出最佳点.

思考4:并不是所有优选问题都可以用对 分法,那么对分法的适应条件是什么?
(1)有一个鉴别试验结果好坏的标准; (2)能根据每次试验结果预知下个试点 的存优范围. 思考5:利用对分法作n次试验,所达到 的精度为多少? 1

?n ? ( )
2

n

思考6:分别用0.618法和对分法安排试 验,找出蒸馒头时合适的放碱量,哪种 方法更为有效?为什么? 对分法更有效.

第一,合适的放碱量事先有明确的标准 第二,用对分法取试点计算要方便; 第三,同样多次试验对分法的精度要高, 用对分法能以较少次数的试验找到最佳 点.

探究(二):盲人爬山法

思考1:当电视机画面有“雪花”时,可 以用遥控器进行频道微调,使画面达到 清晰状态,具体如何操作?
先往前面方向微调,如果画面清晰一些 了就继续往这个方向微调,否则就往后 面方向微调.如果前后微调的清晰度都比 某点低,则该点为清晰状态最佳点.

思考2:一个盲人爬山时已到某处,假设 山是单峰的,且只有一条直道经过山顶, 试设想他如何判断其立足之处是否为山 顶? 对前后两个方向进行试探,如果前面高 了,就向前走一步,否则试探后面.如果 前后都比某点低,就说明到达山顶了.

思考3:对单因素单峰试验,利用上述思 想寻找最佳点具体如何操作? →根据经验或估计找一个起点A,在因素 的减方向找一个试点B

→若B是好点,就继续减少,若A是好点, 在因素的增方向找一个试点C →若C是好点,就继续增加 →如果增加到某点时是差点,就减少增 加的步长,直至找出最佳点.

思考4:上述确定试点的方法称为盲人爬 山法,这种方法的效果快慢与哪些要素 有关? 起点,每步间隔的大小. 思考5:为提高盲人爬山法的试验效果, 从开始试点到找到最佳点,每步间隔的 大小大致如何安排比较合理?

两头小,中间大.

探究(三):分批试验法

思考1:0.618法,分数法,对分法,爬 山法的共同特点是,后续试验的安排依 赖于前面的试验结果.优点是总的试验次 数少,缺点是若试验结果需要很长时间 才能得到,则试验周期累加耗时太多.为 了缩短试验总时间,加快试验进度,你 有什么新的想法?

(1)把所有可能的试验同时安排进行, 根据试验结果找出最佳点. (2)把全部试验分几批做,每一批同时 安排几个试验,并进行比较,直到找出 最佳点. 思考2:上述试验方法称为分批试验法, 利用这种方法寻找最佳点,需要解决的 技术问题是什么?

如何合理分批,每批如何安排试验.

思考3:如图,将因素范围[a,b]均分为3份, 取两个分点x1,x2为试点各做一次试验.若x1 为好点,则存优范围为[a,x2],再将该存优 范围均分为4份,取两个分点x3,x4为试点各 做一次试验,若x3为好点,则存优范围为[a, x1],再将该存优范围均分为4份,取两个分 点x5,x6为试点各做一次试验,依次类推, 直到找出最佳点.这是一种均分分批试验法, 这种方法每批安排几个试点,第n次试验后的 精度如何计算? a x x b

2 1 n ?1 ?n ? ? ( ) 3 2

1

2

a

x3 x1 x4 x2

思考4:均分分批试验法每批可以做2n个 试验,首先把试验范围均分为2n+1份, 产生2n个均分点x1,x2,?,x2n,以每 个均分点为试点各做一次试验,比较其 试验结果.如果xi最好,则存优范围为 (xi-1,xi+1),然后将该范围均分为 2n +2份,在xi两侧各产生n个分点,以这 2n个均分点为试点再做试验,如此反复, 就能找到最佳点.用这个方法做分批试验, 每批试验后的存优范围如何变化?

2 第一批试验后的存优范围为原来的 2n ? 1 倍,以后每批试验后的存优范围都为前
1 次留下范围的 n ? 1 倍.

思考5:在分批试验中,可以将第1批试点按 比例安排在试验范围内.若每批做2个试验, 则将因素范围7等分,第一批两个试点安排在 第3,4两个点上进行.设第4个分点为好点, 则存优范围为第3个分点到右端,第二批两个 试点安排在第5,6两个点上进行.再将存优范 围4等分,第三批两个试点安排在新增的两个 分点上进行. 如此反复,直到找出最佳点.这 是一种比例分割分批试验法,第n次试验后的 精度如何计算? 4 1 n ?1 0 1 2 3 4 5 6 7 ? ? ?( )
n

7 2

思考6:比例分割分批试验法每批可以做 2n个试验,类似上述原理,若每批做4个 试验,则要将因素范围几等分?第一批4 个试点如何安排?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

分成17等分,第一批试点安排在第5,6, 11,12四个点上.

思考7:若第一批四个试点中第6个点为 好点,则第二批4个试点如何安排?
第二批试点安排在第7,8,9,10四个点上.

思考8:用比例分割分批试验法,每批分 别做2个,4个,6个,8个试验,第一批 试点的位置有什么分布规律?
2××2 4××4××4 6××6××6××6 8××8××8××8××8

探究(四):多峰的情形

思考1:前面介绍的方法都只适用于“单 峰”的情况,若实际问题是“多峰”情 形,用前述方法找到一个“峰”以后怎 么处理?

如果达到预先要求,就先用于实际问题, 以后再找其他更高的“峰”.

思考2:先做一批分布比较均匀的试验, 看是否有“多峰”现象,如果有则如何 处理?

分区间寻找,在每个可能出现“高峰” 的范围内做试验,找出这些“峰”.

思考3:如图,第一批试点一般按α ︰β =0.618︰0.382划分,使得有峰值的范 围总是成(α ,β )或(β ,α ),这样处 理有什么好处?
α
β α

β

对每个留下的区域应用0.618法就可以 利用已做过的试验结果,从而减少试验 次数.

理论迁移

例 某试验的因素范围是(3,18), 用均分分批试验法寻找最佳点,每批安 排4个试验. (1)如何安排第一批试点; (2)若第一批试点中从左到右第3个 试点是好点,如何安排第二批试点.

第一批4个试点值分别为6,9,12,15.

第二批4个试点值分别为10,11,13,14.

小结作业

1.如果每作一次试验,根据结果可以 决定下次试验的方向,就可以用对分法 寻找最佳点.相对于0.618法和分数法, 对分法更简单,易操作. 2.盲人爬山法是一种采用小步调调整 策略的优选法,在生产实践和科学试验 中,如果某些因素不允许大幅度调整, 可以用盲人爬山法寻找最佳点.

3.分批试验法每批同时做几个试验, 可以加快试验进度,根据存优范围越小 效率越高的原理,比例分割法比均分法 效果要好.
4.优选法主要针对单峰情形,对多峰 问题应转化为单峰问题.

作业:
P23习题1.5: 1,3,4,5,6.

选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法

六.多因素方法

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.对分法的操作原理是什么? 取因素范围的中点为试点→根据试验 结果截去范围的一半→在存优范围内重 复上述操作,直至找出最佳点.

2.盲人爬山法的操作原理是什么? 根据经验或估计找一个起点A,在因 素的减方向找一个试点B→若B是好点, 就继续减少,若A是好点,在因素的增方 向找一个试点C→若C是好点,就继续增 加→如果增加到某点时是差点,就减少 增加的步长,直至找出最佳点.

3.均分分批试验法的操作原理是什么? 把试验范围均分为2n+1份,产生2n个均 分点x1,x2,?,x2n,以每个均分点为 试点各做一次试验,比较其试验结果.如 果xi最好,则存优范围为(xi-1,xi+1), 然后将该范围均分为2n+2份,在xi两侧 各产生n个分点,以这2n个均分点为试点 再做试验,如此反复,直至找到最佳点.

4.比例分割分批试验法,第一批试点 的位置有什么分布规律?
2××2 4××4××4 6××6××6××6 8××8××8××8××8

5.黄金分割法,分数法,对分法,盲 人爬山法,分批试验法等,是解决单因 素单峰情形的优选方法,对多峰的情形, 一般转化为单峰情形来解决.但在现实中, 我们会遇到多因素优选问题,即试验效 果同时受到两个或两个以上因素的影响, 从而需要有解决这类问题的办法.

探究(一):纵横对折法和从好点出发法

思考1:设某个优选问题同时受到某两个 因素的影响,用x,y表示两个因素的取 值,z=f(x,y)表示目标函数,那么双 因素优选问题的本质是什么? 迅速找到二元目标函数z=f(x,y)的最 大值或最小值及其对应的点(x,y).

思考2:假设函数z=f(x,y)在某一区域 内单峰,其几何意义是把曲面z=f(x,y) 看作一座山,顶峰只有一个,从几何上 如何理解双因素优选问题的本质?
z

迅速找到曲 面的最高峰.
y

x

思考3:把试验范围内z=f(x,y)取同一 值的曲线叫做等高线,各条等高线在水 平面上的投影是一圈套一圈的曲线,那 么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高 线? z

y

x

最里边的一 圈等高线.

思考4:以横坐标表示因素Ⅰ,纵坐标表 示因素Ⅱ,假设因素Ⅰ的试验范围为[a1, b1],因素Ⅱ的试验范围为[a2,b2]用什 么策略寻找峰顶在水平面上的投影点? 先固定一个因素,对另一个因素进行优 选,再固定第二个因素,对第一个因素 进行优选.

思考5:如图,先将因素Ⅰ固定在试验范 围的中点c1处,对因素Ⅱ进行单因素优 选,得到最佳点A1;再将因素Ⅱ固定在 试验范围的中点c2处,对因素Ⅰ进行单 因素优选,得到最佳点B1,比较点A1和B1 的试验结果,若B1是好点,则存优范围 是哪个区域? 因素Ⅱ
b2 c2
a2 a

c1≤Ⅰ≤b1, a2≤Ⅱ≤b2.

A1
B1 c b
因素Ⅰ

思考6:将因素Ⅰ固定在新范围(c1,b1] 的中点d1处,对因素Ⅱ进行单因素优选, 得到最佳点A2,比较点A2和B1的试验结果, 若A2是好点,则存优范围是哪个区域?
因素Ⅱ

b2 c2

c1≤Ⅰ≤b1, c2≤Ⅱ≤b2.

A2 B1 c1 d1 b1
因素Ⅰ

a2 a1

思考7:如此继续下去,不断缩小存优区 域,直至找到最佳点为止,这个方法称 为纵横对折法.其中每次可以采用什么方 法对一个因素进行优选? 黄金分割法,分数法,对分法,盲人爬 山法,分批试验法等.

思考8:实践中每次对一个因素的固定点不一 定取中点,如果先将因素Ⅰ固定在原生产点 (或黄金分割点)c1处,对因素Ⅱ进行单因素 优选,得到最佳点A1(c1,c2);再将因素Ⅱ固 定在c2处,对因素Ⅰ进行单因素优选,得到 最佳点B1(d1,c2),则存优范围是哪个区域?
因素Ⅱ

b2

a1≤Ⅰ≤c1, a2≤Ⅱ≤b2.

c2
d2
a2 a1

B1 A1

d1

c1

b1

因素Ⅰ

思考9:在此基础上,将因素Ⅰ固定在d1 处,对因素Ⅱ进行单因素优选,得到最 佳点A2(d1,d2),则存优范围是哪个区域?
因素Ⅱ

b2

a1≤Ⅰ≤c1, a2≤Ⅱ≤c2.

c2
d2 a2 a1

B1 A1 A2
因素Ⅰ
d1

c1

b1

思考10:如此继续下去,不断缩小存优 区域,就能找到所需要的最佳点,这个 方法称为从好点出发法.该方法有什么特 点?
除第一次外,对某一因素进行优选时, 另一因素固定在上次试验结果的好点上.

探究(二):平行线法 思考1:纵横对折法和从好点出发法的共 同特点是先固定因素Ⅰ,优选因素Ⅱ, 再固定因素Ⅱ,优选因素Ⅰ,来回进行 优选试验,应用这两种方法对实验条件 有什么要求?
两个试验因素都比较容易调整.

思考2:如图,设影响某试验结果的因素有Ⅰ, Ⅱ两个,且因素Ⅱ难以调整,先把因素Ⅱ固 定在0.618处,对因素Ⅰ进行单因素优选,得 到最佳点A1;再把因素Ⅱ固定在0.382处,对 因素Ⅰ进行单因素优选,得到最佳点A2;比 较点A1和A2的试验结果,若A1是好点,则存优 因素Ⅱ 范围是哪个区域?
1

0≤Ⅰ≤1, 0.382≤Ⅱ≤1.

0.618
0.382 0

A1

A2
1 因素Ⅰ

思考3:再把因素Ⅱ固定在0.764处,对 因素Ⅰ进行单因素优选,得到最佳点A3. 比较点A1和A3的试验结果,若A1仍是好点, 则存优范围是哪个区域?
因素Ⅱ

1 0.764 0.618
0.382 0≤Ⅰ≤1, 0.382≤Ⅱ≤0.764.0

A3 A1 A2

1 因素Ⅰ

思考4:如此继续下去,不断缩小存优区 域,就能找到所需要的最佳点,这个方 法称为平行线法. 该方法有什么特点? 每次试验都是在相互平行的直线上做. 思考5:应用平行线法时,对因素Ⅱ的取 点是否一定要按0.618法?平行线法能否 保证下一条平行线上的最佳点一定优于 以前各条平行线上的最佳点?

不一定.

思考6:在求得两条平行线l1与l2上的最佳点 A1与A2后,比较点A1和A2的试验结果,若A1是 好点,则在存优区域内过点A1,A2作直线L1, 在L1上用单因素法找到最佳点A3.如果对A3的 试验结果不满意,再过点A3作l1的平行线l3, 在l3上用单因素法找到最佳点A4. 如果对A4的 试验结果还不满意,则在新的存优区域内过 点A1,A4作直线L2,在L2上用单因素法找到最 佳点A5. 如此继续下去,直到结果满意为止. 这个方法称为平行线加速法.应用该方法找最 佳点有什么优点?

因素Ⅱ
1

l1 l3
l2

A1 A3 A5 L2 A4 A2 L1
1 因素Ⅰ

0

能提高获得满意试验结果的速度.

探究(三):双因素盲人爬山法

思考1:在单因素大生产试验中,若试验 因素不允许大幅度调整,只能用盲人爬 山法.如果双因素问题中试验因素Ⅰ和Ⅱ 都不允许大幅度调整,如何寻找最佳点?
将因素Ⅰ固定在某点,用盲人爬山法找 到因素Ⅱ的最佳点A;将因素Ⅱ固定在点 A,再用盲人爬山法找到因素Ⅰ的最佳点 B,则点B为双因素最佳点.

思考2:盲人从山上某处出发,要想爬到 山顶,可用明杖向前后左右试探性一步 一步往高处前进,当四面都不再高时即 到达山顶.运用这个方法寻找双因素问题 的最佳点就是双因素盲人爬山法,在试 验中具体如何操作? 以某点为中心,向四周找试点,朝好点 方向探索前进,直到找出最佳点为止.

理论迁移

例1 阿托品是一种抗胆碱药,为了提 高产量,降低成本,利用优选法选择合 适的酯化工艺条件.根据分析,主要因素 为温度与时间,定出其试验范围为温度: 55°C~75°C,时间:30min~210min. 用从好点出发法对工艺条件进行优选:

过程:

(1)参照生产条件,先固定温度为55°C, 用单因素法优选时间,得最优时间为150min, 其生产率为41.6%. 温度 75

55 30

150

时间 210

(2)固定时间为150min,用单因素法优选温 度,得最优温度为67°C,其生产率为51.59%. 温度 75
67 A

55 30

150

时间 210

(3)固定温度为67°C,用单因素法优选时 间,得最优时间为80min,其生产率为56.9%. 温度 75

67

B

A

55 30

80

150

时间 210

(4)再固定时间为80min,又用单因素法优 选温度,结果还是67°C好,试验结束. 温度 75 67 B A

55 30

80

150

时间 210

结论:最好的工艺条件为:温度67°C, 时间80min,平均生产率提高15.3%.

例2 “除草醚”配方试验中,所用 原料为硝基氯化苯,2.4-二氯苯酚和碱, 试验目的是寻找2.4-二氯苯酚和碱的最 佳配比,使其质量稳定、产量高.其中碱 的变化范围是1.1~1.6(克分子比),酚 的变化范围是1.1~1.42(克分子比).用 平行线加速法进行优选:

过程: (1)固定酚的用量1.3,对碱的用量进 行优选,得最优用量为1.3,对应点 A1(1.3,1.3).
酚 1.42 1.3

A1

1.1 1.1

1.3

1.6 碱

(2)固定酚的用量1.22,对碱的用量进 行优选,得最优用量为1.22,对应点 A2(1.22,1.22).


1.42
1.30

A1

1.22 A 2 1.1 1.1 1.22 1.3

1.6 碱

(3)比较点A1和A2的试验结果,得A1是 好点.


1.42
1.30

A1

1.22 A 2 1.1 1.1 1.22 1.3

1.6 碱

(4)过点A1,A2作直线L,在L上且位于 点A2上方用单因素法找到最佳点A3(1.27, 1.27).


1.42

L

1.30 A3 1.27 1.22 A 2 1.1 1.1 1.22 1.3

A1

1.6 碱

(5)酚和碱的用量都为1.27时试验效果 满意,试验结束.
酚 1.42
1.30 A3 1.27 1.22 A 2 1.1 1.1 1.22 1.3 L

A1

1.6 碱

结论:酚和碱的用量都为1.27克分子比 时为最佳配比.

例3 对某种物品镀银时,要选择氯化 银和氰化钠的用量,使得镀银速度快, 质量好,其中氯化银的变化范围是40~ 80g/ml,氰化钠变化的范围是70~150 g/ml,采用盲人爬山法选择最佳点.

过程: (1)确定起点:氰化钠85g/ml,氯化银 55g/ml. 氯化银
80

55 40 70

1 85 氰化钠 150

(2)选择步长:氰化钠10g/ml,氯化银 5g/ml.

(3)探索最佳点:从起点1开始,向右 试探,结果2比1好,继续向右试探,结 果3比2好,再向右试探,结果4比3差.回 到3向上试探,结果5比3好,继续向上试 探,结果6比5好.再继续试探,结果上, 左,右三个方向的试点都不如6好,且试 点6的结果满足生产条件,试验结束.

氯化银 80 6 55 40 70 1 85 2 5

3

4

氰化钠 150

结论:氰化钠用量为105g/ml,氯化银用 量为65g/ml时,镀银效果最好.

小结作业

1.遇到多因素问题时,先要取出主 要因素,略去次要因素,再采用降维法, 把多因素问题转化为一系列较少因素的 问题来解决. 2.解决双因素优选问题的基本思想是 固定一个因素,对另一个因素进行单因 素优选,不断交替反复,直至找出最佳 点.

3.从好点出发法是纵横对折法的改良 和优化,这两种方法适合于两个因素都 容易调整的情况;平行线法加速法是平 行线法的改良和优化,这两种方法适合 于有一个因素不容易调整的情况;双因 素盲人爬山法是单因素盲人爬山法的拓 展,这种方法适合于两个因素都不容易 调整的情况.

作业:
P28习题1.6:1.



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