9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高一数学 >>

1.2集合间的基本关系



2 集合间的关系
一、学习目标
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确判断.2.了解 Venn 图的含义,会用 Venn 图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质. ? 知识链接

1.已知任意两个实数 a,b,如果满足 a≥b,b≥a,则它们的大小关系是 a=b. 2.若实数 x 满足 x>1,如何在数轴上表示呢?x≥1 时呢? 3.方程 ax2-(a+1)x+1=0 的根一定有两个吗?

二、知识梳理
1.Venn 图 (1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图,这种表 示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围:元素个数较少的集合. (3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部. 2.子集的概念 文字语言 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 就说这两个集合有包含关 系,称集合 A 是集合 B 的子集 符号语言 A?B(或 B?A) 图形语言

3.集合相等与真子集的概念 定义 集合 相等 真子 集 4.空集 (1)定义:不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为:?. (3)规定:空集是任何集合的子集. 5.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A. 如果 A?B 且 B?A, 就说集合 A 与 B 相等 如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x?A,称集合 A 是 B 的 真子集 A?B(或 B?A) 符号表示 A=B 图形表示

(2)对于集合 A,B,C,如果 A?B,且 B?C,那么 A?C.

三、典型例题
知识点一 有限集合的子集确定问题 例 1 写出集合 A={1,2,3}的所有子集和真子集. 解 由 0 个元素构成的子集:?; 由 1 个元素构成的子集:{1},{2},{3}; 由 2 个元素构成的子集:{1,2},{1,3},{2,3}; 由 3 个元素构成的子集:{1,2,3}. 由此得集合 A 的所有子集为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 在上述子集中,除去集合 A 本身,即{1,2,3},剩下的都是 A 的真子集. 规律方法 1.求解有限集合的子集问题,关键有三点: (1)确定所求集合; (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出; (3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 2.一般地,若集合 A 中有 n 个元素,则其子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个. 跟踪演练 1 已知集合 M 满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合 M 及其个数. 解 当 M 中含有两个元素时,M 为{2,3}; 当 M 中含有三个元素时,M 为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当 M 中含有四个元素时,M 为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当 M 中含有五个元素时,M 为{2,3,1,4,5}; 所以满足条件的集合 M 为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}, {2,3,1,4,5},集合 M 的个数为 8. 知识点二 集合间关系的判定 例 2 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 解 (1)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包含关 系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A?B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可知 A?B.

(4)由列举法知 M={1,3,5,7,?},N={3,5,7,9,?},故 N?M. 规律方法 对于连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的一种图示

法.注意在数轴上,若端点值是集合的元素,则用实心点表示;若端点值不是集合的元素, 则用空心点表示. 跟踪演练 2 集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|2x+7>0},试判断集合 A 和 B 的关系. 7? ? 解 A={-3,2},B=?x|x>-2?.
? ?

7 7 ∵-3>- ,2>- , 2 2 ∴-3∈B,2∈B∴A?B 又 0∈B,但 0?A,∴A?B. 知识点三 由集合间的关系求参数范围问题 例 3 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A,求实数 m 的取值范 围. 解 ∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1, ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1, 解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}. 规律方法 1.(1)分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法,将 各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 跟踪演练 3 已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 B?A,求 a 的取值范围. 解 (1)若 A?B,由图可知 a>2.

(2)若 B?A,由图可知 1≤a≤2.

四、课堂练习
1.集合 A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( A.4B.7C.8D.16 答案 B 解析 可知 A={0,1,2},其真子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},即共有 23 -1=7(个). 2.设集合 M={x|x>-2},则下列选项正确的是( A.{0}?MB.{0}∈MC.?∈MD.0?M 答案 A 解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系,符号错误;选项 D 中是元素与集合之间的关系, 符号错误. 3.已知 M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示 M,N 之间关系的 Venn 图是( ) ) )

答案 C 解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴N?M. 4.已知集合 A={2,9},集合 B={1-m,9},且 A=B,则实数 m=________. 答案 -1 解析 ∵A=B,∴1-m=2,∴m=-1. 5.已知??{x|x2-x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 a≤ 4 解析 ∵??{x|x2-x+a=0}. ∴{x|x2-x+a=0}≠?. 即 x2-x+a=0 有实根. 1 ∴Δ=(-1)2-4a≥0,得 a≤ . 4

1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A,能推出 x∈B,这是判断 A?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A、B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x∈B,但 x?A. 2.集合子集的个数

求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合 的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n- 2 个非空真子集.

五、巩固训练
1.下列命题中,正确的有( ①空集是任何集合的真子集; ②若 A?B,B?C,则 A?C; ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集; ④如果不属于 B 的元素也不属于 A,则 A?B. A.①②B.②③C.②④D.③④ 答案 C 解析 ①空集只是空集的子集而非真子集,故①错;②真子集具有传递性,故②正确;③若 一个集合是空集,则没有真子集,故③错;④由 Venn 图易知④正确. 2.已知集合 A?{0,1,2},且集合 A 中至少含有一个偶数,则这样的集合 A 的个数为( A.6B.5C.4D.3 答案 A 解析 集合{0,1,2}的子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶 数的集合有 6 个. 3.设集合 P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2},则 P 与 Q 的关系是( A.P?QB.P?Q C.P=QD.以上都不对 答案 D 解析 集合 P 是指函数 y=x2 的自变量 x 的取值范围,集合 Q 是指所有二次函数 y=x2 图象 上的点,故 P,Q 不存在谁包含谁的关系. 4.已知集合 A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 满足( A.a<4B.a≤4C.a>4D.a≥4 答案 D 解析 由 A?B,结合数轴,得 a≥4. 5.集合{-1,0,1}共有________个子集. 答案 8 解析 由于集合中有 3 个元素,故该集合有 23=8 个子集. 6.设集合 M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若 N?M,则实数 m 的 取 值 集 合 为 ________. ) ) ) )

1 答案 {-2,0, }. 3 1 1 1 解析 集合 M={3,- }.若 N?M,则 N={3}或{- }或?.于是当 N={3}时,m= ;当 N 2 2 3 1 1 ={- }时,m=-2;当 N=?时,m=0.所以 m 的取值集合为{-2,0, }. 2 3 7.已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, ∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A 的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}, {(0,2),(1,1),(2,0)}. 8.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取值 是( )

A.1B.-1 C.0,1D.-1,0,1 答案 D 解析 因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax2+2x+a=0(a∈R) 仅有一个根. (1)当 a=0 时, 方程化为 2x=0,此时 A={0},符合题意. (2)当 a≠0 时, 由 Δ=22-4· a· a=0,即 a2=1, ∴a=± 1. 此时 A={-1},或 A={1},符合题意. ∴a=0 或 a=± 1. k k ? ? ? ? 9.已知集合 A=?x|x=3,k∈Z?,B=?x|x=6,k∈Z?,则(
? ? ? ?

)

A.A?BB.B?A C.A=BD.A 与 B 关系不确定 答案 A k m m 1 解析 对 B 集合中,x= ,k∈Z,当 k=2m 时,x= ,m∈Z;当 k=2m-1 时,x= - , 6 3 3 6 m∈Z,故按子集的定义,必有 A?B. 10.设集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 A?B,则实数 a 的值为________. 答案 -1 或 2 解析 A?B,则 a2-a+1=3 或 a2-a+1=a,解得 a=2 或 a=-1 或 a=1,结合集合元素

的互异性,可确定 a=-1 或 a=2. 11.已有集合 A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且 B?A,求实数 m 的集合. 解 由 x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3. ∴集合 A={1,3}. (1)当 B=?时,此时 m=0,满足 B?A.
?3? (2)当 B≠?时,则 m≠0,B={x|mx-3=0}=?m?. ? ?

3 3 ∵B?A,∴ =1 或 =3,解得 m=3 或 m=1. m m 综上可知,所求实数 m 的集合为{0,1,3}. 12.已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B?A,求实数 a 的取值范围.

解 当 B=?时,只需 2a>a+3, 即 a>3. 当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得
?a+3≥2a, ?a+3≥2a, ? ? ? 或? 解得 a<-4 或 2<a≤3. ?a+3<-1 ? ? ?2a>4.

综上,实数 a 的取值范围为{a|a<-4 或 a>2}. 13.若集合 A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求 a 的取值范围. 解 ①当 A 无真子集时,A=?, 即方程 ax2+2x+1=0 无实根,
? ?a≠0, 所以? 所以 a>1. ?Δ=4-4a<0, ?

②当 A 只有一个真子集时,A 为单元素集,这时有两种情况: 1 当 a=0 时,方程化为 2x+1=0,解得 x=- ; 2 当 a≠0 时,由 Δ=4-4a=0,解得 a=1. 综上,当集合 A 至多有一个真子集时, a 的取值范围是 a=0 或 a≥1.



更多相关文章:
§1.1.2__集合间的基本关系教案
§1.1.2__集合间的基本关系教案_数学_高中教育_教育专区。§1.1.2 集合间的基本关系 一、教学目标 1.知识与技能 (1)理解集合的包含和相等的关系. (2)...
高中数学必修1——1.1.2集合间的基本关系
集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何...
1.2集合间的基本关系
1.2集合间的基本关系_数学_高中教育_教育专区。1.1.2 集合间的基本关系 整体设计 教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、 有理数的集合等)出发,通过...
1.2集合间的基本关系及运算
1.2 集合间的基本关系及运算【知识要点】 1、 子集: 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素, 那么集合 A 称为集合 B 的子集, 记作 A ? B 或...
《1.1.2集合间的基本关系》教案
《1.1.2集合间的基本关系》教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《1.1.2 集合间的基本关系》教案 一、教学目标 1.知识与技能 (1)理解集合的包含和相等...
1.2集合间的基本关系
1.2集合间的基本关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.2 集合间的基本关系一、教学目标 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的...
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合间的基本关系_金融/投资_经管营销_专业资料。1.1.2 集合间的基本关系 题组一: 观察下列几个例子,判断两个集合之间的关系 (1) A ? {1, 2,3...
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系 (一)教学目标 1.了解集合与集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 2.理解子集、真子集、空集的含义。 3.能使用 ...
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合间的基本关系_数学_高中教育_教育专区。课时教学设计首页 授课人:课题课时教学目标 (三维) 集合间的基本关系 课型 新授课 第几 课时 一课时 知识与...
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合间的基本关系_数学_高中教育_教育专区。备课人: 时间 : 必修 1 第一章 教学内容分析 1.集合语言是现代数学的基本语言,高中数学将其作为一种语言...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图