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课改区2010届高三上学期第九次检测(数学理)



高三上学期理科数学单元测试(9)
[新课标人教版] 命题范围 解析几何(必修 2 第三、四章、选修 2-1 第二章)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题和 答题卡一并收回。 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.已知椭圆的离心率为

1 ,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为 2





x2 y 2 ? ?1 A. 36 27

x2 y2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 36

x2 y 2 ? ?1 D. 27 36

2.当 a 为任意实数时,直线 (2a ? 3) x ? y ? 4a ? 2 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的标 准方程是 (
2



1 x 2 1 2 2 C. y ? 32x 或 x ? ? y 2
2 A. x ? 32 y 或 y ? ?

1 x 2 1 2 2 D. y ? ?32x 或 x ? y 2
2 B. x ? ?32y 或 y ?
2

3.设双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线与直线 x=

2 围成的三角形区域(包含边界)为 E,P(x,y) 2
( )

为该区域内的一个动点,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的取值范围为

A.[ 0,

2 ] 2

B.[

2 3 2 , ] 2 2

C.[

2 5 2 , ] 2 2

D. [ 0,

5 2 ] 2

w.w.w.k.s .5.u. c.o.m

4.短轴长为 2,离心率 e=3 的双曲线两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交双曲线于 A、B 两点, 且|AB|=8,则△ABF2 的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 5.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

-1-

6.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 7.已知抛物线 x ?

( D.第四象限



2 2 x2 y2 m ??( 0 ? =1 有一个相同的焦点,则动点 (m, n) 的轨 y (? nx n)与椭圆 ? 0) m 9 n
( )

迹是 A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分 8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面为正方 形,侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直,M 为底面内的一个动点,且满 足 MP=MC,则动点 M 的轨迹为 ( ) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
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9.若直线 mx- ny = 4 与⊙O: x2+y2= 4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 交点个数是 A.至多为 1
2 2

x2 y 2 ? ? 1的 9 4
( )

B.2

C.1

D.0

10.若双曲线

1 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该 2 4 a b
( C. x ? 3 y ? 0 D. 3x ? y ? 0 ) B. 2 x ? y ? 0

双曲线的渐近线方程是 A. x ? 2 y ? 0

11.过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ ? AB =1,则点 P 的轨迹方程是 A. 3 x ?
2

??? ?

??? ?

???? ??? ?





3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3 x ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2
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C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

12.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过 椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A 、 B 是它的焦点,长轴长 为 2 a ,焦距为 2 c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆 壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A. 4 a B. 2(a ? c) C. 2(a ? c) D.以上答案均有可能

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.点 A(1,2,-3)关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 , 点 A 关于坐标平面 xOy 的对称点 C 的坐标为 , B,C 两点间的距离为 . 14.已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A,B 两点.设
2

FA ? FB ,则

| FA | 的值等于 | FB |



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-2-

15.已知两条直线 l1 : 3x ? 2ay ? 1 ? 0 , l2 : ax ? y ? 2 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a =___

____。

16.已知两个点 M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直 线” ,给出下列直线:① y=x+1; ② y ?

4 x ;③y=2;④y=2x+1.其中为“B 型直线”的 3

是 . (填上所有正确结论的序号) 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分)。

FA 与 17. (12 分) 设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一个动点,
x 轴正方向的夹角为 600,求| OA |的值.

??? ?

??? ?

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18. (12 分)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

19. (12 分) 双曲线的中心为原点 O , 焦点在 x 轴上, 两条渐近线分别为 l1,l2 , 经过右焦点 F

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? FA 同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

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(Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

-3-

20.(09 广东 19)(12 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭 2

圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12. 圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆 心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程
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(2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

21.(12 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.
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22. (09 山东理 22)(14 分)

x2 y 2 设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点. a b
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理 由。

??? ?

??? ?

-4-

参考答案
一、选择题 1.A;解析:已知椭圆的离心率为

1 2 ,焦点是(-3,0),(3,0),则 c=3,a=6, b ? 36 ? 9 ? 27 , 2

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,选 A. 36 27

2.C;解析:将直线方程化为 (2 x ? 4)a ? 3x ? y ? 2 ? 0 ,可得定点 P(2,-8) ,再设抛物线 方程即可; 3.D;解析:双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线为: x ? y ? 0 ,渐近线 x ? y ? 0 与直线 x=

2 2

的交点坐标分别为(

2 2 2 2 , )和( ,).利用角点代入法得 z ? 3x ? 2 y 的取值范围 2 2 2 2

为[ 0,

5 2 ]. 2
c 2 ? 3 ,∴ c ? 3a ,∴ 9a 2 ? a 2 ? 4 ,∴ a ? , a 2

4.B;解析:由于 b ? 2, e ?

由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|= 2 , |BF2|- |BF1|= 2 , ∴|AF2|+|BF2|- |AB|=2 2 ,∴|AF2|+|BF2|=8+2 2 , 则△ABF2 的周长为 16+2 2 .

3 b2 3 2 3 | F1F2 | ,∴ ? ? 2c 即 a 2 ? c 2 ? ac 5. A;解析:由题 | AF1 |? 3 a 3 3
∴c ?
2

2 3 2 3 3 2 ∴e ? (负值舍去). 故答案选 A. ac ? a 2 ? 0 , e ? 1 ? 0 解之得:e ? 3 3 3
A C x ? ,又 AC<0,BC<0 B B

6.C;解析:∵直线 Ax+By+C=0 化为 y ? ? ∴ AB>0,∴ ?

A C ? 0, ? ? 0 ,直线过一、二、四象限,不过第三象限.故答案选 C. B B 2 2 m m m ??( 0 7.C;解析:由 x ? ,其焦点为 ( ,0) ( m ? 0 ), y (? nx n)得 ? 0) y 2 ? nx?x (n ? 0) m 2 8
因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点,所以椭圆

m x2 y2 ? =1 的一个焦点为( ,0), 8 9 n

-5-

∴ 9 ? n ? (?

m 2 ) ,得 m2 ? ?64(n ? 9) . ( m ? 0 , 0 ? n ? 9 ) 8

8.D;解析:由 MP=MC , 知 M 在 PC 的垂直平分面内,又 M∈面 ABCD ∴M 在两平面的交线上.故答案选 D. 9.B;解析:由题意

4 m ?n
2 2

>2 即 m2+n2<4,点(m,n)在以原点为圆心,2 为半径的圆内,

与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点个数为 2,故答案选 B. 9 4

10.C;解析:对于双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离因为 b , a 2 b2 b 1 1 3 ? ,因此 b ? c, a ? c 2 ? b 2 ? 而 c, 2c 4 2 2 b 3 ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . ? ? a 3
由 BP ? 2 PA

11.D;解析:设 P(x,y),则 Q (-x,y),

??? ??? ? ? 33 3 x, 0 ),B(0,3y), ∴ AB AB ?? ( -( x,3 x,3 y )y ) . 2 22 ???? ??? ? 3 从而由 OQ ? AB =(-x,y)·(- x ,3y)=1. 2 3 2 2 得 x ? 3 y ? 1 其中 x>0,y>0,故答案选 D. 2 12.D;解析:⑴静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁右顶点 反弹后第一次回到点 A 时, 小球经过的路程是 2(a ? c) , 则选 B; ⑵静放在点 A 的小球 (小 球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经 过的路程是 2(a ? c) ,则选 C;⑶静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出 发,经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 4 a ,则选 A.

??? ?

??? ?

? ∴A(

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

由于三种情况均有可能,故选 D. 二、填空题: 13. (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析:过 A 作 AM⊥xOy 交平面于 M,并延长到 C,使 CM=AM, 则 A 与 C'关于坐标平面 xOy 对称且 C(1,2,3). 过 A 作 AN⊥x 轴于 N,并延长到点 B,使 NB=AN,则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1,-2,3). ∴A(1,2,-3)关于 x 轴对称的点 B(1,-2,3 ). 又 A(1,2,-3)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1,2,3);
2 2 2 ∴|BC|= (1 ? 1) ? ( ?2 ? 2) ? (3 ? 3) =4.
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14 .

3

解 析 : 由 题 意 知 , 直 线 的 方 程 为 y ? 3( x ? 1) , 与 抛 物 线 C :y ? 4 x 联 立 得
2

3x 2 ? 10x ? 3 ? 0 , 求得交点的横坐标为 x ? 3 或 x ?
定义得 | FA |? 4, | FB |?

1 ,∵ FA ? FB ,又根据抛物线的 3

4 | FA | ,∴ =3. 3 | FB |

-6-

15. 0

解析:当 a ? 0 时, l1 : 3x ? 1 ? 0 , l2 : ? y ? 2 ? 0 , l1 ? l2 .

当 a ? 0 时, k1 ? ?

3 3 ? a ? ?1 ,上式显然不成立. , k2 ? a ,若 l1 ? l2 .则 k1 ? k 2 ? ? 2a 2a

∴若 l1 ? l2 ,则 a =0. 16. ①③ 解析: ∵|PM|-|PN|=6 ∴点 P 在以 M、 N 为焦点的双曲线的右支上, 即

x2 y 2 ? ?1 9 16

(x>0),将直线方程与其联立,方程组有解,判断其答案为①③. 三.解答题 17.解:由题意设 A( x ?

P p , 3 x) 代入 y2=2px 得 ( 3 x) 2 ? 2 p( x ? ) 2 2
6分

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

解得 x=p(负值舍去). ∴A(

??? ? 3 3 21 p, 3 p ) ∴ | OA |? ( p)2 ? 3 p 2 ? p 2 2 2

12 分

18.解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直 线 l 的距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (2) 假设存在 A,B 在 y ? 4 x 上,
2

p ? 1, p ? 2 , 2

5分

所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

7分

即 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 4 ( x ? 1 ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4
10 分

即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0)

12 分

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19.解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

2分

得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

-7-

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

6分

a x2 y 2 ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

8分

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ?b? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 4 ? 15 ? 5 ? ?? ? ? ? ?

10 分

x2 y 2 ? ? 1. 故所求的双曲线方程为 36 9
20.解: (1)设椭圆 G 的方程为:

12 分

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则?c , 解得 , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? 3 ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a
x2 y 2 ? ?1. 所求椭圆 G 的方程为: 36 9
(2)点 AK 的坐标为 ? ?K , 2? , SV AK F1F2 ? 6分

w.w.w.k. s.5.u. c. o.m

1 1 ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 . 2 2

8分

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
x2 y2 21.解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

12 分

-8-

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 解得 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a
∴椭圆方程

2分

x2 y2 ? ?1 8 2

4分

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?

1 2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

∴l 的方程为: y ?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0

6分

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

8分

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

10 分

-9-

∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 22. 解:(1)因为椭圆 E:

12 分

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

4分

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 得 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?
2

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
所以 k ?
2

3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 8

? m2 ? 2 8 2 6 2 6 2 所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或m? ? , 3 3 3 ? 3m ? 8
因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r ?

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? , 2 3m ? 8 3 3 1? 8

- 10 -

所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 与椭圆 8 4 3

(

??? ? ??? ? 2 6 2 6 2 6 2 6 或 (? ,? ) ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3 3 3
2 2

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? 点 A,B,且 OA ? OB .

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交 3

??? ?

??? ?

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2
8分

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取“=” . 3 2

所以

② k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3

- 11 -

③当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ), 3 3 3 3

所以此时 | AB |?

4 6 , 3

12 分

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

14 分

- 12 -



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