9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第五节 推理与证明 理(全国通用)



第五节

推理与证明

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·上海闸北二模)平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表 达式为( A.n+1 C. ) B.2n D.n +n+1
2

n2+n+2
2

解析 1 条直线将平

面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区 域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??,n 条直线最多可将平面 分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ 答案 C 2.(2014·四平二模)设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+

n(n+1) n2+n+2
2 = 2

个区域,选 C.

b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是(
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤

)

1 2 解析 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 答案 C 二、填空题 3.(2015·广东模拟)已知 n,k∈N ,且 k≤n,kCn=nCn-1,则可推出 Cn+2Cn+3Cn+?+
n 0 1 k-1 n-1 n-1 1 2 2 2 3 kCk ,由此,可推出 Cn+2 Cn+3 Cn+? n+?+nCn=n(Cn-1+Cn-1+?Cn-1+?Cn-1)=n·2
* 2 2

k

k-1

1

2

3

+k Cn+?+n Cn=________. 解析 C n + 2 C n + 3 C n +?+ k C n +?+ n C n = n(C n-1 + 2C n-1 +?+ kC n-1 +?+ nC n-1 ) =
1 2 2 2 3 2

2 k

2 n

k

2

n

0

1

k-1

n-1

1 k-1 n-1 1 2 k-1 n-1 n[(C0 n-1+Cn-1+?+Cn-1+?+Cn-1)+(Cn-1+2Cn-1+?+(k-1)Cn-1+?+(n-1)Cn-1)].

答案 n(n+1)·2

n- 2

4.(2014·杭州二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等 差数列.类比以上结论.设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________,

T16 成等比数列. T12
解析 对于等比数列,通过类比等差数列,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4=

a1a2a3a4,T8=a1a2?a8, T12=a1a2?a12,T16=a1a2?a16,
所以 =a5a6a7a8,

T8 T4

T12 =a9a10a11a12, T8

T16 =a13a14a15a16, T12
所以 T4, , 因此 T4, , 答案

T8 T12 T16 16 , 的后一项与前一项的比均为 q , T4 T8 T12 T8 T12 T16 , 成等比数列. T4 T8 T12

T8 T12 T4 T8

1 1 1 1 * 5 .(2014·扬州质检 ) 设 f(n) = 1 + + + +?+ (n∈N ) ,则 f(n + 1) - f(n) = 2 3 4 3n-1 ________. 1 1 1 1 解析 ∵f(n)=1+ + + +?+ , 2 3 4 3n-1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n+1)=1+ + +?+ + + + . 2 3 3n-1 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + + . 3n 3n+1 3n+2 答案 1 1 1 + + 3n 3n+1 3n+2

6.(2014·福建厦门 3 月)已知等差数列{an}中,有

a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30
10 = 30

,则

在等比数列{bn}中,会有类似的结论:__________________________. 解析 由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20, ∴ 10

b11b12?b20=
10

30

b1b2?b30.
30

答案

b11b12?b20=

b1b2?b30

一年创新演练 7.在下面的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数 列,那么 x+y+z 的值为( cos 0 π sin 6 ) 2 π tan 4

x y z
A.1 解析 可得, 1 1 2 1 4 1 8 1 16 所以选 A. 答案 A 8.已知 7 2 2+ = 2 3 2 , 3 3 3+ = 3 8 3 , 8 4 4+ = 4 15 4 ,?,若 15 7+ = 3 2 2 1 5 2 5 4 1 2 3 3 2 B.2 C.3 D.4

先算出三角函数值,然后根据每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,填表

x=

y=

5 16

z=

3 16

a b

a ,(a、b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b= b

________. 解析 观察下列等式 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8
2

4 4+ =4 15

4 ,?, 15

照此规律,第 7 个等式中:a=7,b=7 -1=48, ∴a+b=55,故答案为:55. 答案 55 B 组 专项提升测试

三年模拟精选 一、选择题 9 . (2015· 大 连 二 模 ) 已 知 f1(x) = sin x + cos x , 记 f2(x) = f ′ 1(x) , f3(x) =

f′2(x),?,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N* ,且 n≥2),则 f1? ?+f2? ?+?+f2 012? ? = ?2? ?2? ?2?
( ) B.1 006 C.0 D.2 012

?π ?

?π ?

?π ?

A.503

解析 ∵f1(x)=sin x+cos x,

f2(x)=cos x-sin x, f3(x)=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x, f5(x)=sin x+cos x,
∴fn(x)是以 4 为周期的函数,

?π ? ?π ? ?π ? ∴f1? ?+f2? ?+?+f2 012? ?= ?2? ?2? ?2? ?f ?π ?+f ?π ?+f ?π ?+f ?π ??×503=0. ? 1? 2 ? 2? 2 ? 3? 2 ? 4? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
答案 C 二、填空题 10.(2015·西安师大附中模拟)观察下列等式: 1 2 7 8 10 11 16 17 19 20 22 23 + =1, + + + =12, + + + + + =39,?, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 则当 n<m 且 m,n∈N 时, + +?+ + =________(最后结果用 m, 3 3 3 3

n 表示).
1 2 2 2 2 解析 当 n=0,m=1 时,为第一个式子 + =1,此时 1=1 -0=m -n , 3 3 7 8 10 11 2 2 2 2 当 n=2,m=4 时,为第二个式子 + + + =12;此时 12=4 -2 =m -n , 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 2 2 2 当 n=5,m=8 时,为第三个式子 + + + + + =39,此时 39=8 -5 =m - 3 3 3 3 3 3

n2,由归纳推理可知观察下列等式:
故答案为:m -n . 答案 m -n
2 2 2 2

3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 2 2 + +?+ + =m -n . 3 3 3 3

11.(2015·山东威海模拟)对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分

? 7 ? ?15 ? ? 3 ? 3 3 3 3 裂”2 ? ,3 ?9 ,4 ? ,?仿此,若 m 的“分裂”数中有一个是 2 015,则 m 的值为 ?5 17 ? ? ?11 ?
13

?19
3

________. 解析 由题意,从 2 到 m ,正好用去从 3 开始的连续奇数共 2 + 3 + 4 +?+ m =
3

(m+2)(m-1) 个,2 015 是从 3 开始的第 1 007 个奇数, 2 当 m=44 时,从 2 到 44 ,用去从 3 开始的连续奇数共 当 m=45 时,从 2 到 45 ,用去从 3 开始的连续奇数共 答案 45 12.(2014·天津和平二模)将全体正整数排成一个三角形数阵: 根据右面排列规律,数阵中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个 数是________. 解析 前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)=
3 3 3 3

46×43 =989 个. 2 47×44 =1 034 个. 2

n(n-1)
2

个,即 +3 个,即为

n2-n
2 答案

个,因此第 n 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第

n2-n
2

n2-n+6
2

.

n2-n+6
2

三、解答题 13.(2014·黄冈二模)设 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),f(x)图象的一条对称轴是 x= π . 8 (1)求 φ 的值; (2)求 y=f(x)的递增区间; (3)证明:直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. π (1)解 由对称轴是 x= 得 8 π π ?π ? sin? +φ ?=±1, +φ =kπ + (k∈Z), 4 2 ?4 ? π 即 φ =kπ + (k∈Z),而-π <φ <0, 4 3π ∴φ =- . 4

3π ? ? (2)解 f(x)=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 π 5π ∴kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8 π 5π ? ? 即 f(x)的递增区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? (3)证明

f(x)=sin?2x-

? ?

3π ? , 4 ? ?

f′(x)=2cos?2x-

? ?

3π ? ?≤2,即曲线的切线的斜率不大于 2,而直线 5x-2y+c=0 的斜 4 ?

5 率为 >2,即直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. 2 14.(2014·湖南常德 4 月)设 a>0,f(x)=

ax * ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N . a+x

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. (1)解 ∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)= ; 1+a

a

a3=f(a2)= a4=f(a3)=
猜想 an= (2)证明

; 2+a . 3+a

a a

(n∈N ). (n-1)+a (ⅰ)易知,n=1 时,猜想正确.

a

*

(ⅱ)假设 n=k 时猜想正确, 即 ak= , (k-1)+a 则 ak+1=f(ak)=

a

a· ak a+ ak



(k-1)+a a = a (k-1)+a+1 a+ (k-1)+a . [(k+1)-1]+a



a



a

这说明,n=k+1 时猜想正确.

由(ⅰ)(ⅱ)知,对于任何 n∈N , 都有 an= . (n-1)+a 一年创新演练 15.设函数 f(x)=xln x(x>0). (1)求函数 f(x)的最小值; (2)设 F(x)=ax +f′(x)(a∈R),讨论函数 F(x)的单调性; (3)斜率为 k 的直线与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证: 1 <k< . 1
2

*

a

x2

x1

(1)解 f′(x)=ln x+1(x>0), 1 令 f′(x)=0,得 x= , e

? 1? 当 x∈?0, ?,f′(x)<0; ? e? ?1 ? 当 x∈? ,+∞?时,f′(x)>0. ?e ?
1 1 1 1 ∴当 x= 时,f(x)min= ln =- . e e e e (2)解 F(x)=ax +ln x+1(x>0),
2

F′(x)=2ax+ = x

1 2ax +1 (x>0),

2

x

当 a≥0 时,恒有 F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,令 F′(x)>0,得 2ax +1>0, 解得 0<x< 1 - ; 2a
2 2

令 F′(x)<0,得 2ax +1<0, 解得 x> 1 - . 2a

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上单调递增. 当 a<0 时,F(x)在?0,

? ?

1? - ?上单调递增,在 2a?

? ? ?

1 ? - ,+∞?上单调递减. 2a ?

(3)证明 由题意 k=

f′(x2)-f′(x1) ln x2-ln x1 = . x2-x1 x2-x1

1 1 要证明不等式 <k< 成立,

x2

x1

1 即证 x1< <x2 成立,

k

x2-x1 也就是证明 x1< <x2 成立, ln x2-ln x1 x2 -1 x1 x2 等价于证明不等式 1< < 成立. x2 x1 ln x1
令 t= (t>1),则只要证明 1< 由 t>1,知 ln t>0, 故等价于证明不等式 ln t<t-1<tln t(t>1)恒成立.(*) ①令函数 g(t)=t-1-ln t(t≥1), 1 则 g′(t)=1- ≥0(t≥1),

x2 x1

t-1 <t 成立即可, ln t

t

故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t-1-ln t>g(1)=0, 即 t-1>ln t(t>1)成立. ②令函数 h(t)=tln t-(t-1)(t≥1), 则 h′(t)=ln t≥0(t≥1), 故 h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tln t-(t-1)>h(1)=0, 即 t-1<tln t(t>1). 由①②知(*)成立,得证. 16.已知数列{an}中,a1=1,an+1=1- (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 (2)证明: 2+ 2+?+ 2<7. 4 1 * ,数列{bn}满足 bn= (n∈N ). an+3 an+1

b1 b2

bn

(1)解 an+1+1=2-

4

an+3

2an+2 = , an+3

1 an+3 (an+1)+2 1 1 1 bn+1= = = = + =bn+ , an+1+1 2an+2 2(an+1) an+1 2 2

1 1 1 n 1 又 b1= ,所以数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列,bn= (也可以求出 b1= ,b2= 2 2 2 2 2 2 3 4 ,b3= ,b4= 猜想并用数学归纳法证明,数学归纳法证明过程如下: 2 2 2 1 n ① 当 n=1 时,b1= 符合通项公式 bn= ; 2 2 ② 假设当 n=k 时猜想成立, 即 bk= 1 k 2 = ,ak= -1, ak+1 2 k

那么当 n=k+1 时 2 -1-1 ak-1 k 1-k ak+1= = = , ak+3 2 1+k -1+3

k

1 1 k+1 bk+1= = = , ak+1+1 1-k 2 +1 1+k 即 n=k+1 时猜想也能成立,综合①②可知,对任意的 n∈N 都有 bn= ). 2 1 (2) 证明 当 n=1 时,左边= 2=4<7 不等式成立;
*

n

b1

1 1 当 n=2 时,左边= 2+ 2=4+1=5<7 不等式成立;

b1 b2

当 n≥3 时, 1

bn n

2

4 = 2<

4 ? 1 -1?, =4? ? n(n-1) ?n-1 n?

1 1 1 左边= 2+ 2+?+ 2<

b1 b2

bn

1 1 ?1 1 1 1 - ? 4+1+4? - + - +?+ = 2 3 3 4 n - 1 n? ? ? 4 ?1 1? 5+4? - ?=7- <7,不等式成立. n ?2 n?



更多相关文章:
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第九章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第九章 第五节 抛物线及其性质 理(全国通用)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 抛物线及其性质 A 组 专项基础...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第三节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理(全国通用)_高考_高中教育_教育专区。第三节 简单的线性规划 A 组 专项基础测试 三年...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第四节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第四节 基本不等式及其应用 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第四节 基本不等式及其应用 A 组 专项基础...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第四节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第七章 第四节 基本不等式及其应用 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第四节 基本不等式及其应用 A 组 专项基础...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 解三解形 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第五节 解三角形 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 解三解形 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第五节 解三角形 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第四章 第五节 解三解形 理(全国通用)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 解三角形 A 组 专项基础测试 三年...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第五节 空间垂直的判定与性质 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择...
《大高考》2016届高考复习数学理 三年模拟一年创新 第...
《大高考》2016届高考复习数学理 三年模拟一年创新 第七章 不等式 第五节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第五节 推理与证明 A组 专项基础测试 三年模拟精选...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第五节 ...
(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第五节 对数与对数函数 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第五节 对数与对数函数 A 组 专项基础测试 三年...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图