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初高中数学衔接讲义



初高中数学衔接的一些问题和建议

现有初高中数学教材存在以下“脱节” : 1、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 2、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解,对系数不为 1 的涉及不多,而 且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 3、二次根式中对分子、分母有理化初

中不作要求,而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常 用的解题技巧; 4、初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要 内容;配方、作简图、求值域(取值范围) 、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上 的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 5、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类 题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没 有专门讲授,因此也脱节; 6、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 7、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等初中大大淡化,甚至老师根本没有 去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 为了能使各位新高一的同学能更好地适应高中的学习,有个良好的开端,希望各位同学利用暑假做好以 下知识点的衔接学习。预祝大家高中学习顺利! 上海市育才中学高一数学备课组 编于 2012.7.

学习内容目录





数与式的运算 1. 乘法公式 2. 二次根式 3. 分式 4. 分解因式 二次方程与二次不等式 1 一元二次方程 1.1 根的判别式 1.2 根与系数的关系 2 二次函数 2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2 二次函数的三种表达方式 2.3 二次函数的应用 3 方程与不等式 3.1 二元二次方程组的解法



圆 1 2

直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理 点的轨迹

3

四点共圆的性质与判定

过关检测练习
(一) 数与式的运算 1.计算 (1) (3x+2y) (9x2-6xy+4y2)= (2) (a+b) (a2-ab+b2) (a-b) (a2+ab+b2)= 2.利用立方和、立方差公式进行因式分解 1 (1)27m3- n3= 8 6 6 (2) m -n = 3. 计算:
(1) (a ? 2)(a ? 2)(a ? 4a ? 16) =
4 2

(2) ( x ? 2xy ? y )(x ? xy ? y ) =
2 2 2 2 2

4.

化简下列各式: (1) (3)

( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x)2 ? (2 ? x)2 ( x ? 1)
(4)

( a ? b ? 1)(1 ? a ? b ) ? ( a ? b )2

a a ? ab

?

a a ? ab

5. 化简下列各式:
(1)

x 1? x x? 1 x? x

(2)

x 2 ? 3x ? 9 6x x ?1 ? ? 2 2 6 ? 2x x ? 27 9x ? x

(二)因式分解 6.分解下列各多项式:
(1) 3a b ? 81b
3 4

(2) a ? ab
7

6

(3) 2ax ? 10ay ? 5by ? bx (5) 2x ? 4xy ? 2 y ? 8z
2 2 2 2 2 2

(4) ab(c ? d ) ? (a ? b )cd
2 2 2 2

(6) x ? xy ? 6 y
2 2

2

(7) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12

(8) 5x ? 6 xy ? 8 y

2

(三)一元二次方程根与系数的关系
7.已知关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围:
2

(1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根;
2

(2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根.

8.若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x12 ? x22 ; (2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

2 *9.一元二次方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实根,一个比 3 大,一个比 3 小,求 a 的取值范围。

*10. 已知一元二次方程 x ? (a ? 9) x ? a ? 5a ? 6 ? 0 一个根小于 0,另一根大于 2,求 a 的取值范围。
2 2 2

(四)解二元二次方程组
11. 解方程组

?3x 2 ? xy ? 4 y 2 ? 3x ? 4 y ? 0 12. 解方程组 ? x 2 ? y 2 ? 25 ?

(五)二次函数
13.作出以下二次函数的草图 (1) y ? x ? x ? 6 (2) y=-3x2-6x+1 (3) y ? ? x ? 1 ,并求它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或 最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小) .
2 2

14.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

(六)圆
15.如图,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是弧 AB 的中点,求弦 BD 的 长度。

16. 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ,且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径.

17(1). 到定点 P 的距离等于 6cm 的点的轨迹是_____________。 (2). 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 的顶点 C 的轨迹是_____________。 (3). 已知⊙O'与半径是 4cm 的⊙O 外切,且⊙O'的半径为 2cm,则点 O'的轨迹是__________。 (4). 已知动点 P 到直线 l 的距离为 5cm,则点 P 的轨迹是____________。 (5). 到半径为 r 的定圆 O 的切线长等于定长 a 的点的轨迹是___________。



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