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1.4全称量词与存在量词(1)(教学设计)



SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第一单元《常用逻辑用语》

1.4 全称量词与存在量词(1) (教学设计) 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 教学目标: 知识目标: ①通过教学实例,理解全称量词和存在量词的含义; ②能够用全称量词符号表示全称命题,能用存在量词符号表述特称命题; ③会判断全称命题和特称命题的真假; 能力与方法: 通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎,培养学生 的观察能力和概括能力;通过问题的辨析和探究,培养学生良好的学习习惯和反思意识; 情感、态度与价值观: 通过引导学生观察、发现、合作与交流,让学生经历知识的形成过 程,增加直接经验基础,增强学生学习的成功感 ,激发学生学习数学的兴趣. 教学重点:理解全称量词与存在量词的意义. 教学难点:正确地判断全称命题和特称命题的真假. 教学过程: 一、创设情境、新课引入 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742 年, 由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现 的. 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:
( a ) 任何一个大于 6 的偶数都可以表示成两个质数之和. (b) 任何一个大于 9 的奇数都可以表示成三个质数之和.

这就是哥德巴赫猜想. 欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.从此,这道数学难题引起了几乎所有数 学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠” . 中国数学家陈景润于 1966 年证明: “任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常 这个结果表示为 “1+2”这是目前这 个问题的最佳结果. 科学猜想也是命题.哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命 题. 在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词 的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天我们将专门学习和讨论这类问题, 以解心中的郁结。 问题 1:请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一 纸;②一 牛;③一 狗;④一 马;⑤一 人家;⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,又有兼表形象 特征的作用,选用时主要应该讲求形象性,同时要遵从习惯性,并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原 则,就会闹出“一匹牛” “一头狗” “一只鱼”的笑话来。 二、师生互动、讲解新课 所有已知人类语言都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量词是人们相互交往的重要 词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的给予它数学的意境。
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问题 2:下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社 A 版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的 x∈R, x>3; (8)对任意一个 x∈Z,2x+1是整数。 推理、判断(让学生自己表述) (1) 、 (2)不能判断真假,不是命题。 (3) 、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存 在量词” “特称命题” “全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社 A 版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. 命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如 x=2) , x<3. (至少有一个 x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个 x∈Z,使 2x+1不是整数。也可以说命题:存在某个 x∈Z 使 2x+1不是整数,是假命题. 发现、归纳 命题(5)-(8)跟命题(3) 、 (4)有些不同,它们用到 “所有的” “任意一个” 这样的词语,这 些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“?”表示,含有全称量 词的命题,叫做全称命题。命题(5)-(8)都是全称命题。 通常将含有变量 x 的语句用 p(x) ,q(x) ,r(x) ,??表示,变量 x 的取值范围用 M 表示。那么全 称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:?x?M, p(x) ,读做“对任意 x 属于 M, 有 p(x)成立” 。 刚才在判断命题(5)-(8)的真假的时候,我们还得出这样一些命题: , (5)存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社 A 版的教科书; , (6)存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. , (7) 存在一个(个别、某些)实数 x(如 x=2) ,使 x≤3. (至少有一个 x∈R, x≤3) , (8)不存在某个 x∈Z使 2x+1不是整数. 这些命题用到了“存在一个” “至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 , , 存在量词。并用符号“ ? ”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)命题(5) -(8) 都 是特称命题(存在命题) . 特称命题: “存在 M 中一个 x,使 p(x)成立”可以用符号简记为: ?x ? M , p( x) 。读做“存在一个

x 属于 M,使 p(x)成立” .
全称量词相当于日常语言中“凡” , “所有” , “一切” , “任意一个”等;存在量词相当于日常语言中“存 在一个” , “有一个” , “有些” , “至少有一个” , “ 至多有一个”等. 含有量词的命题通常包括特称命题和全称命题两种。 全称命题:其公式为“所有 S 是 P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也 可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有
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智慧的。” 含有全称量词的命题称为全称命题。 特称命题:其公式为“有的 S 是 P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词,如“有 些”、“很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。 问题 3:判断下列命题是全称命题,还是存在性命题? (1)方程 2x=5 只有一解; (2)凡是质数都是奇数; (3)方程 2x2+1=0 有实数根; (4)没有一个无理数不是实数; (5)如果两直线不相交,则这两条直线平行; (6)集合 A∩B 是集合 A 的子集; 分析: (1)存在性命题; (2)全称命题; (3)存在性命题; (4)全称命题; (5)全称命题; (6)全称命题; 全称命题的格式:“对 M 中的所有 x,p(x)”的命题,记为: ?x ? M , p( x) 存在性命题的格式:“存在集合 M 中的元素 x,q(x)”的命题,记为: ?x ? M , q ( x) 注:全称量词就是“任意”,写成上下颠倒过来的大写字母 A,实际上就是英语"any"中的首字母。存在 量词就是“存在”、“有”, 写成左右反过来的大写字母 E, 实际上就是英语"exist"中的首字母。 存在量词的“否” 就是全称量词。 例 1(课本 P22 例 1)判断下列全称命题的真假 (1)所有的素数都是奇数 (2) ? x ? R, x2 ? 1 ? 1 (3)对每一个无理数 x ,x2 也是无理数 略解: (1)假; (2)真; (3)假

例 2(课本 P23 例 2)判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数 x0,使 x02+2x0+3=0 (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。 略解: (1)假; (2)假; (3)真。 变式训练 2:判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x ? x
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(2) ?x ? R, x ? x
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(3) ?x ? Q, x 2 ? 8 ? 0

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0
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分析: (1)真; (2)假; (3)假; (4)真;

例 3:指出下述推理过程的逻辑上的错误: 第一步:设 a=b,则有 a2=ab 第二步:等式两边都减去 b2,得 a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步:等式两边都除以 a-b 得,a+b=b 第五步:由 a=b 代人得,2b=b 第六步:两边都除以 b 得,2=1
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分析:第四步错:因 a-b=0,等式两边不能除以 a-b 第六步错:因 b 可能为 0,两边不能立即除以 b,需讨论。 得:(a+b)(a-b)=b(a-b) ? a+b=b 是存在性命题,不是全称命题,由此得到的结论不可靠。 同理,由 2b=b ? 2=1 是存在性命题,不是全称命题。 变式训练 3:指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假. (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0. (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2. (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|. (4)?x0∈R,使 x2 0+1<0. 解 (1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax>0 (a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π,x1<x2, 但 tan 0=tan π,∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. 2 (4)对任意 x0∈R,x0 +1>0,∴命题(4)是假命题.

例 4:判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向; 分析: (1)全称命题, ? 河流 x∈{中国的河流},河流 x 注入太平洋; (2)存在性命题, ? 0∈R,0 不能作除数; x (3)全称命题, ? x∈R, ? x ; 1 (4)全称命题, ? a , a 有方向; 变式训练 4:给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?, 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题.

?

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甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0, 1 即 a> 或 a<-1. 3 解 1 乙命题为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<- . 2 (1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集, 1 1 ∴a 的取值范围是{a|a<- 或 a> }. 2 3 (2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 甲真乙假时, <a≤1,甲假乙真时,-1≤a<- , 3 2 ∴甲、乙中有且只有一个真命题时 a 的取值范围为 1 1 {a| <a≤1 或-1≤a<- }. 3 2

课堂练习(课本 P23 练习 NO:1,2) 三、课堂小结、巩固反思 要判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为真;要判断一个存 在性命题为假,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为假。 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题 p(x)为真;但要判断一个全称 命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素 x,使命题 p(x)为假。 即全称命题与存在性命题之间有可能转化,它们之间并不是对立的关系。

四、布置作业 A 组: 1、 (课本 P26 习题 1.4A 组 NO:1) (做在书本上) 2、 (课本 P26 习题 1.4A 组 NO:2) (做在书本上) 3.判断下列全称命题的真假,其中真命题为(B) A.所有奇数都是质数 B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
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C.对每个无理数 x,则 x2 也是无理数

D.每个函数

都有反函数 4.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( A ) A. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

B. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

C. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

D. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

5.判断下列命题的真假,其中为真命题的是( D) A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
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B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
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C. ?x ? R, sin x ? tan x

D. ?x ? R, sin x ? tan x

6.下列命题中的假命题是(B ) A.存在实数α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ B 组:
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1.设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 判断正确的是(C) (A)p 为真 (B) ?q 为假

? ? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对称.则下列 2 2
(D) p ? q 为真 (D)若 p 则 ? q

(C) p ? q 为假

2.命题“若 p 则 q”的逆命题是(A) (A)若 q 则 p (B)若 ? p 则 ? q 3.命题“若α =

(C)若 ? q 则 ? p
[中% 国教&*^育 出版(

? ,则 tanα =1”的逆否命题是(C) 4 ? ? ? A.若α ≠ ,则 tanα ≠1 B. 若α = ,则 tanα ≠1 C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 4 4 4 ? = 4
4.设 x ? R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的(A)
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D. 若 tanα ≠1,则α

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是(A) (A) a>b ? 1 (B) a>b ? 1
2 2 (C) a >b

(D) a >b

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6.若 p 是真命题, q 是假命题,则(D) (A) p ? q 是真命题 (B) p ? q 是假命题

(C) ? p 是真命题

(D) ? q 是真命题

7.已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的(B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的 D.既不充分也不必要条件

一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? ,反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件. 答案:B. 8.设 0<x<

π ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 解析:因为 0<x<

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同,可知答案选 2

B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属中 档题 9.设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的 (A)充分而不必要条件 答案:C (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

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