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高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5



2.5 等比数列的前n项和 学习目标 1.理解并掌握等比数 列前 n 项和公式及其 推导方法. 2.能利用等比数列的 前 n 项和公式解决有 关问题. 3.掌握等比数列前 n 项 和的性质及应用. 思维脉络 1 2 1.等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1; 1 (1- ) - 当 q ≠1 时,Sn= = 1 . 1- 1- 练一练1 等比数列{an}的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于( A.n2+n B.n2-n C.2n+1-2 D.2n-1 ) 1 (1- ) 2(1-2 ) n+1 解析:Sn= = =2 - 2. 1- 1-2 答案:C 1 2 名师点拨 1.推导等比数列前n项和的方法为错位相减法. 2.在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论(q=1或q≠1). 1 (1- ) 3.当q≠1时,若已知a1及q,则用公式 Sn= 较好;若已知an,则用公式 1 1 - 较好. Sn= 1- 1 2 2.等比数列前n项和性质 (1)在等比数列{an}中公比q≠-1时,连续相同项数和也成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3kS2k,…仍成等比数列. (2)当n为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即 偶 奇 =q. (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等 比数列,即Sn=-Aqn+A?数列{an}为等比数列. 练一练2 已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则S6= . 解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 又S2=2,S4-S2=4,∴S6-S4=8,∴S6=8+S4=14. 答案:14 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一等比数列前n项和的基本计算 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,已知其中三个,求 其余两个时,可利用通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知三求二”.在解方 1 n 程组时,要注意整体思想的运用,如q , 都可看作一个整体. 1- 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1 在等比数列{an}中,其前n项和为Sn. (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n. 思路分析:可利用等比数列的求和公式列方程(组)求解. 1 (1 + ) = 30, 解 :(1)由题意知 1 (1 + + 2 ) = 155, 1 = 180, 1 = 5, 解得 或 5 = 5 = - , 6 1 4 5 4 1 080× 1- -5 6 11 从而 Sn= ×5n+1- 或 Sn= . 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189, ∴ 3-96 =189.∴q=2. 1- ∴an=a1qn-1.∴96=3×2n-1. ∴n=5+1=6. 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. 5 (1)若a1+a3=10,a4+a6= , 4 (2)若q=2,S4=1,求S8. 求a4和S5; 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :(1)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 1 + 1 2 = 10,


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