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新泰一中2012-2013学年高二上学期期中试数学(理)试题



高二上学期期中模块结业考试数学试题 (理)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的.) 1.设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x﹣1>0”的( A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 2.在△ABC 中,a=2,b= A. B. 或 ,B= )

B. 必要而不充分条

件 D.既不充分也不必要条件 ,则 A 等于( C. ) D. )

3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176 4. .已知下列四个命题:
① xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题; “若 ② “正方形是菱形”的否命题; ③ ac >bc ,则 a>b”的逆命题; “若 2 ④ 若“m>2,则不等式 x ﹣2x+m>0 的解集为 R”. 其中真命题的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个
2 2

D.3 个

5.在△ABC 中,角 A,B 所对的边长为 a,b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知公差不为零的等差数列的第 2,3,6 项依次是一等比数列的连续三项,则 这个等比数列的公比等于( ) A. B. C. D.3 7.关于 x 的不等式 ax﹣b>0 的解集为(1,+∞) ,则关于 x 的不等式 解集为( ) A.(﹣1,2) C. B.(1,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) ) D.6 >0 的

(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)

8.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5

9. 设变量 x, 满足约束条件 y A. B.

则目标函数 z=3x﹣y 的取值范围是 ( C.[-1, 6] D.



10.数列{an}的前 n 项和为 sn,若 A.1 B. C.

,则 s5 等于( D.



11.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,并且 asin AsinB+bcos2A= A.2 B.2 a,则 =( ) C. D.

12.如图,某船在海上航行中遇险发出呼救信号,我海上救生艇在 A 处获悉后, 立即测出该船在方位角 45°方向, 相距 10 海里的 C 处, 还测得该船正沿方位角 105° 的方向以每小时 9 海里的速度行驶, 救生艇立即以每小时 21 海里的速度前往营救, 则救生艇与呼救船在 B 处相遇所需的最短时间为( )

A. 小时

B. 小时

C. 小时

D. 小时

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题: (本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 时,cosC=

_________ . 14.设{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4x2﹣8x+3=0 的两根,则 a2006+a2007= _________ . 15.若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 _________ .

16.在直角坐标系中,若不等式组

表示一个三角形区域,则实数 k

的取值范围是 _________ . 三、解答题: (本大题共6题,满分76分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤) 17.(12 分)数列{an}前 n 项和为 Sn,且 Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R) ,已知 a1=﹣28, S2=﹣52,S5=﹣100. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求使得 Sn 最小的序号 n 的值.

18.(12 分)设命题 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;命题 q:方程 x2+2(m﹣2)
x﹣3m+10=0 无实数根.若 p∨ 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围. q

19. (12 分)某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理 位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 a 米,房屋正面的造价为 400 元/m2,房 屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不计房屋背面的费用. (1)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当若 a≥4 时,多少时,总造价最底?最低总造价是多少?

20. (12 分)已知函数 f(x)=x2+(a﹣3)x﹣3a (a 为常数) (1)若 a=5,解不等式 f(x)>0; (2)若 a∈R,解不等式 f(x)>0;

21. (12 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别是∠ A,∠ B,∠ 的对边长,若 C 1 , , ,且 = 2 (Ⅰ 若△ ) ABC 的面积 ,求 b+c 的值; (Ⅱ)若 R 为 ? ABC 的外接圆半径,且 2RsinB+2RsinC<P(P 为参数)恒成立,求 P 的取值范围

22(14 分)对 n∈N*,不等式

所表示的平面区域为 Dn,把 Dn 内的整

点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列: 1, (x y1)(x2,y2)(x3,y3) , , ,…, n,yn) (x . (1)求 xn,yn;

(2)数列{an}满足

,求数列{an}的前 n 项和 Sn;

(3)设 c1=1,当 n≥2 时,cn = lg[ 2 ? y12 ? (1 ? 数列{cn}的前 n 项和 Tn,求 T99.

1 1 1 1 ,且 ) ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ????(1 ? 2 ) ] 2 y2 y3 y4 yn

高二上学期期中模块结业考试 数学试题 (理) (参考答案)
一、选择题:1—5:ABBBA 二、填空题:13. ﹣ 三、解答题:
17.解: (1)有题意可得 解得 ∴ n=2n ﹣30n(4 分) S
2

6—10:DCCAB 11—12: DD 14. 18 15.
a≥

16. (﹣1,1)

因为当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣32 当 n=1 时,a1=﹣28,也适合上式. ∴n=4n﹣32 a (2)因为 Sn=2n ﹣30n= 因为 n 是正整数,所以当 n=7 或 8,Sn 最小,最小值是﹣112. 18 解:令 f(x)=x +2mx+1.
2 2

(8 分)

(12 分)

若命题 p 为真,则有



解得 m<﹣1; 若命题 q 为真, 2 则有△ =4(m﹣2) ﹣4(﹣3m+10)<0 解得﹣2<m<3. 由 p∨ 为真,p∧q 为假知,p、q 一真一假. q ① p 真 q 假时, 当 即 m≤﹣2; ② p 假 q 真时, 当 , ,

(4 分)

(6 分)

即﹣1≤m<3. ∴ 实数 m 的取值范围是 m≤﹣2 或﹣1≤m<3.

(12 分)

19.解: (解: (1)由题意可得,y=3(2x×150+ =900(x+ )+5800(0<x≤a) )+5800≥900×2 即 x=4 时取等号.

)+5800 (4 分)

(2)y=900(x+ 当且仅当 x=

+5800=13000

若 a≥4 时,当 x=4 时,有最小值 13000. 答:房屋总造价 y 表示成 x 的函数为 900(x+ )+5800,该函数的定义域为(0<x≤a) (12 分)

当若 a≥4 时,房子侧面的长度为 4 米时总造价最底为 13000 元. 20.解: (1)当 a=5 时, 分) (1 2 f(x)=x +2x﹣15=(x+5) (x﹣3) ∴不等式 f(x)>0 的解集为: (﹣∞,﹣5)∪(3,+∞)(4 分) ;
2

(2)当 a∈R 时,f(x)=x +(a﹣3)x﹣3a=(x+a) (x﹣3) ∴f(x)=(x+a) (x﹣3)=0 的两根为 3,﹣a (3 分) ①当 3=﹣a 即 a=﹣3 时,原不等式的解集为: (﹣∞,3)∪(3,+∞) ; ②当 3>﹣a 即 a>﹣3 时,原不等式的解集为: (﹣∞,﹣a)∪(3,+∞) ; ③当 3<﹣a 即 a<﹣3 时,原不等式的解集为: (﹣∞,3)∪(﹣a,+∞)(12 分) ;
2

21.解: (Ⅰ) ∴cosA=-

=-cos

A 1 2 A +sin = 2 2 2

1 2

∵A∈(0,π)∴ 由
2 2 2 2 2

,…

又 a =b +c ﹣2bccosA 可得 b +c =8… 所以可得:b+c=4 (Ⅱ)由(I)可得 B+C= 由正弦定理可得,2R= ∴ ∵ ∴ , ,得:b=4sinB,c=4sinC,

(6 分)

∴2RsinB+2RsinC= … ∴p>4 (也可用余弦定理结合基本不等式求解,解答略)

(12 分)

22.解: (1)

的可行域为

如图示,xn=1,yn=n (2)由题意可知: an= 故

(2 分)



' ,则 sn ? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ???? ? n ? n 2 2 2 2

两式相减得:

故 故数列{an}的前 n 项的和为: sn ? (3)当 n≥2 时,

n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? (n ? 2) n 2 2

(8 分)

=

=

=lg(n+1)﹣lgn

T99=1+(lg3﹣lg2)+(lg4﹣lg3)+(lg5﹣lg4)+…..+(lg100﹣lg99) =1+2﹣lg2 =3﹣lg2.

(14 分)



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