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2.3.1双曲线及其标准方程 - 副本



2.3双曲线及其标准方程

2.3双曲线及其标准方程

复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

>Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 双曲线
拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)

上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明(1)2a<2c ;(2)2a >0 ;
F1 o

M

F2

思考:
(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a

y
M

F1

O

F2

x


4.化简

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2 a

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ? 2a
2 2 2 2

? ( x ? c) ? y ? ? ?? 2a ?
2 2 2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c ) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c 2 ? a 2 ? b2
x a2
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

2

2

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2 a>c>0

例 1(参考课本 P54 例 1) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足

PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 ? ? 1. 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 ,
PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

变式2答案

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是双曲线
的一支 (右支),
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 9 16

2

2

2

x2 y2 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲线,求m 2? m m ?1

的取值范围.

解: 由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1

∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??)

思考:
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在y轴双曲线时, 方程 2? m m ?1

m ? ?2 则m的取值范围_____________.
?m ? 1 ? 0 ? ?2 ? m ? 0

例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹 爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨 迹方程. 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地 与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为 |AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在 靠近B处的一支上. 如图所示,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并 y 且点O与线段AB的中点重合 P 设爆炸点P的坐标为(x,y),则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 02 x y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

o

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸 点的轨迹是什么?

答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时 间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定爆炸 点的准确位置. 而现实生活中为了安全, 我们最关心的是 炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸点的准确位 置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆 炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方 程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线 的一个重要应用.

思考 3: (2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正北 方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到 了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响 发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各 点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图) 直觉巨响点的位置情况.

P

yC

?

只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确定 巨响点的位置.

A

o

B

x

要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.

解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向 为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点, 则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020). 设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x, 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 的一支上, a b 依题意得 a = 680, c = 1020,? b2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 ? ?1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 ? 340

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5, y ? 680 5, 即P(?680 5,680 5), 故PO ? 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.

学习小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定 义及其标准方程 , 并运用双曲线的定义及 其标准方程解决问题 , 体会双曲线在实际 生活中的一个重要应用 . 其实全球定位系 统就是根据例 2 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考 , 这是一 个相当不错的思考方向.

课本P55——练习1T、2T

、3T

课本P61——习题2.3A组1T、2T.
思考题:已知动圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 36 内 切,且过点 F2 (5, 0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.

x y ? ? 1 ( x ? ?3) 9 16

2

2



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