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线性规划与基本不等式



线性规划及基本不等式 一、知识梳理 (一)二元一次不等式表示的区域 1、对于直线 Ax ? By ? C ? 0 (A>0),斜率 K=__________,与 x 轴的交点为________与 y 轴的交点 为___________ 2、 当 B>0 时, Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方区域; Ax ? By ? C

? 0 表示直线

Ax ? By ? c ? 0 的下方区域.
当 B<0 时 , Ax ? By ? C ? 0 表 示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方区 域 ; Ax ? By ? C ? 0 表 示直 线

Ax ? By ? c ? 0 的上方区域.

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 3、问题 1:画出不等式组 ? 表示的平面区域 问题 2:求 z=x-3y 的最大值和最小值

注、(1)不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等 式,所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析 式,我们把它称为目标函数.由于 z=Ax+By 又是关于 x、y 的一次解析式,所以又可叫做线性目 标函数.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述 问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解( x1 , y1 )和( x 2 , y 2 )分别使目标 函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解. (2) 、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域). 2.设 z=0,画出直线 l0. 3.观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (3) 、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 (二)基本不等式
2 2 1、基本形式: a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab ; a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立

1 2、已知 x 为正数,求 2x+ x 的最小值

1 1 3、已知正数 x、y 满足 x+2y=1,求 x + y 的最小值.(提示:1 的替换)
62

二、高考链接

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? ?5 x ? y ? 10 ≤ 0, ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, 1、 (08 山东) 16. 设 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为
? x ? y ≥ 2, ? ? x ? y ≤ 2, ?0 ≤ y ≤ 3, 2、(福建)已知实数 x, y 满足 ? 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是________.
3、 (09 山东).某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能 生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产 品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 ,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元.



x y ? ?1 ? x , y ? R 4、 (07 山东)已知 ,且满足 3 4 ,则 xy 的最大值为___________
5、 函数 y=

a

1? x

(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0 上, 其中 mn>0,则 .

1 2 ? m n

的最小值为

6、 (2007 山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告 总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问 该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间, 才能使公司的收益最大, 最大收益是多少万元?

63

三、抢分演练 1、已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A、 a ? b
2 2

) D、

B、 a b ? ab
2

2

C、

1 1 ? 2 2 ab ab

b a ? a b

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是( 2、下面给出四个点中,位于 ?
2) A. (0, 0) B. (?2, ? 2) C. (0, 0) D. (2,



?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? ? ? x ? 0, ? 3、满足线性约束条件 ? y ? 0 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是
3 (B) 2 .

( )

(A)1.

(C)2.

(D)3.

4、若变量 x,y 满足约束条件 (A)1 (B)2

? x ? ?1 ? ?y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?
(C)3

则 z=2x+y 的最大值为 (D)4

5、设 x,y 满足

?2 x ? y ? 4 ? ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值

6、设变量 x,y 满足约束条件 (A)12 (B)10

? x ? y ? 3, ? ? x ? y ? ?1, ? y ? 1, ?
(C)8

则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 (D)2

7、若不等式组 A. a ? 5

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? ? y ≥ a, ?0 ≤ x ≤ 2 ?

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( C. 5 ≤ a ? 7
64



B. a ≥ 7

D. a ? 5 或 a ≥ 7

8、不等式组

所表示的平面区域的面积等于

A.

B.

C.

D.

?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ? ax ? y ? 1 ? 0 9、在平面直角坐标系中,若不等式组 ? ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积
等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 0, y ? x ? 2, 10、若实数 x、y 满足 ? 则 x 的取值范围是
A.(0,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 11、某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙

2 投资的 3 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利
润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可 获得的最大利润为 A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? ?3 ? x ≥ 0, ? x ? y ≥ 0, 12、 z ? 2 x ? y 中的 x, y 满足约束条件 ? 则 z 的最小值是____________
?x ? y ? 3 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 3 ?



13、设变量 x,y 满足约束条件:

.则目标函数 z=2x+3y 的最小值为______

? x ? y ≥ 2, ? ? x ? y ≤ 2, ? x, y 满足 ?0 ≤ y ≤ 3, 14、已知实数 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是________.
15、若 x ? 0 ,则

x?

2 x 的最小值为______________
65

16、 (2007 江苏)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} , 则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为

A. 2

B. 1

1 C. 2

1 D. 4

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