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2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2第一章 1.6微积分基本定理


1.4.2(一) 1.4.2 【学习要求】 本 课 时 栏 目 开 关 微积分基本定理(一) 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联 系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.4.2(一) 1.微积分基本定理:如果 f(x)在区间[a,b]上可积,并且 本 课 时 栏 目 开 关 b F′(x)=f(x) ,那么 ? ______________ af(x)dx= F(b)-F(a) . 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下 方的面积为 S 下,则(1)当曲边梯形的面积在 b S x 轴上方时,如图(1),则 ? af(x)dx= 上 . 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.4.2(一) b (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则 ? af(x)dx =_______ -S 下 . 本 课 时 栏 目 开 关 (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如 b b 图(3),则 ? ,若 S 上=S 下,则 ? af(x)dx= S 上-S 下 af(x)dx= 0 . 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.4.2(一) 探究点一 问题 1 本 课 时 栏 目 开 关 微积分基本定理 如下图, 一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t)有连续的导数,由导数的概念可知,它 在任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这个物体在时间段 [a,b]内的位移为 s,你能分别用 y(t),v(t)表示 s 吗? 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.4.2(一) 答 通过求定积分的过程和导数的几何意义,可得 b b s=? av(t)dt=? ay′(t)dt=y(b)-y(a). 小结 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x) 本 课 时 栏 目 开 关 b =f(x),那么 ? af(x)dx=F(b)-F(a). 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.4.2(一) 问题2 对一个连续函数f(x)来说,是否存在唯一的 本 课 时 栏 目 开 关 F(x),使F′(x)=f(x)? 答 不唯一,根据导数的性质,若 F′(x)=f(x),则对任 意实数 c,[F(x)+c]′=F′(x)+c′=f(x). 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.4.2(一) 例1 本 课 时 栏 目 开 关 计算下列定积分: 1 21 3 0 x (1)? -π(cos x-e )dx. 1 dx;(2)? 1(2x- 2)dx;(3)? x x 1 解 (1)因为(ln x)′=x , 21 2 所以? 1 dx=ln x|1=ln 2-ln 1=ln 2. x 1 1 2 (2)因为(x )′=2x,( x)′=-x2, 1 3 3 31 所以? (2 x - )d x = ? 2 x d x - ? 1 1 1 2dx x2 x 13 1 22 23 =x |1+x|1=(9-1)+(3-1)= 3 . 0 x 0 0 x (3)? -π(cos x-e )dx=? -πcos xdx-? -πe dx 1 0 x0 =sin x|-π-e |-π=eπ-1. 研一

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