湖北省枣阳市白水高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文(扫描版)

2016 春季枣阳市白水高中期中考试 高二数学（文科）
第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题： 1.钱大姐常说“便宜无好货” ，她这句话的意思是： “好货”是“不便宜”的（ ）

（A） （ ? 1,1] 7． 直线 l： y=k （x﹣ A．( 0，π ） ） 8. 双曲线 C：

（B） （0,1]
2 2

（C .）[1，+∞）

（D） （0，+∞） ） ，

） 与曲线 x ﹣y =1 （x＞0） 相交于 A、 B 两点， 则直线 l 倾斜角的取值范围是 （ B． （ ， ）∪（ ， ） C．[0， ）∪（ ，π ） D． （

y2 x2 ? ? 1 (a > 0，b > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点， a2 b2

A.充分条件
2 2

B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A， 若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形， 则双曲线 C 的离心率 为( )

2.已知双曲线 C ：

x y 5 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ，且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ，则双曲线 C 的方程为（ ） 2 a b 4
B.

A． 2

B． 1 ? 2

C． 1 ? 3

D． 2 ? 3
）

A．

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9
)

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增，则 k 的取值范围是（ （A） ? ??, ?2? （B） ? ??, ?1? （C） ? 2, ?? ?

3.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在区间(－1，1)上(

（D） ?1, ?? ?
2

A．有最大值，但无最小值 C．无最大值，但有最小值
4.下列命题中，真命题是 ( )

B．有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值

2 10．设曲线 y ? a ? 1 sin x （ a ? R )上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ， 则函数 y ? x g ( x) 的部分 图象可以为（ ）

A. ?x0 ? R ， e

x0

? 0；

B. ?x ? R ， 2 x ? x 2 ；

C.“ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充要条件；

D.设 a ， b 为向量，则“ | a ? b |?| a || b | ”是 “ a // b ”的充要条件

A 11.已知 F1,F2 是椭圆 C:

B

C

D

5.已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下列四个图象中，y＝f(x) 的图象大致是( )

X2 Y2 ＋ = 1 的左，右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且到左焦点 F1 的距离为 6， 9 25

过 F1 做 ?F 1PF 2 的角平分线的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为 （ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4

12． 已 知函数 f ( x) ? ln 的最小值为（ A． ? ln 2 6.函数 y= ）

x 1 ? , g ( x) ? e x ? 2 , 对于 ?m ? R, ?n ? ? 0, ??? 使得 g (m) ? f (n) 成立， 则n?m 2 2
B． ln 2 C． 2 e ? 3
2 D． e ? 3

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为（ 2

）
1

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.抛物线 y ? 2 px （ p ? 0 ）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 p ?
2

19.（本小题满分共 12 分） 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ，曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 。 ． . （Ⅰ）求 a , b 的值；（Ⅱ）求 f ( x) 的极大值。

14.若曲线 f ( x) ? x?2 在点(a， a ?2 )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，则 a = 15.在下面几个关于圆锥曲线命题中 ①方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ②设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，若| PA |－| PB | = k，则动点 P 的轨迹为双曲线；

20. （本小题满分共 12 分） 己知曲线 x2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A、B 两点，动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦，且直线 OM、ON 的斜率之积为 ?

③过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1， 则∠A1FB1 = 90°； ④双曲线

1 ． 2

x y ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切，则 r ? 3 ． 6 3

2

2

????? ???? ? 1 ．求 OM ? ON 的最大值； 2

其中真命题序号为 16.巳知直线:x＋y＋l=0 与曲线 C:：y=:x －3px 相交于点 A，B，且曲线 C 在 A，B 处的切线平行，则实 21. （本小题满分共 12 分） 数 P 的值为______。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分共 12 分） 已知命题 p：“关于 x 的方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根”；命题 q：“函数 f (x) = x －2(m－2)x + 1 在(1，2)上单调递减”． (1)求命题 p 与命题 q 分别为真命题时相应的实数 m 的取值范围； (2)若命题“p∧(?q)”为真命题，求实数 m 的取值范围． 22. （本小题满分共 10 分） 1 8. （本小题满分共 12 分） 椭圆 求椭圆的方程． 的离心率为 ，椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于点 P，Q，且 ， 已知函数 f(x)=a(tan x+l)-e ． (1)若 f(x)在 x=0 处的切线经过点(2，3)，求 a 的值； (2)x∈（0，
x 2 2 3 2

设函数 f ( x) ? a ln x ?

x ?1 , 其中 a为常数 . x ?1

（1）若 a ? 0 ，求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程； （2）讨论函数 f ( x) 的单调性.

? ）时，f(x)≥0，求 a 的取值范围． 2

2

7． 直线 l： y=k （x﹣ 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给 出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1.钱大姐常说“便宜无好货” ，她这句话的意思是： “好货”是“不便宜”的（ ） 【答案】A A．( 0，π ） 8. 双曲线 C：

） 与曲线 x ﹣y =1 （x＞0） 相交于 A、 B 两点， 则直线 l 倾斜角的取值范围是 （ B ） ， ）∪（ ， ） C．[0， ）∪（ ，π ） D． （ ， ）

2

2

B． （

y2 x2 ? ? 1 (a > 0，b > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点， a2 b2

设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率 为( )C

A.充分条件

B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

x2 y 2 5 2.已知双曲线 C ： 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ，且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ，则双曲线 C 的方程为（ B ） a b 4
A．

A． 2

B． 1 ? 2

C ．1 ? 3

D． 2 ? 3
）D

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增，则 k 的取值范围是（ （A） ? ??, ?2? （B） ? ??, ?1? （C） ? 2, ?? ?

x2 y2 ? ?1 4 3
3

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

C. )D

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

（D） ?1, ?? ?
2

3.函数 f ( x) ? x ? 3x 在区间(－1，1)上(

2 10．设曲线 y ? a ? 1 sin x （ a ? R )上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ， 则函数 y ? x g ( x) 的部分 图象可以为（ ）B

A．有最大值，但无最小值 C．无最大值，但有最小值
4.下列命题中，真命题是 (

B．有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值
)D

A. ?x0 ? R ， e

x0

? 0；

B. ?x ? R ， 2 x ? x 2 ； C.“ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充要条件；
A B C D

D.设 a ， b 为向量，则“ | a ? b |?| a || b | ”是 “ a // b ”的充要条件
5.已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x) 的图象大致是( )

11.已知 F1,F2 是椭圆 C:

X2 Y2 ＋ = 1 的左，右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且到左焦点 F1 的距离为 6， 9 25
（ ）A D.4

过 F1 做 ?F 1PF 2 的角平分线的垂线，垂足为 M，则 OM 的长为 A. 1 B. 2 C.3

12． 已 知函数 f ( x) ? ln 的最小值为（ A． ? ln 2 C. 6.函数 y= ）B

x 1 ? , g ( x) ? e x ? 2 , 对于 ?m ? R, ?n ? ? 0, ??? 使得 g (m) ? f (n) 成立， 则n?m 2 2
B． ln 2 C． 2 e ? 3
2 D． e ? 3

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为（ 2
（B） （0,1]

） 【答案】B （C.）[1，+∞） （D） （0，+∞）

（A） （ ? 1,1]

3

解得：m > 1 或 m <－1 ∴命题 p 为真时，实数 m 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，+∞) 又∵函数 f (x) = x －2(m－2)x + 1 在(1，2)上单调递减， 且函数 f (x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程是：x = m－2 ∴m－2≥2，解得：m≥4 ∴命题 q 为真时，实数 m 的取值范围为[4，+∞) 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.抛物线 y ? 2 px （ p ? 0 ）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ，则 p ?
2
2

2分 3分

5分 6分

．

(2)解：由(1)知，?q：m < 4 ∵命题“p∧(?q)”为真命题，所以 p 真且?q 真 ? m ? 1或m ? ?1 ∴? ，解得：m <－1 或 1< m < 4 ?m ? 4 ∴命题“p∧(?q)”为真命题时，实数 m 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，4) 18.椭圆 求椭圆的方程． 【解答】解： ，则 ．由 c =a ﹣b ，得 a =4b ．
2 2 2 2 2

8分 11 分 12 分 ，

【答案】 2 14.若曲线 f ( x) ? x?2 在点(a， a ?2 )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，则 a =

的离心率为

，椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于点 P，Q，且

?

3 4

15.在下面几个关于圆锥曲线命题中 ①方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ②设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，若| PA |－| PB | = k，则动点 P 的轨迹为双曲线； ③过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1， 则∠A1FB1 = 90°；

由

消去 x，得 2y +8y+16﹣b =0．

2

2

x2 y 2 ④双曲线 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切，则 r ? 3 ． 6 3
其中真命题序号为 ①③④
3 2

由根与系数关系，得 y1+y2=﹣4，
2 2 2 2

．
2

|PQ| =（x2﹣x1） +（y2﹣y1） =5（y1﹣y2） =5[（y1+y2） ﹣4y1y2]=10， 2 2 2 即 5[16﹣2（16﹣b ）]=10，解得 b =9，则 a =36 ． 所以椭圆的方程为 19.（本小题满分共 12 分）
2

16.巳知直线:x＋y＋l=0 与曲线 C:：y=:x －3px 相交于点 A，B，且曲线 C 在 A，B 处的切线平行，则实 数 P 的值为______。 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 7 0 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知命题 p：“关于 x 的方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根”；命题 q：“函数 f (x) = x －2(m－2)x + 1 在(1，2)上单调递减”． (1)求命题 p 与命题 q 分别为真命题时相应的实数 m 的取值范围； (2)若命题“p∧(?q)”为真命题，求实数 m 的 取值范围． (1)解：∵方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根方程，∴△ = 4m －4 > 0
2 2 2

．

x 2 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ，曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 。

（Ⅰ）求 a , b 的值；（Ⅱ）讨论 f ( x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值。

? f ' (0) ? 4 【答案】 （1） f (0) ? 4 ， f ( x) ? e (ax ? b) ? ae ? 2 x ? 4 ，故 ? ，解得 a ? b ? 4 ； ? f (0) ? 4
' x x

4

（2） f ( x) ? e (4 x ? 4) ? x ? 4 x ， f ( x) ? e (4 x ? 4) ? 4e ? 2 x ? 4 ? ( x ? 2)(4e ? 2) ；令 x ? 0 ，所
x 2 ' x x x

以 x ? ?2 或 x ? ln

1 ? ? ln 2 ，所以当 x 变化时， f ' ( x) 、 f ( x) 变化如下表所示： 2

x
f ( x)
f ( x)
'

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 极大值

(?2, ? ln 2)
单调递减

? ln 2
0 极小值

(? ln 2, ??)
+ 单调递增

???? ???? 2m2 ? 9 m2 ? 8k 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 2? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ????? ???? ? ∴ ?2 ≤ OM ? ON ? 2 当直线 MN 的斜率不存在时，设 M(x1，y1)，则 N(x1，－y1) y2 1 ? ? ? x12 ? 2 y12 则 kOM kON ? ? 1 x12 2
x2 y 2 又 1 ? 1 ? 1 ，∴ y12 ? 2 8 4 ????? ???? ? OM ? ON ? x12 ? y12 ? y12 ? 2 ????? ???? ? ∴ OM ? ON 的最大值为 2
21. 设函数 f ( x) ? a ln x ?

8分 9分 10 分

12 分

4 所以极大值 f (?2) ? 4 ? 2 . e
20.己知曲线 x2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A、B 两点，动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦，且直线 OM、ON 的斜率之积为 ?

1 ． 2

x ?1 , 其中 a为常数 . x ?1

（1） 若 a ? 0 ，求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程； （2）讨论函数 f ( x) 的单调性.

????? ???? ? 1 ．求 OM ? ON 的最大值； 2

(1)解：在方程 x2 ? ? y ? 8 中令 y = 0 得： x ? ?2 2 ∴A( ?2 2 ，0)，B( 2 2 ，0) y y 1 设 P(x，y)，则 k AP kBP ? ? ?? 2 x?2 2 x?2 2 2 2 x y 整理得： ? ?1 8 4 x2 y 2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? ? 1 (y≠0) 8 4 (2)解：设直线 MN 的方程为：y = kx + m，M(x1，y1)，N(x2，y2) ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得： (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ? ? 1 ? 4 ?8 ∴ x1 ? x2 ? ? 2分

4分

5分

4km 2m2 ? 8 ， x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
6分

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ?
∵ kOM kON 即

2m2 ? 8 ?4km m2 ? 8k 2 2 ? km ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y y 1 1 ，∴ 1 ? 2 ? ? ?? x1 x2 2 2

m2 ? 8k 2 1 2m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 4k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

7分
5

1 ? ( x ? 1) 2 f ' ( x) ? 2 ? 0 ，函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减， x( x ? 1) 2

?

e4 【答案】 （Ⅰ） a ? 2 ； （Ⅱ） a ? ． 2
试题解析： （Ⅰ）f ?(x)＝ 2 －e ，所以 f ?(0)＝a－1， cos x
x

a

又 f (0)＝a－1，所以 a－1＝

a－4
x

，解得 a＝2． 0－2

?4 分

e （Ⅱ）由 f (x)≥0 得 a≥ ， tan x＋1 令 g (x )＝ e e tan x(1－tan x) ，则 g ?(x)＝ ， 2 tan x＋1 ( tan x＋1)
x x

x∈(0，

π π π )，g ?(x)＞0；x∈( ， )，g ?(x)＜0， 4 4 2

π e 4 π 所以 g (x)的最大值为 g ( )＝ ， 4 2 π e 4 故 所 求 a 的取值范围是 a≥ ． 2

?10 分

22.已知函数 f(x)=a(tan x+l)-e ． (I)若 f(x)在 x=0 处的切线经过点(2，3)，求 a 的值； ’ ( II)x∈（0，

x

? ）时，f(x)≥0，求 a 的取值范围． 2
6