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中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试(数学文)



中山市高二级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需

改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ 卷(选择题共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1. 在△ABC 中, A ? 60? , C ? 45? ,c=20,则边 a 的长为 A. 10 6 A.4 B. 20 2 B.8 C. 20 3 C. ?4 D. 20 6 D. ? 8 D. (??,50) 2.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,则它的第 2 项为 3. 不等式 ( x ? 50)(60 ? x) ? 0 的解集是 A. (??,50) B. (60, ??) C. (50,60) ?x ? 3y ? 6 ? 0 4. 不等式组 ? 表示的平面区域是 ?x ? y ? 2 ? 0

(60, ??)

A.

B.

C.

D.

5.十三世纪初,意大利数学家斐波那契( Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问题, 提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 ?1, n ? 1,2; 由此可计算出 F7 ? Fn ? ? ? Fn?1 ? Fn?2 , n ? 3. A.8 B.13 C.21 D.34
高二数学(文科) 第1页(共 4 页)

6.函数 f ( x) ? x ln x 的单调递减区间是

1 1 C. (0, ) D. ( , ??) e e 7.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,若 S10 ? 31 , S20 ? 122 ,则 S30 =
A. (0, e) B. (e, ??) A.153
2 2

B.182

C.242

D.273

8.关于双曲线

y x ? ? 1 ,下列说法错误的是 16 9
B.离心率为

A.实轴长为 8,虚轴长为 6 C.渐近线方程为 y ? ? x 9.下列命题为真命题的是 A. ?x ? N, x 3 ? x 2 B. ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 2 ? 0 C.“ x ? 3 ”是“ x 2 ? 9 ”的必要条件

5 4

4 3

D.焦点坐标为 (?5,0)

D.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 为偶函数的充要条件是 b ? 0 10.已知函数 f ( x) ? x3 ? 4 x , x ?[-2,2]. 有以下命题: ① x=± 1 处的切线斜率均为-1; ② f(x)的极值点有且仅有一个; ③ f(x)的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是( ). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

第Ⅱ 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上)

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 . 25 9 12. 小明用 TI-Nspire? CAS 中文图形计算器作出函 1 数 f ( x) ? x( x ? 2)( x ? 3), x ?[?4, 4] 的 图 像 如 8 右 图 所 示 , 那 么 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集
11.椭圆 是 .(用区间表示) 13.在周长为定值 8 的扇形中,当半径为 扇形的面积最大,最大面积为 . 时,

14.已知抛物线 f ( x) ? 2x2 ? x 上一点 P(3, f (3)) 及附近一点 P '(3 ? ?x, f (3 ? ?x)) ,则割线

f (3 ? ?x) ? f (3) ,当 ?x 趋近于 0 时,割线趋近于 ? ?x 点 P 处的切线,由此可得到点 P 处切线的斜率为 .

PP ' 的斜率为 kPP ' ?

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (13 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? 2)( x ? 3) . (1)求导数 f ?( x) ; (2)求 f ( x) 的单调递减区间.

16. (13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n,

Sn 1 ) (n ? N ? ) 均在直线 y ? x ? 上. 2 n

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3an ,试证明数列 {bn } 为等比数列.

17. (14 分) 已知倾斜角为 60 的直线 L 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A 、

B 两点,其中 O 坐标原点. (1)求弦 AB 的长; (2)求三角形 ABO 的面积.

18. (13 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (1)若边 BC 上的中线 AD 记为 ma ,试用余弦定理证明: ma ?

1 2(b2 ? c2 ) ? a2 . 2

1 (2)若三角形的面积 S= (a2 ? b2 ? c2 ) ,求∠C 的度数. 4

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19. (13 分)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 甲产品 乙产品 7 3 用电(千瓦) 20 50 产值(万元) 8 12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该 厂如何安排生产,使得该厂日产值大?最大日产值为多少?

20. (14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上, 右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? 1 相交于不同的两点 M 、 N ,当 AM ? AN 时,求实数 k 的值.

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中山市高二级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)答案
一、选择题:ABCBB 二、填空题:11. CDDDB 12. [?2,0] [3, 4] ; 13. 2,4;

4 ; 5

14. 11 ? 2?x , 11. 三、解答题: 15. 解: (1)由原式得 f ( x) ? x3 ? x2 ? 6 x , ∴ f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 6 .
2

………………(3 分)

……(6 分)

(2)令 f ?( x) ? 0 ,解得

1 ? 19 1 ? 19 ?x? , 3 3

………………(10 分)

1 ? 19 1 ? 19 , ). 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( 3 3

………………(13 分)

16. 解: (1)依题意得,

Sn 1 1 ? n ? , 即 Sn ? n 2 ? n . n 2 2

………………(2 分)

1 1 1 ? ? n) ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? 2n ? ; ……(6 分) 2 2 2 ? ? 1 3 1 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 12 ? ?1 ? ? 2 ?1 ? . ……………… (7 分) 2 2 2 1 所以 an ? 2n ? ( n ? N * ) . ……………… (8 分) 2
当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? (2)证明:由(1)得 bn ? 3an ? 3 ∵
2n? 1 2



……………………(9 分) ………………(11 分) ……………… (13 分)

bn ?1 3 ? bn

1 2( n ?1) ? 2

3

2n?

1 2

? 32 ? 9 ,



{bn } 为等比数列.

17. 解: (1)由题意得:直线 L 的方程为 y ? 3( x ? 1) , 代入 y ? 4 x ,得: 3x ? 10 x ? 3 ? 0 .
2
2

……………………(2 分) ……………… (4 分)

高二数学(文科)

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10 . 3 10 16 由抛物线的定义得:弦长 AB ? x1 ? x2 ? p ? ? 2 ? . 3 3
设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则: x1 ? x2 ? (2)点 O 到直线 AB 的距离 d ?

……………… (6 分) ……………… (9 分) ……………… (12 分)

? 3 3 ?1

?

3 , 2

所以三角形 OAB 的面积为 S ?

1 4 3 AB ? d ? . 2 3

……………… (14 分)

a c 2 ? ( )2 ? ma 2 2 18. 解: (1)在 ?ABD 中, cos B ? ; a 2c 2
在 ?ABC 中, cos B ?

……………… (2 分)

c2 ? a 2 ? b2 . 2ca

………………(4 分)

a c 2 ? ( )2 ? ma 2 c2 ? a 2 ? b2 2 ∴ , ? a 2 c a 2c 2
化简为: ma 2 ? c 2 ? ∴

………………(5 分)

a 2 c 2 ? a 2 ? b 2 2(b 2 ? c 2 ) ? a 2 ? ? , 4 2 4
………………(7 分) ………………(10 分)

ma ?

1 2 2 2 . 2 (b ?c )? a 2

1 1 1 (2)由 S= (a2 ? b2 ? c2 ) ,得 absinC= 2ab cos C . 4 2 4
∴ tanC=1,得 C= 45 ? . ……(13 分)

19. 解:设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 z ? 8 x ? 12 y ,…(1 分)

?7 x ? 3 y ? 56 ? 线性约束条件为 ?20 x ? 50 y ? 450 . ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域. ……(6 分) 把 z ? 8 x ? 12 y 变形为一组平行直线系 l : y ? ? 知,当直线 l 经过可行域上的点 M 时,截距

…………(3 分)

8 z 由图可 x? , 12 12

z 最大,即 z 取最大值. 12
………… (10 分)

?7 x ? 3 y ? 56 解方程组 ? ,得交点 M (5,7) , ?20 x ? 50 y ? 450
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zmax ? 8 ? 5 ? 12 ? 7 ? 124 .

……………… (12 分)

所以,该厂每天安排生产甲产品 5 吨,乙产品 7 吨,则该厂日产值最大,最大日产值 为 124 万元. ……(13 分)

解: (1)依题意可设椭圆方程为 则右焦点 F ( a2 ? 1,0) . 由题设条件:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , a2
……(2 分)

……………… (1 分)

a2 ? 1 ? 2 2 2

? 3 , 解得: a 2 ? 3 .

……………… (4 分) ……………… (5 分)

x2 ? y2 ? 1 . 3 ? y ? kx ? 1 ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,联立 ? x 2 , 2 ? ? y ?1 ?3
故 所求椭圆的标准方程为: 消 y 得: (3k 2 ? 1) x2 ? 6kx ? 0 .

……………… (6 分) ………………(8 分)

? xp ?
? k Ap

xM ? xN 3k 1 , 从而 y p ? kx p ? 1 ? 2 , ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 yp ? 1 3k 2 ? 2 . ? ?? xp 3k
A M ? A N, ? A P ?

………………(10 分)

又 则: ?

, M N ……………… (14 分)

3 3k 2 ? 2 1 . ? ? ,解得: k ? ? 3 3k k

高二数学(文科)

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