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江苏省泰兴一中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷



2014 年秋学期高一数学限时训练(二)
2014.12.16

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡 ...
相应的位置 上。 ..... 1、函数 2、函数

f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期是
f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域

为___
_____. .

3、已知向量 a ? (k ,1), b ? (6, ?2) ,若 a 与 b 平行,则实数 k = 4、函数 y ? tan x ? x ? ? ?

? ?

? ? ? ?? , ? 的值域是__ ? 4 3? ??

____

5、圆心角为

?
3

弧度,半径为 6 的扇形的面积为

. .
y 3

6、已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? x ? 2 的零点在区间 ? n, n ? 1?? n ? Z ? 内,则 n ? 7、已知 f ? n ? ? ?

? ?n ? 3, n ? 10, 则 f ?8? ? f f n ? 5 , n ? 10. ? ? ? ? ? ? ? ?

8、如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的图象,则其解析式是______ ______. 9、已知 f ( x ) ? log 2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调增区间为 10、已知 sin ? .

?
2

) 在一个周期内
π 6

O

π 3

5π 6

x

-3

?? ? 1 ?4 ? ? ? ? ? , 则 cos ? ? ? ? ? =___________. ?6 ? 3 ?3 ?

k ? 2x 在其定义域上为奇函数,则实数 k ? . 1 ? k ? 2x 1 ? ax 12、若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式 ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x 13、给出下列命题: kπ (1)终边在 y 轴上的角的集合是 {a |a ? , k ? Z } ; 2

11、若函数 f ( x ) ?

.

(2)把函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图象沿 x 轴方向向左平移 得到的函数解析式可以表示成 f ( x) ? 2sin 2( x ? (3)函数 f ( x) ?

?

?
6

6

个单位后,

);

1 1 sin x ? sin x 的值域是 [?1,1] ; 2 2 (4)已知函数 f ? x ? ? 2 cos x ,若存在实数 x1 , x2 ,使得对任意的实数 x 都有
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f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x2 ? 成立,则 x1 ? x2 的最小值为 2? 。
其中正确的命题的序号为 14、已知函数 f ( x) ? ? . ,若函数 y ? 2[ f ( x)] ? 3mf ( x) ? 1 有 6 个不同的
2

?| lg x |, x ? 0 ?? x ? 2 x , x ? 0
2

零点,则实数 m 的取值范围是

.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 15、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
1 x

的定义域为集合 A ,集合 B ? {x | ax ? 1 ? 0, a ? 0} ,

集合 C ? {x | log 2 x ? ?1} . (1)求 A C ; (2)若 C ? ? (A

B ),求 a 的取值范围.

16、 (本题满分 14 分) 已知 tan ? ? 2. (1)求
3 sin ? ? 2 cos ? 的值; sin ? ? cos ?

3? ) 2 2 的值; (2)求 sin( 3? ? ? ) sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) sin(? ?

?

(3)若 ? 是第三象限角,求 cos ? 的值.

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17、 (本题满分 14 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
3

) (其中 A ? 0, ? ? 0 )的振幅为 2 ,周期为 ? .
⑵求 f ( x) 的单调增区间;

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑶求 f ( x) 在 [?

?
2

, 0] 的值域.

18、 (本题满分 16 分) 我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近 似的满足: y ? P ( x) ? 2
(1? kt )( x ? b )2

(其中 t 为关税的税率,且 t ? [0, ) , x 为市场价格,

1 2

b 、 k 为正常数) ,当 t ?

1 时的市场供应量曲线如图: 8
11? x 2

(1)根据图象求 b 、 k 的值; (2)若市场需求量为 Q ,它近似满足 Q ( x) ? 2 .当 P ? Q 时的市场价格称为市场平

衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值.

19、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? lg(

3? x ) ,其中 x ? ( ?3, 3) 3? x

(1)判别函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)判断并证明函数 f ( x ) 在 ( ?3, 3) 上单调性; (3) 是否存在这样的负实数 k, 使 f ( k ? cos ? ) ? f (cos ? ? k ) ? 0 对一切 ? ? R 恒成立,
2 2

若存在,试求出 k 取值的集合;若不存在,说明理由.

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20、(本题满分 16 分)
若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数, 且存在区间 [a, b] ? D (其中 a ? b ) , 使得当 x ? [a, b] 时, f ( x) 的取值范围恰为 [a, b] ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 [a, b] 叫做等域区 间. (1)已知 f ( x) ? x 是 [0, ??) 上的正函数,求 f ( x) 的等域区间; (2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? x ? m 是 (??, 0) 上的正函数?若存在,
2

1 2

请求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

附加题(本题满分 10 分)

已知函数 f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? kx 是偶函数. (1)求实数 k 的值;
4 (2)设 g ( x) ? log 2 (a ? 2 x ? a)(a ? R) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有 3 一个公共点,求实数 a 的取值范围.

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高一数学限时训练(二)参考答案
1、 1; 7、 7; 8、y ? 3sin(2 x ? ? ; 2、? ??, 0? ; 3、?3 ; 4、? ?1, 3 ? ; 5、 6? ; 6、

?

?

?
3

);

1 7 ; 11、 ?1 ;12、 ;13、 (2) (4) ;14、m<-1; 2 3 1 15、解: (1)由题意得 A = (0, ??) ., C = (0, ) , -------------------2 分 2
9、 ? 3, +? ? ; 10、 ? ∴A

C ? (0, ??) .

----------------------6 分

* (2)由题意得 B = (??, ) ,∴ a ?A N ? B ? (0, ) ,

1 a

1 a

--------------8 分

∵C ? ? A

? B, ∴

1 1 ? , a 2
--------14 分

--------12 分

?0 ? a ? 2 ∴
16、解⑴

3sin ? + 2cos ? 3tan ? + 2 ? …………………………………………………2 分 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3? 2 + 2 ? ? 8 .…………………………………………………………………………3 分 2 ?1 ? ?? cos ? ? ? ? ? cos( + ? )sin(? ? ) ? ? cos ? ?? ? sin ? ?? cos ? ? 2 2 ? ⑵ ……………………9 分 sin ? 3? + ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? + ? ? ? ? sin ? ?? ? sin ? ?? ? cos ? ? cos ? 1 1 ?? ? ? .…………………………………………………………………10 分 sin ? tan ? 2 sin ? ? tan ? ? 2 ,得 sin ? ? 2cos ? , ⑶解法 1:由 cos ? 1 又 sin 2 ? + cos 2 ? ? 1 ,故 4cos 2 ? + cos 2 ? ? 1 ,即 cos 2 ? ? ,………………………12 分 5 5 因为 ? 是第三象限角, cos ? ? 0 ,所以 cos ? ? ? .…………………………………14 分 5 cos 2 ? 1 1 1 解法 2: cos 2 ? ? ? ? ? , …………………………12 分 2 2 2 2 cos ? + sin ? 1 + tan ? 1 + 2 5 5 因为 ? 是第三象限角, cos ? ? 0 ,所以 cos ? ? ? .…………………………………14 分 5 ??
17、解:⑴由题可知: A ? 2 且

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ;┄┄┄┄4 分 3
⑵令 ?

?

T ? ? ?T ? ? ?? ? 2 4 4

?

2 5? ? ? k? , ? k? ] ( k ? Z ); ? f ( x) 的单调增区间为 [? 12 12

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

3

?

?

? 2k? ??

5? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 12 12
┄┄┄┄┄8 分

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x ? [?

?
2

, 0]? 2 x ?

?
3

? [?

2? ? , ] ? f ( x) 的值域为 [?2, 3] . 3 3

┄┄┄┄14 分

)(5 ? b ) 2 ? (1? k ?1 ?2 8 18、解: (1)由图象知函数图象过: (5,1) , (7, 2) ,? ? ,………2 分 k 2 ?2(1? 8 )(7 ? b ) ? 2 ?

?(1 ? ? ? 得? ? ? (1 ? ? ?

k )(5 ? b) 2 ? 0 8 , k 2 )(7 ? b) ? 1 8
(1? 6 t )( x ? 5) 2

……… 4 分 解得: ?

?k ? 6 ; ……………… 6 分 ?b ? 5

(2)当 P ? Q 时, 2

?2

11?

x 2

,即 (1 ? 6t )( x ? 5) 2 ? 11 ?

x ,………… 8 分 2

x 1 2 ? 1 ? 22 ? x ? 1 ? [ 17 ? ] ……………… 10 分 化简得:1 ? 6t ? 2 2 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) 2 ( x ? 5) x?5 11 ?
1 1 ( x ? 9) ,? m ? (0, ] , x?5 4 1 1 设 f (m) ? 17 m 2 ? m, m ? (0, ] ,对称轴为 m ? 4 34 1 13 1 1 13 ,所以,当 m ? 时 , 1 ? 6t 取 到 最 大 值 : ? ,即 ? f ( x) max ? f ( ) ? 4 16 4 2 16 1 13 19 19 ,即税率的最小值为 ……………… 15 分 1 ? 6t ? ? ,解得: t ? 2 16 192 192 19 答:税率 t 的最小值为 . ……………… 16 分 192
令m ? 19、解: (1)? f ?? x ? ? lg?

?3? x? ?3? x? ? ? ? lg? ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 是奇函数. ………3 ?3? x? ?3? x?

(2)任取 x1 , x 2 ? ?? 3,3?, 且x1 ? x 2 , f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? lg? ?

? 3 ? x1 ? ? 3 ? x2 ? ? lg? ? ?3? x 2 ? 3 ? x1 ? ?

? ? ? ?

? lg

?3 ? x1 ??3 ? x2 ? 9 ? 3? x 2 ? x1 ? ? x1 x 2 ? lg ?3 ? x1 ??3 ? x2 ? 9 ? 3? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2

? 9 ? 3?x 2 ? x1 ? ? x1 x 2 ? 9 ? 3?x 2 ? x1 ? ? x1 x 2 ? 0
? 9 ? 3? x 2 ? x1 ? ? x1 x 2 ? 1 ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 9 ? 3? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2
………8

? f ? x ? 是 ?? 3,3? 上的减函数;

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(3) ? f ?k ? cos ? ? ? ? f cos ? ? k
2

?

2

? ? f ?k

2

? cos 2 ? ? f ? x ? 是 ?? 3,3? 上的减函数

?

?k ? 0 ?? 3 ? k ? cos ? ? 3 ? ?? 对? ? R恒成立 2 2 ? 3 ? cos ? ? k ? 3 ? ?k ? cos ? ? k 2 ? cos 2 ? ? 由k ? cos ? ? k 2 ? cos 2 ?对? ? R恒成立得:k ? k 2 ? cos ? ? cos 2 ?对? ? R恒成立
………12

1? ? 2 1 ? 1 ? ? cos ? ? ?? 1,1?? y ? ?? 2, ? 令 y ? cos ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? 4? ? 4 ? 2? ? k ? k 2 ? ?2 ? k ? ?1
2

同理:由 ? 3 ? k ? cos ? ? 3 对? ? R恒成立 得: ? 2 ? k ? 2 由 ? 3 ? cos 2 ? ? k 2 ? 3 对? ? R恒成立 得: ? 3 ? k ?

3

即综上所得: ? 3 ? k ? ?1 所以存在这样的 k 其范围为 ? 3 ? k ? ?1 ………16

20、解: (1)因为 f ( x) ? x 是 [0, ??) 上的正函数,且 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上单调递增,
所以当 x ? [a, b] 时, ?

? ? f ( a ) ? a, ? a ? a, 即? ………………………3 分 ? f (b) ? b, ? b ? b, ?
………………………5 分

解锝 a ? 0, b ? 1 ,故 f ( x) 的等域区间为 [0,1] (2)因为函数 g ( x) ? x ? m 是 (??, 0) 上的减函数,
2

所以当 x ? [a, b] 时, ?

? g ( a ) ? b, ? g (b) ? a,

即?

? a 2 ? m ? b,
2 ?b ? m ? a,

………………………7 分

两式相减得 a 2 ? b 2 ? b ? a ,即 b ? ?(a ? 1) , 代入 a 2 ? m ? b 得 a 2 ? a ? m ? 1 ? 0 , 由 a ? b ? 0 ,且 b ? ?(a ? 1) 得 ?1 ? a ? ?

………………………9 分

1 , 2 1 2

………………………11 分

故关于 a 的方程 a 2 ? a ? m ? 1 ? 0 在区间 ( ?1, ? ) 内有实数解,………13 分

? h(?1) ? 0, ? 记 h(a ) ? a ? a ? m ? 1 ,则 ? 1 h(? ) ? 0, ? ? 2
2

解锝 m ? (?1, ? ) .

3 4

………16 分

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f ( x) 是偶函数,? f (? x) ? f ( x) . ? log 2 (4 ? 1) ? kx ? log 2 (4 x ? 1) ? kx ,? 2 x ? 2kx ? 0 .
?x

附加题 解: (1)

由于此式对于一切 x ? R 恒成立,? k ? ?1

………4

(2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,等价于方程 f ( x) ? g ( x) 有唯一的实 数解

4 4 a) ? 2 x 有唯一实数解,且 a ? 2 x ? a ? 0 . 3 3 4 4 令 2 x ? t ,则此问题等价于方程 (a ? 1) ? t 2 ? at ? 1 ? 0 只有一个正实根且 a ? 2 x ? a ? 0 . 3 3
等价于方程 4 x ? 1 ? ( a ? 2 x ? 从而有: ① a ? 1 ? 0 即 a ? 1 ,则 t ? ? ② a ?1 ? 0 即 a ? 1 (Ⅰ)若 ? ? 意, 当 a ? ?3 时,得 t ?

3 ,不合题意舍去. 4

16 2 3 3 a ? 4(a ? 1) ? 0 ,即 a ? 或 a ? ?3 .当 a ? 时,代入方程得 t ? ?2 不合题 9 4 4 1 符合题意. 2

(Ⅱ)方程有一个正根和一个负根,即 值范围是 {?3} ? (1, ??) .

?1 ? 0 ,即 a ? 1 符合题意,综上所述,实数 a 的取 a ?1
………10

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