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竞赛辅导-三角形的五心



三角形的五心
引入

重心

外心

内心

垂心

与三角形的心有关问题举例

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三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.

这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗? 练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点. 二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式. 2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心,重心的共线性(欧拉线) 3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D,则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
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重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示,它有如下的性质: (1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算. (2)重心定理: 三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍. 1 (3) S?BGC ? S?CGA ? S?AGB ? S?ABC . 3

思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心,过 A、G 的圆 与 BG 切于 G,CG 的延长线交圆于 D, 2 求证: AG ? GC ? GD .

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思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心,过 A、G 的圆 与 BG 切于 G,CG 的延长线交圆于 D, 2 求证: AG ? GC ? GD .

思考练习 2: AD, BE,CF 是△ ABC 的 三条中线, P 是任意一点.证明: 在△ PAD, PBE, PCF 中, △ △ 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)

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外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示,它具有如下性质: (1)外心到三顶点等距,即 OA=OB=OC. 1 1 1 (2)∠A= ?BOC , ?B ? ?AOC , ?C ? ?AOB . 2 2 2 如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心,与外心 有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,就 可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径, 其弦 AF、 相交于 Q, BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P,求证:PQ⊥AB.

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3答案

思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径, 其弦 AF、 相交于 Q, BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P,求证:PQ⊥AB. 分析:延长 EP 到 K,使 PK=PE,连 KF、AE、EF、BF, 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90? -∠1)+( 90? +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP, 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK, ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180? , 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知,P 为△EFK 的外心,显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90? .由此知 QH⊥AH,即 PQ⊥AB.
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练习4

思考练习 4.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S. 证明以△APS , BQP, CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. △ △ 分析 :设 O1,O2,O3 是△ APS,△ BQP,△ CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外心性质 可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q =2∠C. ∴∠PO1 S+∠Q O2P+∠SO3Q =360°. 从而又知 ∠O1 PO2 +∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2Q O3 绕着 O3 点旋转到△KSO3 , 易判断△KSO1≌△O2 PO1 ,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3 . 1 1 ∴ ∠ O2O1O3= ∠ KO1 O3= ∠ O2 O1 K= ( ∠ O2 O1S+ ∠ SO1K) 2 2 1 1 = (∠O2O1S+∠PO1O2 ) = ∠PO1S=∠A. 同理有∠O1O2O3 =∠ 2 2 B.故△O1O2O3∽△ABC. 7

内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆 圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示,它具有如下性质: (1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角. (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D, D 与顶点 B、 则 C、 内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心). 1 1 1 (3)∠BIC=90?+ ∠A,∠CIA=90? + ∠B,∠AIB=90?+ ∠C. 2 2 2

思考练习 5.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,有一个圆内 切于△ABC 的外接圆,且与 AB、AC 分别相切于 P、Q,求 证:线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.

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5答案

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思考练习 5.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,有一个圆内 切于△ABC 的外接圆,且与 AB、AC 分别相切于 P、Q,求 证:线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.

分析:设小圆圆心为 O1 ,⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D,连 A O1 , 显然 A O1 ⊥PQ,且△ABC 为等腰三角形, 所以 A O1 过△ABC 的外接圆,D 在 A O1 的延 长线上,从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点,下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此,连接 OB、PD、QD,由对称性易知, OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC, 故∠APQ=∠ABC,∠PDQ=∠ABC, 1 由 P、B、D、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO= ∠PDQ. 2 1 所以∠PBO= ∠ABC.于是 O 为△ABC 的内心. 2 9 说明:本题还可证明 O 到△ABC 的三边距离相等.

思考练习 6.已知⊙O 内接△ABC,⊙ Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点 P 是△ABC 之内心. 分析:在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 8 的一种 特例,但它增加了条件 AB=AC.当 AB≠AC,怎样证明呢? 如图,显然 EF 中点 P、圆心 Q,BC 中点 K 都在∠BAC 平分线上.
r .∵Q K·AQ =MQ·Q N, sin ? M Q ? QN ( 2 R ? r ) ? r ∴Q K= = = sin ? ? (2R ? r ) . AQ r / sin ? 由 Rt△EPQ 知 PQ = sin ? ? r . ∴PK=PQ +QK = sin ? ? r + sin ? ? (2R ? r ) = sin ? ? 2 R . ∴PK=BK.? 利用内心等量关系之逆定理, 即知 P 是△ABC 这内心.

易知 AQ =

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垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点 .△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示,它具有如下的性质: (1)顶点与垂心连线必垂直对边,即 AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内,且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F, 则 A、F、H、E;B、D、H、F;C、E、H、D;B、C、E、F;C、A、F、 D;A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
思考练习 7.如图所示,已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H,△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1, 求证:⊙O 与⊙O1 的半径相等.

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7答案

思考练习 7.如图所示,已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H,△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1, 求证:⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ, 连接 PB、QB,则∠ABP=∠ABQ=90?. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心, 故 D、C、E、H 四点共圆, ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q,∠C=∠P, 故∠P=∠Q,AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明: 由本题结论,可得垂心的另一个性质: 若 H 是△ABC 的垂心,则⊙ABH=⊙BCH=⊙CAH=⊙ABC.
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思考练习 8.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为 △A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2, H3,H4 四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.(1992 年全国高中联赛) 分析:连接 A2 H1,A1 H2,H1 H2,记圆半径为 R. A2 H1 由△A2 A3 A4 知 =2R sin ?A2 A3 H1 ?A2H1=2Rcos∠A3A2A4; 由△A1 A3 A4 得 A1 H2=2Rcos∠A3 A1 A4. 但∠A3 A2 A4=∠A3 A1 A4,故 A2 H1=A1 H2. 易证 A2 H1∥A1 A2,于是,A2 H1∥ 1 H2, A = 故得 H1 H2 ∥ 2 A1.设 H1 A1 与 H2 A2 的交点为 M,故 H1 H2 与 A1A2 A = 关于 M 点成中心对称.同理,H2 H3 与 A2 A3,H3 H4 与 A3 A4,H4 H1 与 A4 A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1 H2 H3 H4 与四边形 A1 A2 A3 A4 关于 M 点成中心对称,两者是全等四边形,H1 ,H2, H3 ,H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关于 M 成中 心对称.由 O,M 两点, Q 点就不难确定了. 13

课外思考: 1.△ABC 的外心为 O, AB=AC, 是 AB 中点, 是△ACD D E 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析:设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K. 1 1 1 易证:DG:GK= DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3 ∴DG:GK=DE:EF ?GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB,∴OD 丄 MF ? OD 丄 GE. 但 OG 丄 DE ?G 又是△ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.

答案

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