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第三章直线与方程 3.2.2



3.2.2

直线的两点式方程

【课时目标】 1.掌握直线方程的两点式.2.掌握直线方程的截距式.3.进一步巩 固截距的概念.

1.直线方程的两点式和截距式 名称 已知条件 P 1 ( x1 , y1 ) , 两 点 式 截 距 式

示意图

方程

使用

范围 斜率存在 且不为 0

P2 ( x2 , y2 ) , 其中 x1 ? x2 , y1 ? y2
在 x, y 轴上的 截距分别为 a , b 且 ab ? 0

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

斜率存在且不为 0, 不过原点

2.线段的中点坐标公式
?x= ? 若点 P y1)、 (x2, y2), 设 P(x, y)是线段 P1P2 的中点, 则? 1, P 2 的坐标分别为(x1, ?y= ?



一、选择题 1.下列说法正确的是( ) y-y1 A.方程 =k 表示过点 M(x1,y1)且斜率为 k 的直线方程 x-x1 x y B.在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b 的直线方程为 + =1 a b C.直线 y=kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b D.不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2.一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( ) A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 x y 3.直线 2- 2=1 在 y 轴上的截距是( ) a b 2 2 A.|b| B.-b C.b D.± b 4.在 x、y 轴上的截距分别是-3、4 的直线方程是( ) x y x y A. + =1 B. + =1 3 -4 -3 4 x y x y C. - =1 D. + =1 4 -3 -3 4 x y x y 5.直线 - =1 与 - =1 在同一坐标系中的图象可能是( ) m n n m

6.过点(5,2),且在 x 轴上的截距(直线与 x 轴交点的横坐标)是在 y 轴上的截距的 2 倍的 直线方程是( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0 二、填空题 7.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的点斜式方式为______________. 8 .过点 P(6 ,- 2) ,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程是 ________________. 9.过点 P(1,3)的直线 l 分别与两坐标轴交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中点,则直线 l 的截距式是______________. 三、解答题 10.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 37,求直线 l 的方程.

11.三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边 AC 和 AB 所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程; (3)求 AC 边上的中垂线所在直线的方程.

能力提升 12.已知点 A(2,5)与点 B(4,-7),点 P 在 y 轴上,若|PA|+|PB|的值最小,则点 P 的坐 标是________. 13.已知直线 l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线 l 的方程.

1.直线方程的几种形式,都可以用来求直线的方程,但各有自己的限制条件,应用时 要全面考虑.(1)点斜式应注意过 P(x0,y0)且斜率不存在的情况.(2)斜截式,要注意斜率不 存在的情况.(3)两点式要考虑直线平行于 x 轴和垂直于 x 轴的情况.(4)截距式要注意截距 都存在的条件. 2.直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义,在求直线方程时,应抓住这些几何 特征,求直线方程. 3.强调两个问题: (1)截距并非距离,另外截距相等包括截距均为零的情况,但此时不能用截距式方程表 示,而应用 y=kx 表示.不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线 y=1 没有横截距,x= 2 没有纵截距. y2-y1 y-y1 x-x1 (2)方程 y-y1= (x-x1)(x1≠x2)与 = (x ≠x ,y ≠y )以及(y-y1)(x2-x1) x2-x1 y2-y1 x2-x1 1 2 1 2 =(x-x1)(y2-y1)代表的直线范围不同(想一想,为什么?).

3. 2. 2
知识梳理 x y 1. + =1 a b x1+x2 y1+y2 2. 2 2 作业设计 1.A 2.B 3.B [令 x=0 得,y=-b2.]

直线的两点式方程

答案

4.A n 5.B [两直线的方程分别化为斜截式:y= x-n, m m y= x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中仅有 B 选项的两直线的斜率符 n 号相同.] 6.D [当 y 轴上截距 b=0 时,方程设为 y=kx, 2 将(5,2)代入得,y= x,即 2x-5y=0; 5 x y 9 当 b≠0 时,方程设为 + =1,求得 b= ,∴选 D.] 2b b 2 3 7.y- =2(x-2) 2 1 解析 kAB=- ,由 k· kAB=-1 得 2 3? k=2,AB 的中点坐标为? ?2,2?, 3 点斜式方程为 y- =2(x-2). 2 x y x 8. + =1 或 +y=1 3 2 2 -2 x y 6 解析 设直线方程的截距式为 + =1,则 + =1,解得 a=2 或 a=1,则直 a a+1 a a+1 x y x y x y x 线的方程是 + =1 或 + =1,即 + =1 或 +y=1. 3 2 2 2+1 2 1+1 1 x y 9. + =1 2 6 解析 设 A(m,0),B(0,n),由 P(1,3)是 AB 的中点可得 m=2,n=6, 即 A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6). x y 则 l 的方程为 + =1. 2 6 10.解 方法一 设所求直线 l 的方程为 y=kx+b. ∵k=6,∴方程为 y=6x+b. 令 x=0,∴y=b,与 y 轴的交点为(0,b); b ? b 令 y=0,∴x=- ,与 x 轴的交点为? ?-6,0?. 6 b - ?2+b2=37, 根据勾股定理得? ? 6? ∴b=± 6.因此直线 l 的方程为 y=6x± 6. x y 方法二 设所求直线为 + =1,则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0,b). a b 2 2 由勾股定理知 a +b =37. a2+b2=37, ? ? b 又 k=- =6,∴? b a ? ?-a=6.
? ?a=-1, 或? ?b=-6 ?b=6. ? ? y y 因此所求直线 l 的方程为 x+ =1 或-x+ =1. 6 -6 x y 11.解 (1)由截距式得 + =1, -8 4 ∴AC 所在直线方程为 x-2y+8=0,

解此方程组可得?

? ?a=1,

y-4 x 由两点式得 = , 6-4 -2 ∴AB 所在直线方程为 x+y-4=0. y-2 x-?-4? (2)D 点坐标为(-4,2),由两点式得 = . 6-2 -2-?-4? ∴BD 所在直线方程为 2x-y+10=0. 1 (3)由 kAC= ,∴AC 边上的中垂线的斜率为-2, 2 又 D(-4,2),由点斜式得 y-2=-2(x+4), ∴AC 边上的中垂线所在直线方程为 2x+y+6=0. 12.(0,1) 解析 要使|PA|+|PB|的值最小,先求点 A 关于 y 轴的对称点 A′(-2,5),连接 A′B, 直线 A′B 与 y 轴的交点 P 即为所求点. 1 13.解 当直线 l 经过原点时,直线 l 在两坐标轴上截距均等于 0,故直线 l 的斜率为 , 7 1 ∴所求直线方程为 y= x, 7 即 x-7y=0. x y 当直线 l 不过原点时,设其方程 + =1, a b 由题意可得 a+b=0, ① 7 1 又 l 经过点(7,1),有 + =1, ② a b x y 由①②得 a=6,b=-6,则 l 的方程为 + =1,即 x-y-6=0. 6 -6 故所求直线 l 的方程为 x-7y=0 或 x-y-6=0.



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