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椭圆复习课课件



椭圆复习课(一)
青州实验中学

复习目标:
1 .了解椭圆的实际背景,掌握椭圆的几何图形、椭圆的定义并能 简单地应用. 2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程. 3. 掌握椭圆的简单几何性质,并能应用性质解决有关问题.

基础知识
要点梳理 1.椭圆的概念

自主学习


在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫 椭圆 .这两定点叫 做椭圆的

焦点,两焦点间的距离叫做 焦距.

集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c ,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c ,则集合 P 为线段; (3)若 a<c ,则集合 P 为空集.

2.椭圆的标准方程与几何性质
标准方程

哪个分母大,焦点在哪条轴上

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
A1 ? B2 y ? O ? B1 A2 ?x

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a bA y
2

a 2 ? b2 ? c 2

?

图 形

B1

?

O
? A1

B2 ?

x

焦点坐标 范 围 对称性 顶 点

(-c,0)和(c,0) (0,-c)和(0,c) ? a ? x ? a, ? b ? y ? b ? a ? y ? a, ? b ? x ? b
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫椭圆的中心.

(±a,0)和(0,±b)

(±b,0)和(0,±a)

A1A2叫长轴, B1B2叫短轴, 且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b

离心率

e=c/a(0<e<1,且e越小,椭圆越接近圆)

基础自测答案:
? 1. ? 2.
x2 y 2 ? ?1 16 9
x y ? ?1 144 80
2 2

3 ? 3. 10 ;8;(0, ?5),(?4,0); (0, ?3) ; 5
? 4.4<k<5 ? 5.16
K-3>5-k>0



y2 x2 ? ?1 144 80

焦点位置不 确定

探究点一:例一中求出的轨迹方程上的点是否都符合题意?具有怎样特点 的题目适合用椭圆的定义求解? 探究点二:例二(1)可否用定义解决?请结合例二总结求椭圆标准方

程的方法。
探究点三:结合例三思考怎样求椭圆的离心率?

例一 已知△ABC中,A(-1,0),C(1,0),

且边a,b,c成等差数列,求顶点B的轨迹方程.
解:设B(x,y),∵a+c=2b,

∴|BC|+|BA|=4.
又∵A,C为定点,∴由椭圆定义知,动点B的轨迹是

x2 y 2 以A,C为焦点的椭圆,设其方程为 2 + 2 = 1 a b ∴c=1,a=2,b2=3,
x2 y 2 ∴椭圆方程为 + =1 . 4 3 又A,B,C不共线,∴y≠0,即x≠±2. x2 y 2 ∴所求B点的轨迹方程为 + = 1 (x≠±2). 4 3



探究 1: 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题, 可直接用椭圆定义求解.

*知识点一对应演练*
已知△ABC的两个顶点A(-4,0)和B(4,0), △ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。

例二(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),
3 5 ( 并且椭圆经过点 2 ,) 2

【法一】由题设知,所求椭圆的焦点在y轴上, y 2 x2 故设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?, a b ?a 2 ? b 2 ? 4 2 ? ? a ? 25 9 ? ? 10 则? , 解得 ? 2 ? ?b ? 6 ? 4 ? 4 =1 ? ? a 2 b2 y 2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 6

例二(1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),
(并且椭圆经过点

【法二】由题设知,所求椭圆的焦点在y轴上, y2 x2 故设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?, a b 32 5 32 5 2 由椭圆的定义知,2a= (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) 2 =2 10 2 2 2 2 ? a ? 10 又 c?2 ? b2 ? 6 y2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 6

3 5 ,) 2 2

例二(2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点A(3,0),求椭圆
的标准方程
x2 y2 解:(1)若焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵椭圆过点 A(3,0), 9 ∴a2=1,∴a=3,∵2a=3×2b, x2 2 ∴b=1.∴方程为 9 +y =1. y2 x2 (2)若焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0).
9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴b2=1,∴b=3, 又 2a=3×2b,∴a=9, y2 x2 ∴方程为81+ 9 =1. x2 y2 x2 2 综上所述,椭圆方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.

探究2:求椭圆标准方程的方法——待定系数法

(1)定位: 根据条件判断焦点的位置.焦点不确定时要 注意分类讨论. (2)定量: 根据已知条件,建立关于 a、b、c 的方组. (3)解方程组: 将解代入所设方程即为所求. .

*知识点二对应演练*

求椭圆的标准方程 1.求中心在原点,并与椭圆9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过点Q(2,-3)的椭 圆的标准方程.

2. 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形 为正角形,且焦点到椭圆的最短距离为 3

椭圆x 2 ? my 2 ? 1的离心率为 例三(1)
2

3 ,求m的值 2

y2 解:椭圆的标准方程为:x ? ?1 1 m 1 1 若焦点在x轴上,a 2 ? 1, b 2 ? , c 2 ? 1 ? m m 1 c m ? 3 ? e= ? 解得,m ? 4 a 1 2 1 1 若焦点在y轴上,a 2 = , b 2 ? 1, c 2 ? ? 1 m m 1 ?1 c 3 1 e= ? m ? 解得,m ? a 2 4 1 m 1 综上,m ? 4或 4 1?

例三(2)如图所示,已知椭圆上一点A的横坐标等于右焦点的横

2 坐标,纵坐标等于椭圆短半轴长的 3

,求该椭圆的离心率。

2 法一:设焦点坐标为F1 (?c, 0), F2 (c, 0),由题知,A(c, b) 3 ?F1AF2为直角三角形, ? F1F2 + AF2 ? AF1 ,
2 2 2

4 2 b 2 即4c 2 ? b 2 ? (2a ? b) 2 , 整理得,3b=2a,所以 ? . 9 3 a 3 c2 a 2 ? b2 b2 5 5 2 故e ? 2 ? ? 1 ? ? . 所以 e ? . 2 2 a a a 9 3 x2 y 2 ? 2 ? 法二:由题知A点的坐标为 ? c, b ?,椭圆方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ? a b ? 3 ? c 2 4b 2 c2 5 5 将A点坐标代入椭圆方程得 2 ? 2 =1所以 2 ? .所以e ? . a 9b a 9 3

探究 3 在求解有关离心率的问题时, 一般并不是直 接求出 c 和 a 的值, 而是根据题目给出的椭圆的几何特征, 建立关于参数 c、a、b 的方程或不等式,通过解方程或不 等式求得离心率的值或范围.

*知识点三对应演练*

x2 y2 ? ? 1 的焦距为4,求m的值。 1.已知椭圆 10 ? m m ? 2

2. 椭圆的两个焦点与它短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点,求椭圆的离心率。

本节课,你学到了那些知识?学习中用到了怎 样的思想方法?

1. 椭圆的定义

涉及椭圆定义的题目, 要抓住“椭圆上任一点到两焦

点距离之和等于 2a”这个特征. 充分利用定义. “回到定义中去” 是一个很重要的方法.

2.求椭圆方程的方法 待定系数法:先设出字母系数的方程,根据条件建立字母 系数的方程并求解.
3.椭圆的几何性质、怎样求椭圆的离心率

思想方法:数形结合、分类讨论



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