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湖北省枣阳市白水高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文(扫描版)



2016 春季枣阳市白水高中期中考试 高二数学(文科)
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: 1.钱大姐常说“便宜无好货” ,她这句话的意思是: “好货”是“不便宜”的( )

(A) ( ? 1,1] 7. 直线 l: y=k (x﹣ A.( 0,π ) ) 8. 双曲线 C:

(B) (0,1]
2 2



(C .)[1,+∞)

(D) (0,+∞) ) ,

) 与曲线 x ﹣y =1 (x>0) 相交于 A、 B 两点, 则直线 l 倾斜角的取值范围是 ( B. ( , )∪( , ) C.[0, )∪( ,π ) D. (

y2 x2 ? ? 1 (a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, a2 b2

A.充分条件
2 2

B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A, 若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 则双曲线 C 的离心率 为( )

2.已知双曲线 C :

x y 5 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ,则双曲线 C 的方程为( ) 2 a b 4
B.

A. 2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3


A.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9
)

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ?

3.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在区间(-1,1)上(

(D) ?1, ?? ?
2

A.有最大值,但无最小值 C.无最大值,但有最小值
4.下列命题中,真命题是 ( )

B.有最大值,也有最小值 D.既无最大值,也无最小值

2 10.设曲线 y ? a ? 1 sin x ( a ? R )上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) , 则函数 y ? x g ( x) 的部分 图象可以为( )

A. ?x0 ? R , e

x0

? 0;

B. ?x ? R , 2 x ? x 2 ;

C.“ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充要条件;

D.设 a , b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是 “ a // b ”的充要条件

A 11.已知 F1,F2 是椭圆 C:

B

C

D

5.已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下列四个图象中,y=f(x) 的图象大致是( )

X2 Y2 + = 1 的左,右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且到左焦点 F1 的距离为 6, 9 25

过 F1 做 ?F 1PF 2 的角平分线的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C.3 D.4

12. 已 知函数 f ( x) ? ln 的最小值为( A. ? ln 2 6.函数 y= )

x 1 ? , g ( x) ? e x ? 2 , 对于 ?m ? R, ?n ? ? 0, ??? 使得 g (m) ? f (n) 成立, 则n?m 2 2
B. ln 2 C. 2 e ? 3
2 D. e ? 3

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为( 2


1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ,则 p ?
2

19.(本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 。 . . (Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)求 f ( x) 的极大值。

14.若曲线 f ( x) ? x?2 在点(a, a ?2 )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 a = 15.在下面几个关于圆锥曲线命题中 ①方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ②设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若| PA |-| PB | = k,则动点 P 的轨迹为双曲线;

20. (本小题满分共 12 分) 己知曲线 x2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A、B 两点,动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦,且直线 OM、ON 的斜率之积为 ?

③过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1, 则∠A1FB1 = 90°; ④双曲线

1 . 2

x y ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ? 3 . 6 3

2

2

????? ???? ? 1 .求 OM ? ON 的最大值; 2

其中真命题序号为 16.巳知直线:x+y+l=0 与曲线 C::y=:x -3px 相交于点 A,B,且曲线 C 在 A,B 处的切线平行,则实 21. (本小题满分共 12 分) 数 P 的值为______。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分共 12 分) 已知命题 p:“关于 x 的方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根”;命题 q:“函数 f (x) = x -2(m-2)x + 1 在(1,2)上单调递减”. (1)求命题 p 与命题 q 分别为真命题时相应的实数 m 的取值范围; (2)若命题“p∧(?q)”为真命题,求实数 m 的取值范围. 22. (本小题满分共 10 分) 1 8. (本小题满分共 12 分) 椭圆 求椭圆的方程. 的离心率为 ,椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于点 P,Q,且 , 已知函数 f(x)=a(tan x+l)-e . (1)若 f(x)在 x=0 处的切线经过点(2,3),求 a 的值; (2)x∈(0,
x 2 2 3 2

设函数 f ( x) ? a ln x ?

x ?1 , 其中 a为常数 . x ?1

(1)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性.

? )时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 2

2

7. 直线 l: y=k (x﹣ 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给 出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.钱大姐常说“便宜无好货” ,她这句话的意思是: “好货”是“不便宜”的( ) 【答案】A A.( 0,π ) 8. 双曲线 C:

) 与曲线 x ﹣y =1 (x>0) 相交于 A、 B 两点, 则直线 l 倾斜角的取值范围是 ( B ) , )∪( , ) C.[0, )∪( ,π ) D. ( , )

2

2

B. (

y2 x2 ? ? 1 (a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, a2 b2

设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A,若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率 为( )C

A.充分条件

B.必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

x2 y 2 5 2.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? ,则双曲线 C 的方程为( B ) a b 4
A.

A. 2

B. 1 ? 2

C .1 ? 3

D. 2 ? 3
)D

9.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ?

x2 y2 ? ?1 4 3
3

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

C. )D

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

(D) ?1, ?? ?
2

3.函数 f ( x) ? x ? 3x 在区间(-1,1)上(

2 10.设曲线 y ? a ? 1 sin x ( a ? R )上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) , 则函数 y ? x g ( x) 的部分 图象可以为( )B

A.有最大值,但无最小值 C.无最大值,但有最小值
4.下列命题中,真命题是 (

B.有最大值,也有最小值 D.既无最大值,也无最小值
)D

A. ?x0 ? R , e

x0

? 0;

B. ?x ? R , 2 x ? x 2 ; C.“ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充要条件;
A B C D

D.设 a , b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是 “ a // b ”的充要条件
5.已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数,下列四个图象中,y=f(x) 的图象大致是( )

11.已知 F1,F2 是椭圆 C:

X2 Y2 + = 1 的左,右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且到左焦点 F1 的距离为 6, 9 25
( )A D.4

过 F1 做 ?F 1PF 2 的角平分线的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为 A. 1 B. 2 C.3

12. 已 知函数 f ( x) ? ln 的最小值为( A. ? ln 2 C. 6.函数 y= )B

x 1 ? , g ( x) ? e x ? 2 , 对于 ?m ? R, ?n ? ? 0, ??? 使得 g (m) ? f (n) 成立, 则n?m 2 2
B. ln 2 C. 2 e ? 3
2 D. e ? 3

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为( 2
(B) (0,1]

) 【答案】B (C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

(A) ( ? 1,1]

3

解得:m > 1 或 m <-1 ∴命题 p 为真时,实数 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞) 又∵函数 f (x) = x -2(m-2)x + 1 在(1,2)上单调递减, 且函数 f (x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程是:x = m-2 ∴m-2≥2,解得:m≥4 ∴命题 q 为真时,实数 m 的取值范围为[4,+∞) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ,则 p ?
2
2

2分 3分

5分 6分



(2)解:由(1)知,?q:m < 4 ∵命题“p∧(?q)”为真命题,所以 p 真且?q 真 ? m ? 1或m ? ?1 ∴? ,解得:m <-1 或 1< m < 4 ?m ? 4 ∴命题“p∧(?q)”为真命题时,实数 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,4) 18.椭圆 求椭圆的方程. 【解答】解: ,则 .由 c =a ﹣b ,得 a =4b .
2 2 2 2 2

8分 11 分 12 分 ,

【答案】 2 14.若曲线 f ( x) ? x?2 在点(a, a ?2 )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 a =

的离心率为

,椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于点 P,Q,且

?

3 4

15.在下面几个关于圆锥曲线命题中 ①方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ②设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若| PA |-| PB | = k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ③过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线的准线上的射影分别为 A1、B1, 则∠A1FB1 = 90°;



消去 x,得 2y +8y+16﹣b =0.

2

2

x2 y 2 ④双曲线 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ? 3 . 6 3
其中真命题序号为 ①③④
3 2

由根与系数关系,得 y1+y2=﹣4,
2 2 2 2


2

|PQ| =(x2﹣x1) +(y2﹣y1) =5(y1﹣y2) =5[(y1+y2) ﹣4y1y2]=10, 2 2 2 即 5[16﹣2(16﹣b )]=10,解得 b =9,则 a =36 . 所以椭圆的方程为 19.(本小题满分共 12 分)
2

16.巳知直线:x+y+l=0 与曲线 C::y=:x -3px 相交于点 A,B,且曲线 C 在 A,B 处的切线平行,则实 数 P 的值为______。 1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 7 0 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知命题 p:“关于 x 的方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根”;命题 q:“函数 f (x) = x -2(m-2)x + 1 在(1,2)上单调递减”. (1)求命题 p 与命题 q 分别为真命题时相应的实数 m 的取值范围; (2)若命题“p∧(?q)”为真命题,求实数 m 的 取值范围. (1)解:∵方程 x + 2mx + 1 = 0 有两个不相等的实根方程,∴△ = 4m -4 > 0
2 2 2



x 2 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 。

(Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值。

? f ' (0) ? 4 【答案】 (1) f (0) ? 4 , f ( x) ? e (ax ? b) ? ae ? 2 x ? 4 ,故 ? ,解得 a ? b ? 4 ; ? f (0) ? 4
' x x

4

(2) f ( x) ? e (4 x ? 4) ? x ? 4 x , f ( x) ? e (4 x ? 4) ? 4e ? 2 x ? 4 ? ( x ? 2)(4e ? 2) ;令 x ? 0 ,所
x 2 ' x x x

以 x ? ?2 或 x ? ln

1 ? ? ln 2 ,所以当 x 变化时, f ' ( x) 、 f ( x) 变化如下表所示: 2

x
f ( x)
f ( x)
'

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 极大值

(?2, ? ln 2)
单调递减

? ln 2
0 极小值

(? ln 2, ??)
+ 单调递增

???? ???? 2m2 ? 9 m2 ? 8k 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 2? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ????? ???? ? ∴ ?2 ≤ OM ? ON ? 2 当直线 MN 的斜率不存在时,设 M(x1,y1),则 N(x1,-y1) y2 1 ? ? ? x12 ? 2 y12 则 kOM kON ? ? 1 x12 2
x2 y 2 又 1 ? 1 ? 1 ,∴ y12 ? 2 8 4 ????? ???? ? OM ? ON ? x12 ? y12 ? y12 ? 2 ????? ???? ? ∴ OM ? ON 的最大值为 2
21. 设函数 f ( x) ? a ln x ?

8分 9分 10 分

12 分

4 所以极大值 f (?2) ? 4 ? 2 . e
20.己知曲线 x2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A、B 两点,动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦,且直线 OM、ON 的斜率之积为 ?

1 . 2

x ?1 , 其中 a为常数 . x ?1

(1) 若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性.

????? ???? ? 1 .求 OM ? ON 的最大值; 2

(1)解:在方程 x2 ? ? y ? 8 中令 y = 0 得: x ? ?2 2 ∴A( ?2 2 ,0),B( 2 2 ,0) y y 1 设 P(x,y),则 k AP kBP ? ? ?? 2 x?2 2 x?2 2 2 2 x y 整理得: ? ?1 8 4 x2 y 2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? ? 1 (y≠0) 8 4 (2)解:设直线 MN 的方程为:y = kx + m,M(x1,y1),N(x2,y2) ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ? ? 1 ? 4 ?8 ∴ x1 ? x2 ? ? 2分

4分

5分

4km 2m2 ? 8 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
6分

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ?
∵ kOM kON 即

2m2 ? 8 ?4km m2 ? 8k 2 2 ? km ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y y 1 1 ,∴ 1 ? 2 ? ? ?? x1 x2 2 2

m2 ? 8k 2 1 2m2 ? 8 ? ? ? ? m2 ? 4k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

7分
5

1 ? ( x ? 1) 2 f ' ( x) ? 2 ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x( x ? 1) 2

?

e4 【答案】 (Ⅰ) a ? 2 ; (Ⅱ) a ? . 2
试题解析: (Ⅰ)f ?(x)= 2 -e ,所以 f ?(0)=a-1, cos x
x

a

又 f (0)=a-1,所以 a-1=

a-4
x

,解得 a=2. 0-2

?4 分

e (Ⅱ)由 f (x)≥0 得 a≥ , tan x+1 令 g (x )= e e tan x(1-tan x) ,则 g ?(x)= , 2 tan x+1 ( tan x+1)
x x

x∈(0,

π π π ),g ?(x)>0;x∈( , ),g ?(x)<0, 4 4 2

π e 4 π 所以 g (x)的最大值为 g ( )= , 4 2 π e 4 故 所 求 a 的取值范围是 a≥ . 2

?10 分

22.已知函数 f(x)=a(tan x+l)-e . (I)若 f(x)在 x=0 处的切线经过点(2,3),求 a 的值; ’ ( II)x∈(0,

x

? )时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 2
6



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