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热点 一 集合的概念及运算



小专题复习课(一) 集合、常用逻辑用语、函数、导数

热点 一 集合的概念及运算
1.(2013·威海模拟)集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5}, T={2,3,4},则 S∩( T)=( (A){1,4,5} (B){1,5} (C){4} (D){1,2,3,4,5} 【解析】选 B.因为集合 U={1,2,3,4,5,6},

S={1,4,5}, T={2,3,4},所以 T={1,5,6},S∩( T)={1,5}. 2.(2013·天津模拟)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|m+1 ≤x≤2m-1},若 A∪B=A,则实数 m 的取值范围为______. 【解析】∵A∪B=A,∴B?A, A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 当 B=?时,m+1>2m-1, 即 m<2,此时 B?A 成立; 当 B≠?时,m+1≤2m-1,即 m≥2, 由 B?A,得 )

解得-3≤m≤3, 又∵m≥2,∴2≤m≤3.综上知 m≤3. 答案:m≤3 3.已知集合 A={(x,y)||x-a|+|y-1|≤1},B={(x,y)|(x-1)2 +(y-1)2≤1},A∩B≠?,则实数 a 的取值 范围为______. 【解析】

??2 ? m ? 1, ? ?2m ? 1 ? 5,

作出|x|+|y|≤1 的图象,利用平移,知集合 A 是中心为

M(a,1),边长为 的正方形内部(包括边界),又集合 B 是圆心 为 N(1,1),半径为 1 的圆的内部(包括边界),易知 MN 的长度不 大于 1+1 时,A∩B≠?,即 ≤2,∴-1≤a≤3,故实数 a 的取值范围为[-1,3]. 答案:[-1,3]

热点 二 充要条件
1.已知 a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选 A.a>2 可推出 a2>2a;a2>2a 可以推出 a>2 或 a<0,不一定推出 a>2.“a>2”是“a2>2a” 成立的充分不必要条件. 2.(2013·莆田模拟)关于命题 p:A∩?=?,命题 q:A∪?=A,下列说法正确的是( ) (A)(﹁p)∨q 为假 (B)(﹁p)∧(﹁q)为真 (C)(﹁p)∨(﹁q)为假 (D)(﹁p)∧q 为真 【解析】选 C.因 p 真,q 真,由逻辑关系可知,﹁p 假,﹁q 假,即(﹁p)∨(﹁q)为假,选 C. 3.(2013·韶关模拟)若命题 p:?x∈R,函数 f(x)=2cos2x+ sin 2x≤3,则( ) (A)p 是假命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ 3 (B)p 是假命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ 3 (C)p 是真命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ 3 (D)p 是真命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ 3 【解析】选 D.f(x)=2cos2x+ 3 sin 2x=1+cos 2x+ =1+2sin(2x+ sin 2x0≤3 sin 2x0>3 sin 2x0≤3 sin 2x0>3 3 sin 2x

? )≤3,p 是真命题;﹁p:?x ∈R, 0 6

f(x0)=2cos2x0+ 3 sin 2x0>3. 热点 三 函数的图象与性质 1.(2013· 潍坊模拟)函数 y= 可能是下列图象中的( 【解析】选 C.y= x>sin x,即

x sin x
)

,x∈(-π ,0)∪(0,π )的图象

x sin x

x 是偶函数,故排除A,又 x∈(0,π )时, sin x
>1,排除B,D,故选C.

【解析】选 C.

y=

x sin x

是偶函数,故排除A,又 x∈(0,π )时,

x>sin x,即

x sin x

>1,排除B,D,故选C.

2.已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f(f(

1 100

))的值等于(

1 ) 100
(C)lg 2 (D)-lg 2

(A)

1 lg 2

(B)

?

1 lg 2

【解析】选 D.当 x>0 时,f(x)=lgx,∴f( f(f( ))=f(-2),∵y=f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(-2)=-f(2)=-lg 2.

1 100

)=

lg

1 100

=-2,

3.(2013· 池州模拟)设函数 y=f(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数, 若 g(x)=f(x)-2x 在区间 [2,3] 上的值域为[-2,6] ,则函数 g(x)在[-12,12]上的值域为( ) (A)[-2,6] (B)[-20,34] (C)[-22,32] (D)[-24,28] 【解析】选 B.由题可设 g(x)min=f(a)-2a=-2,g(x)max=f(b) -2b=6,a,b∈[2,3]. 由周期性可知,x∈[-12,-11] ,a-14∈[-12,-11],g(x)

∈[26,34] ,同理 x∈[-11,-10] ,a-13∈[-11,-10] , g(x)∈[24,32] ,…,x∈[11,12] ,a+9∈[11,12] , g(x)∈[-20,-12] ,故函数 g(x)在[-12,12]上的值域为 [-20,34]. 热点 四 函数零点的确定与应用 1.已知函数 f(x)=( (A)1 (B)2

1 2
(C)3

)x-sin x,则 f(x)在[0,2π ]上的零点个数为( (D)4 )x-sin x=0?(

)

【解析】选 B.由( 作出 h(x)=(

交点个数为 2.

1 2

1 2

1 2

)x=sin x,在同一坐标系中

)x, g(x)=sin x 在[0,2π ]上的图象,可以看出

2.(2013·锦州模拟)若函数 f(x)=ex+2x-6(e≈2.718)的零点属于区间(n,n+1)(n∈Z),则 n =_______. 【解析】易知 f(x)为增函数,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,从而可知函数 f(x)的零点位于区 间(1,2)内,故 n=1. 答案:1

?2 ? x , x ? 2, 3.(2013·镇江模拟)已知函数 f(x)= ? ?? x ? 1?3 , x ? 2, ?

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是_______. 【解析】 方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则 y=f(x)与 y=k 有两个不同交点.作出 y=f(x)的图象, 可知 k∈(0,1). \

答案:(0,1) 热点 五 函数在实际问题中的应用 1.某企业去年销售收入 1 000 万元,年成本为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元两部 分.若年利润必须按 p%纳税,且年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税,其他不纳 税.已知该企业去年共纳税 120 万元,则税率 p%为( ) (A)10% (B)12% (C)25% (D)40% 【解析】选 C.利润 300 万元,纳税 300·p%万元, 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200-1 000×2%=180(万元),纳税 180·p%万元, 共纳税 300·p%+180·p%=120(万元), 1 p%= =25%. 4 2.(2013·湛江模拟)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价,该地区 的电网销售电价表如表: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表

高峰月用电量 (单位:千瓦时)

高峰电价 (单位:元/千瓦时)

低谷月用电量 (单位:千瓦时)

低谷电价 (单位:元/千瓦时)

50 及以下的部分

0.568

50 及以下的部分

0.288

超过 50 至 200 的部分

0.598

超过 50 至 200 的部分

0.318

超过 200 的部分

0.668

超过 200 的部分

0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则 按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_______元(用数字作答). 【解析】高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元), 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元), 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元). 答案:148.4 3.(2013·海口模拟)某医药研究所开

发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血 液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t). (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有 效的时间是多长?

【解析】(1)设 y=

0 ? t ? 1, ?kt, ? ? 1 t -a ( ) , t ? 1, ? ? 2
0 ? t ? 1, ?4t, ? 2

当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,

1 1-a=4 得 a=3.所以 y= ? 由( ) ? 1 t-3 2 ?( ) ,t>1.
(2)由 y≥0.25 得

1 16

? t ? 1, ?0 ? t ? 1, ? 或 ? 1 t-3 ? ?4t ? 0.25, ?( ) ? 0.25, ? 2
1 79 = (小时). 16 16

解得

≤t≤5.

因此服药一次后治疗有效的时间是 5-

热点 六

利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题

1.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1] ,则 f(m)+f′(n)的最 小值是( ) (A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15 【解析】选 A.求导得 f′(x)=-3x2+2ax, 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0) =-4. 又 f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13. 2.(2013·绥化模拟)已知函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数),若 a=(30.3)·f(30.3), b=(logπ 3)· f(logπ 3),c= (log (A)a>b>c

3

1 1 ) ? f(log 3 ) 9 9
(B)c>a>b

,则 a,b,c 的大小关系是( (D)a>c>b

)

(C)c>b>a

【解析】选 C.函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(x)关 于(0,0)中心对称, 为奇函数, 当 x∈(-∞,0)时, f(x)+xf′(x)<0 成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数), 所以 xf(x)为减函数,30.3>logπ 3> log 3 3.(2013·保定模拟)已知 f(x)=xln x. (1)求 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)证明:对?x∈(0,+∞)都有 ln x> 【解析】(1)f′(x)=ln x+1, 令 f′(x)=0,得 x= 当 x∈(0,

1 ,所以 c>b>a. 9

1 2 ? . x e ex

当 x∈(

1 e 1 e

1 . e

)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

因为 t>0,t+2>2>

1 e

,

① 0<t<

②当 t≥

1 时,f(x) e 1 时,f(x) e 1

min=f(

1 )= e
t.

-

1 e

;

min=f(t)=tln

所以 f(x)min=

1 ? ? ,0 ? t ? , ? ? e e ? ? tln t, t ? 1 . ? e ?

(2)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时, f(x)=xln x 的最小值是 f(x)min=f( )= -

1 e

(当且仅当 x=

1 e



取到最小值).

问题等价于证明 xln x>

x 2 ? 设 m(x)= x e e
则 m′(x)=

x 2 ? , x e e
1 e

(x∈(0,+∞)),

1? x ex

,易得 m(x)max=m(1)= -

(当且仅当 x=1 时取到最大值).

从而对?x∈(0,+∞),都有 ln x>

1 2 ? 成立. x e ex



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