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江苏省无锡市普通高中2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)


2016-2017 学年江苏省无锡市普通高中高三(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.) 1.命题“若 lna>lnb,则 a>b”是 命题(填“真”或“假”) 2.某工厂生产甲、乙、丙、丁 4 类产品共计 1200 件,已知甲、乙、丙、丁 4 类产品的数量之比 为 1:2:4:5,现要用分层抽样在方法从中抽取 60 件,则乙类产品抽取的件数为 . 3.函数 y= + 的定义域为 . .

4.已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B={ },则 A∪B=

5.执行如图所示的流程图,则输出的 M 应为 6.若复数[x-1+(y+1)i](2+i)=0, (x,y∈R) ,则 x+y= 7.已知盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片,从中随机地抽取一张,记下数字 后再放回,再随机地抽取一张,记下数字,则两次抽得的数字之和为 3 的倍数 的概率为 . 8.已知向量 , 满足| |=2,| |=1,| ﹣2 |=2 ,则 与 的夹角为 . 9. y 满足 已知 x, 则实数 a 的值为 . ) ,若 f(α)= ,则 sinα= . , 若 z=3x+y 的最大值为 M, 最小值为 m, 且 M+m=0,

10.已知 f(x)=cos( ﹣

11.若函数 y=

,在区间(﹣2,2)上有两个零点,则实数 a 的范围为 .



12.设数列{an} 的前 n 项和为 Sn,已知 4Sn=2an-n2+7n(n∈N*) ,则 a11= 13.已知正实数 a,b 满足 a+3b=7,则 + 的最小值为 . .

14.已知正实数 x,y 满足 +2y-2=lnx+lny,则 xy=

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知三点 A(1,﹣1) =λ +μ , ,B(3,0) ,C(2,1) ,P 为平面 ABC 上的一点, ? =3. 且 ? =0, (1)求 ? ; (2)求 λ+μ 的值.

16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点.求证: (1)BD1∥平面 EAC; (2)平面 EAC⊥平面 AB1C.

17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 bsinA= (1)求角 B 的值; (2)若 cosAsinC= ,求角 A 的值.

acosB.

18.某工厂第一季度某产品月生产量分别为 10 万件,12 万件,13 万件,为了预测以后每个月的 产量,以这 3 个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y (单位:万件)与月份 x 的 关系.模拟函数 1:y=ax+ +c ;模拟函数 2:y=m?nx+s. (1)已知 4 月份的产量为 13.7 万件, 问选用哪个函数作为模拟函数好?(2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过 15 万件, 请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量.

19.已知数列{an} 为等比数列,等差数列{bn} 的前 n 项和为 Sn (n∈N* ) ,且满足:S13=208, S9﹣S7=41,a1=b2,a3=b3. (1)求数列{an},{bn} 的通项公式; (2)设 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn (n∈N* ) ,求 Tn; (3)设 cn= ,问是否存在正整数 m,使得 cm?cm+1?cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2) .

20.已知函数 f(x)=

,定义域为[0,2π],g(x) 为 f(x) 的导函数.

(1)求方程 g(x)=0 的解集; (2)求函数 g(x) 的最大值与最小值; (3)若函数 F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有 2 个极值点,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年江苏省无锡市普通高中高三(上)期中数学 试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.) 1.命题“若 lna>lnb,则 a>b”是 真 命题(填“真”或“假”) 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由自然对数的定义及性质可以判定 a>b>0 的关系,从而判定命题的真假. 【解答】解:∵lna>lnb,由自然对数的定义及性质可则 a>b>0,所以命题是 真命题. 故答案:真 2.某工厂生产甲、乙、丙、丁 4 类产品共计 1200 件,已知甲、乙、丙、丁 4 类产品的数量之比 为 1:2:4:5,现要用分层抽样在方法从中抽取 60 件,则乙类产品抽取的件数为 10 . 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据甲乙丙丁的数量之比,利用分层抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:∵甲、乙、丙、丁 4 类产品共计 1200 件,已知甲、乙、丙、丁 4 类产品的数量之 比为 1:2:4:5, ∴用分层抽样的方法从中抽取 60,则乙类产品抽取的件数为 60× =10

故答案为:10 3.函数 y= + 的定义域为 [1,2] . 【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】函数 y= + 有意义,只需 x﹣1≥0,且 2﹣x≥0,解不等式即可得到所求定 义域. 【解答】解:函数 y= + 有意义, 只需 x﹣1≥0,且 2﹣x≥0, 解得 1≤x≤2,即定义域为[1,2].故答案为:[1,2]. 4.已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B={ },则 A∪B= {﹣1, ,1}



【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由集合 A 与 B 的交集求出 a,b 的值,再求出集合 A、B 和它们的并集. 【解答】解:由 A∩B={ }得,2a= ? a=﹣1,b= ,∴A={1, ∴A∪B={1,﹣1, }故答案为:{﹣1, ,1}. },B={﹣1, },

5.执行如图所示的流程图,则输出的 M 应为

2

【考点】程序框图.

【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 M,i 的值,当 i=4 不满足条件,退出循环, 输出 M 的值为 2. 【解答】解:由题意,执行程序框图,可得 i=1,满足条件,则 M= =﹣1,i=2,满足条件,则 M= = ,

i=3,满足条件,则 M=

=2,i=4 不满足条件,退出循环,输出 M 的值为 2.故答案为:2

6.若复数[x﹣1+(y+1)i](2+i)=0, (x,y∈R) ,则 x+y= 0 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组,求解即可得答案. 【解答】解:由[x﹣1+(y+1)i](2+i)=0, 得 2x﹣y﹣3+(x+2y+1)i=0, 即 ,解得 .则 x+y=0.故答案为:0.

7.已知盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片,从中随机地抽取一张,记下数字后再放回,再 随机地抽取一张,记下数字,则两次抽得的数字之和为 3 的倍数的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】列举出所有情况,看所求的情况占总情况的多少即可. .

【解答】解:

易得共有 3×3=9 种等可能的结果,两次记下

的数字之和为 2 的有 3 种,所以概率是 .故答案为 .

8.已知向量 , 满足| |=2,| |=1,| ﹣2 |=2 ,则 与 的夹角为 120° . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用向量的运算律将已知等式展开,利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的 平方,求出向量夹角的余弦,求出夹角. 【解答】解:设 与 的夹角为 θ, ∵| |=2,| |=1,| ﹣2 |=2 , ∴| ﹣2 |2=| |2+4| |2﹣4| |?| |cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12, 即 cosθ=﹣ ,∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°,故答案为:120°.

9. y 满足 已知 x,

, 若 z=3x+y 的最大值为 M, 最小值为 m, 且 M+m=0, 则实数 a 的

值为 ﹣1 . 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立 方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值,代入 M=4m 求得实数 a 的值 【解答】解:解:由 x,y 满足 作出可行域如图,

联立

,解得:A(a,a) ,联立

,解得:B(1,1) ,

化目标函数为直线方程斜截式 y=﹣3x+z, 由图可知,当直线过 A(a,a)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 m=4a, 当直线过 B(1,1)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 M=4, 由 M+m=0,得 a+4=0,即 a=﹣1.故答案为:﹣1 10.已知 f(x)=cos( ﹣ ) ,若 f(α)= ,则 sinα= ﹣ .

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值可求 cos 平方后利用同角三角函数基本关系式,二倍角公式可求 sinα 的值. 【解答】解:∵f(x)=cos( ﹣ ) ,若 f(α)= , +sin = ,两边

∴cos(



)=

(cos

+sin

)= ,解得:cos

+sin

=



∴两边平方可得:1+sinα= ,解得:sinα=﹣ . 故答案为:﹣ .

11. 若函数 y=

2) , 在区间 (﹣2, 上有两个零点, 则实数 a 范围为

2+ln2] [0,



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】利用分段函数判断函数的单调性,判断函数的零点,推出实数 a 的范围. 【解答】解:当 x≤0 时,y=x2﹣a≥﹣a,函数是减函数, x>0 时,y=x﹣a+lnx 是增函数,在区间(﹣2,2)上有两个零点, 可知分段函数,两个区间各有一个零点, 可得 ,解得 a∈[0,2+ln2].故答案为:[0,2+ln2].

12.设数列{an} 的前 n 项和为 Sn,已知 4Sn=2an﹣n2+7n(n∈N*) ,则 a11= ﹣2 . 【考点】数列递推式. 【分析】由 4Sn=2an﹣n2+7n(n∈N*)? 4Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1)2+7(n﹣1) ,n≥2,两式相减可 得 an+an﹣1=4﹣n(n≥2) ,进一步整理可得数列{an} 的奇数项是以 3 为首项,﹣1 为公差的等差 数列,从而可得答案. 【解答】解:∵4Sn=2an﹣n2+7n(n∈N*) ,① 2 ∴4Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1) +7(n﹣1) (n≥2,n∈N*) ,② ①﹣②得:4an=2an﹣2an﹣1﹣2n+8,∴an+an﹣1=4﹣n(n≥2) ,③ an+1+an=4﹣(n+1) ,④ ④﹣③得:an+1﹣an﹣1=﹣1.又 4a1=2a1﹣12+7,∴a1=3. ∴数列{an} 的奇数项是以 3 为首项,﹣1 为公差的等差数列, ∴a11=3+(6﹣1)×(﹣1)=﹣2.故答案为:﹣2. 13.已知正实数 a,b 满足 a+3b=7,则 + 的最小值为 .

【考点】基本不等式. 【分析】构造基本不等式的性质即可求解.利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:正实数 a,b,即 a>0,b>0; ∵a+3b=7,∴a+1+3(b+2)=14 则 那么: ( ≥ ∴ + + = ) ( )= 当且仅当 2(a+1)= (b+2)时,即取等号. . ,

的最小值为:

,故答案为:

14.已知正实数 x,y 满足 +2y﹣2=lnx+lny,则 xy= 【考点】对数的运算性质.



【分析】令 f(x)= ﹣lnx﹣2,令 g(y)=lny﹣2y,问题转化为求 f(x)的最小值和 g(y)的 最大值,从而求出对应的 x,y 的值,从而求出 xy 的值即可. 【解答】解:令 f(x)= ﹣lnx﹣2, 则 f′(x)= ,

令 f′(x)>0,解得:x>2,令 f′(x)<0,解得:0<x<2, ∴f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增, ∴f(x)≥f(2)=﹣ln2﹣1,令 g(y)=lny﹣2y, 则 g′(y)= ,令 g′(y)>0,解得:y< ,

令 g′(y)<0,解得:y> , ∴g(y)在(0, )递增,在( ,+∞)递减, ∴g(y)≤g( )=﹣ln2﹣1,∴x=2,y= 时, ﹣lnx﹣2=lny﹣2y, ∴xy= = ,故答案为: .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知三点 A(1,﹣1) =λ +μ , ,B(3,0) ,C(2,1) ,P 为平面 ABC 上的一点, ? =3. 且 ? =0, (1)求 ? ; (2)求 λ+μ 的值. 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】 (1)求出 的坐标,代入向量的坐标运算公式计算数量积;

(2)用 λ,μ 表示出 的坐标,根据向量的数量积公式列方程组求出 λ+μ. 【解答】解: (1) =(2,1) , =(1,2) , =2×1+1×2=4. ∴ (2) =λ +μ =(2λ+μ,λ+2μ) , ∵ ,∴ ,即 ,

两式相加得:9λ+9μ=3,∴λ+μ= .

16.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点.求证: (1)BD1∥平面 EAC; (2)平面 EAC⊥平面 AB1C. 【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的性质. 【分析】 (1)连接 BD,交 AC 于 O.连接 EO,BD1.根据中位线可 知 BD1∥OE,又 OE? 平面 EAC,BD1?平面 EAC,根据线面平行的 判定定理可知 BD1∥平面 EAC; (2)根据 BB1⊥AC,BD⊥AC,BB1∩BD=B,满足线面垂直的判定 定理,则 AC⊥平面 BB1D1D,又 BD1? 平面 BB1D1D 则 BD1⊥AC,同理 BD1⊥AB1,从而 BD1 ⊥平面 AB1C.根据(1)可得 BD1∥OE,从而 EO⊥平面 AB1C,又 EO? 平面 EAC,根据面面 垂直的判定定理可知平面 EAC⊥平面 AB1C. 【解答】证明: (1)连接 BD,交 AC 于 O.连接 EO,BD1. 因为 E 为 DD1 的中点,所以 BD1∥OE.又 OE? 平面 EAC,BD1?平面 EAC, 所以 BD1∥平面 EAC; (2)∵BB1⊥AC,BD⊥AC.BB1∩BD=B,BB1、BD 在面 BB1D1D 内 ∴AC⊥平面 BB1D1D 又 BD1? 平面 BB1D1D∴BD1⊥AC. 同理 BD1⊥AB1,∴BD1⊥平面 AB1C. 由(1)得 BD1∥OE,∴EO⊥平面 AB1C. 又 EO? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 AB1C. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 bsinA= (1)求角 B 的值; (2)若 cosAsinC= 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由已知及正弦定理可得 asinB= 即可得解 B 的值. ,求角 A 的值. acosB.

acosB,可求 tanB=

,结合范围 B∈(0,π) ,

(2)利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin(2A+ 结合 A 的范围,可得 2A+ ∈( , ) ,从而可求 A 的值.

)=﹣ ,

【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (1)∵由正弦定理可得:bsinA=asinB, 又∵bsinA= acosB,∴asinB= acosB,∴tanB= ∵B∈(0,π) ,∴B= (2)∵cosAsinC= ∴cosA( ∵A∈(0, …6 分 ,∴cosAsin( × ∈( , ﹣A)=



, ,∴sin(2A+ = )=﹣ , …14 分

cosA+ sinA)= ) ,可得:2A+

+ sin2A= ) ,∴2A+

,可得:A=

18.某工厂第一季度某产品月生产量分别为 10 万件,12 万件,13 万件,为了预测以后每个月的 产量,以这 3 个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y (单位:万件)与月份 x 的 关系.模拟函数 1:y=ax+ +c ;模拟函数 2:y=m?nx+s. (1)已知 4 月份的产量为 13.7 万件, 问选用哪个函数作为模拟函数好?(2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过 15 万件, 请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)用待定系数法,求出函数的解析式,即可得出结论; (2)确定用模拟函数 2 好,再进行预测即可.

【解答】解: (1)模拟函数 1:y=ax+ +c,

,∴a= ,b=﹣3,c=



∴y=

,∴x=4,y=13.75;

模拟函数 2:y=m?nx+s,

,∴m=﹣8,n= ,s=14,

∴y=14﹣23﹣x,∴x=4,y=13.5,∴用模拟函数 1 好; (2)模拟函数 1:y= ,是单调递增函数,x=12 时,生产量远多于他的最高限量;

模拟函数 2,单调递增,但生产量 y<14,不会超过 15 万件, 所以用模拟函数 2 好,x=6,y=13.875,即预测 6 月份的产量为 13.875 万件. 19.已知数列{an} 为等比数列,等差数列{bn} 的前 n 项和为 Sn (n∈N* ) ,且满足:S13=208, S9﹣S7=41,a1=b2,a3=b3. (1)求数列{an},{bn} 的通项公式; (2)设 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn (n∈N* ) ,求 Tn; (3)设 cn= ,问是否存在正整数 m,使得 cm?cm+1?cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2) .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)根据等差数列的前 n 项公式和 S9﹣S7=41,即可求出 an.再利用 a1=b2,a3=b3,可 知公比,进而可得{bn} 的通项公式; (2)通过错位相减法即可求出前 n 项和, (3)分类讨论,计算即得结论. 【解答】解: (1)等差数列{bn} 的前 n 项和为 Sn (n∈N* ) ,且满足:S13=208,S9﹣S7=41, 即 解得 b7=16,公差为 3

∴b1=﹣2,bn=3n﹣5,∵a1=b2=1,a3=b3=4,数列{an} 为等比数列,∴an=2n﹣1,n∈N* (2)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+(3n﹣5)2n﹣1,① ∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+(3n﹣5)2n,② ①﹣①得 Tn=﹣2+3(2+22+…+2n﹣1)-(3n-5)2n=3×(2n﹣2)-(3n﹣5)2n=(8-3n)2n-8, ∴Tn=(3n﹣8)2n+8,n∈N* (3)∵设 cn= ,

当 m=1 时,c1?c2?c3+8=1×1×4+8=12,3(c1+c2+c3)=18,不相等, 当 m=2 时,c2?c3?c4+8=1×4×7+8=36,3(c2+c3+c4)=36,成立, 当 m≥3 且为奇数时,cm,cm+2 为偶数,cm+1 为奇数, ∴cm?cm+1?cm+2+8 为偶数,3(cm+cm+1+cm+2)为奇数,不成立, 当 m≥4 且为偶数时,若 cm?cm+1?cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2) , m m 则(3m﹣5)?2 ?(3m+1)+8=3(3m﹣5+2 +3m+1) , 2 m 即(9m ﹣12m﹣8)2 =18m﹣20, (*) 2 m 2 ∵(9m ﹣12m﹣8)2 ≥(9m ﹣12m﹣8)24>18m﹣20, ∴(*)不成立,综上所述 m=2. 20.已知函数 f(x)= ,定义域为[0,2π],g(x) 为 f(x) 的导函数.

(1)求方程 g(x)=0 的解集; (2)求函数 g(x) 的最大值与最小值; (3)若函数 F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有 2 个极值点,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)f′(x)=﹣ 出方程 g(x)=0 的解集. (2) + ﹣ =﹣2× ′ x) =0, , 令 g( 解得 x= 或 x= , + ,由方程 g(x)=0 得 =0,由此能求

由此利用导数性质能求出 g(x)的最值. (3)函数 F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有 2 个极值点,等价于 y=a 的图象恰恰有两个交点, 由此利用分类讨论思想能求出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)= ∴f′(x)=﹣ + ,定义域为[0,2π],

,∵g(x) 为 f(x) 的导函数, =0,解得 , }. ,或 x= ,

∴由方程 g(x)=0 得 ∴方程 g(x)=0 的解集为{

(2)∵ 令 g′(x)=0,解得 x= x 0 或 x= (0, )

+ ,



=﹣2×





, )

( 2π) 0 ﹣ ↓





g′(x) g(x)

1

﹣ ↓

0

0 ↑

e﹣2π

∴g(x)的最大值为 g(0)=1,∴g(x)的最小值为 g(

)=﹣



(3)∵

﹣a=g(x)﹣a,

∴函数 F(x)=f(x)﹣ax 在定义域上恰有 2 个极值点, 等价于 g(x)﹣a=0 在定义域外上恰有两个零点且零点处异号, 即 y=a 的图象恰恰有两个交点,由(2)知 F′(0)=g(0)﹣a=1﹣a, F′(2π)=g(2π)﹣a=e﹣2π﹣a, , F′(2π)=g(2π)﹣a=e﹣2π﹣a, 若 ,则 F′(2π)<0, . 处同号,不成立;

∴F′(x)=0 只有一个零点,不成立.∴ 若 ,即 a= 在 x=

若 F′(2π)≤0,则 F′(x)=0 有 3 个零点,不成立. ∴只有 F′(2π)>0,

∴满足条件为:



解得

<a<e﹣2π 或 a=

. <a<e﹣2π 或 a= }.

∴实数 a 的取值范围是{a|


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