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高一数学对数运算及对数函数试题



高一数学对数运算及对数函数试题 一:选择题 1.若 log7[log3(log2x)]=0,则 A. B. 为( ) C. D.

解:∵log7[log3(log2x)]=0, ∴log3(log2x)=1, ∴log2x=3, ∴x=8, ∴ = = = .

故选 D. 2. (log 2 9) ? (log3 4) ? ( (A)



1 4

(B)

1 2

(C) 2

(D)4

【答案】D

3. A.12 B.

的值是( C ) C.﹣12 D.

解: 故选 C. 4.实数 A.25 ﹣ ? B.28

=log6(4×9)+2﹣16=﹣12,

+lg4+2lg5 的值为( D ) C.32 D.33

解:



?

+lg4+2lg5=

﹣2×(﹣2)+lg(4×25)=27+4+2=33,

故选 D. 5.已知 lg2=a,10 =3,则 log125 可表示为( ) A. B. C.
b

D.

解:∵lg2=a,10 =3, ∴lg3=b, ∴log125= = = .

b

故选 C. 6.lgx+lgy=2lg(x﹣2y) ,则 A.{1} B.{2} 的值的集合是( C.{1,0}
2

) D.{2,0}

解:∵lgx+lgy=2lg(x﹣2y) ,∴lg(x﹣2y) =lgxy, 2 2 2 ∴(x﹣2y) =xy,∴x ﹣5xy+4y =0, ∴ ﹣5? +4=0,∴ =1(舍去)或 =4,

故 故选 B.

=log24=2,

7.已知 f(e )=x,则 f(5)等于( D ) A.e5 B.5e C.log5e 解:∵f(e )=x,令 e =t,解得 x=lnt, ∴f(t)=lnt(t>0) , ∴f(5)=ln5, 故选 D. 8.设 A. a>b>c B. a>c>b
x x

x

D.ln5

,则 a,b,c 的大小顺序为( C. b>a>c



D. c<a<b

解:因为 又 1.8>1.5>1.44, 函数 y=2 是增函数,所以 a>c>b. 故选 B.
x



9.已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B. ﹣

,则 log2f(2)的值为( A ) C.2 D.﹣2

解:设 log2f(2)=n,则 f(2)=2 n ∴f(x)=x

n

又∵由幂函数 y=f(x)的图象过点

∴ 故选 A. 10.若非零实数 a、b、c 满足 A.1 解:∵ ∴设 B.2 , =m,



,则 C.3

的值等于(

) D.4

a=log5m,b=log2m,c=2lgm, ∴ =

=2lgm(logm5+logm2) =2lgm?logm10 =2. 故选 B.

11.已知 f(x)=

,则 f(log23)的值是(A



A.

B.

C.24

D.12

解:∵1<log23<3 ∴f(log23)=f(1+log23)=f(log26) = 故选:A. =

12.已知函数 f (x) 满足: x≥4, f 则 (x) = =( A ) A.

; x<4 时 f x) (x+1) 则 f 当 ( =f , (2+log23)

B.

C.

D.

解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 13.若 log a A.a>1 【答案】D

? ? ? ,则 a 的取值范围是 ( ? ? ? B. ? ? a ? C. ? a ? ? ? ?
2

) D. ? ? a ?

? 或 a>1 ?
)

3x 14.函数 f ( x) ? ln(4 + -x ) 的单调递减区间是(
A. ( ??, ] 【答案】D
a

3 2

B. [ , ??)

3 2

C. (?1, ]

3 2

D. [ , 4)

3 2

15.已知函数 f ?x ? ? log 1 ?2 ? x ? 在其定义域上单调递减,则函数 g ?x ? ? log a 1 ? x 2 的单 调减区间是( ) A. ?? ?,0? 【答案】B
1 16. 已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? ax ? a) , (??,? ) 上是增函数, 在 则实数 a 的取值范围是 ( 2 2

?

?

B. ?? 1,0?

C. ?0,???

D. ?0,1?



A. [?1 ? ?) , 【答案】C

1 B. [?1 ) , 2

1 C. [?1 ] D. (??, 1] ? , 2

17.已知函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1 )与函数 g ( x) ? log a x (a ? 0 且 a ? 1 )的图象有
x

交点,函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [1,2] 上的最大值为 小值为( ) A. ?

1 ,则 ? (x) 在区间 [1,2] 上的最 2

1 ; 2

B.

1 ; 2

C.

5 ; 4

D.

?

3 . 4

【答案】D 18.当 0 ?

x?

1 x 时, 4 ? log a x ,则 a 的取值范围是 2
B.(





A.(0,

2 ) 2

2 ,1) 2

C.(1, 2 )

D.( 2 ,2)

【答案】B 二:填空题

19.若 5 =2,b=log53,则 5

a

3a﹣2b

=



解:∵5 =2,b=log53, b ∴5 =3, 3a﹣2b a 3 b 2 5 =(5 ) ÷(5 ) 3 2 =2 ÷3 = , 故答案为: .

a

20.求值:

=



解:

= = = +2+2 . .

故答案为:

21.设 解:∵2 =5 =t, ∴a=log2t,b=log5t, ∴ =
a b

=



= =logt2+logt5=logt10=3, 3 ∴t =10, ∴t= . .

故答案为:

22.方程

的解为



解:当 x≤0 时, 当 x>0 时, (2 ) ﹣2?2 ﹣1=0 解得: 即 x= 故答案为:
x 2 x

无解

23.若函数 f (x ) ? a log 2 x ? b log 3 x ? 2 ,且 f ( _ . 【答案】-1

1 ) ? 5 ,则 f (2012) 的值为 2012

24.函数 y= ㏒ 0.5 (4 x ? 3 x ) 的定义域为________.
2

3 1 ? x ? 1或 ? ? x ? 0} 4 4 1 25.已知函数 f ( x) ? log a (ax 2 ? x ? ) ( a ? 0且a ? 1 )在 [1,2] 上恒正,则实数 a 的取值 2
【 答 案 】 {x | 范围为 . 【答案】 ( , ) ? ( , ??) 三:解答题 26.计算 .

1 5 2 8

3 2

解: = + ﹣10 ×10
2 lg2

=9﹣2﹣100×2 =193. 27.若 f ( x) ? x 2 ? x ? b ,且 f (log2 a) ? b, 2 [ f (a)] ? 2 (a ? 1) . log (1)求 f (log 2 x) 的最小值及对应的 x 值; (2)若不等式 f (log 2 x) ? f (1) 的解集记为 A,不 等式 log2 [ f ( x)] ? f (1) 的解集记为 B,求 A ? B . 解:(1) ∵ f ( x) ? x 2 ? x ? b

2 ∴ f (log 2 a) ? log 2 a ? log 2 a ? b ? b ,∴ log 2 a ? 1 或 log 2 a ? 0

∴ a = 2 或 a = 1(舍) 又 ∵ log2 [ f (a)] ? log 2 (a 2 ? a ? b) ? log 2 (2 ? b) ? 2 ∴ 2?b ? 4 ∴ b=2

1 7 2 ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 2 , f (log2 x) ? log 2 x ? log 2 x ? 2 ? (log 2 x ? )2 ? 2 4
7 1 ∴ 当 log 2 x ? ,即 x ? 2 时, f (log 2 x) 的最小值为 4 2
2 (2) 由 f (log 2 x) ? f (1) 得 log 2 x ? log 2 x ? 2 ? 2

∴ log 2 x(log 2 x ? 1) ? 0 ∴ log2 x ? 0 或 log2 x ? 1 ∴ 0 ? x ? 1 或 x ? 2 ,即 A ? {x | 0 ? x ? 1 或 x ? 2} 由 log2 [ f ( x)] ? f (1) 得 log2 ( x2 ? x ? 2) ? 2 ∴ 0 ? x2 ? x ? 2 ? 4 解得 ? 1 ? x ? 2 ∴ B ? {x | ?1 ? x ? 2} ∴ A ? B ? {x | 0 ? x ? 1} 28.设函数 f ( x) ? log 2 (4 x) ? log 2 (2 x) , 若 t ? log 2 x ,求 t 取值范围; (2)求 f ( x) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值。 解: (1)? t ? log 2 x,

1 ? x ? 4, 4

1 ?x?4 4

? log 2

1 ? t ? log 2 4 4 即?2 ? t ? 2
2

(2) f ?x ? ? log 2 x ? 3 log 2 x ? 2

? ?令t ? log 2 x ,则, y ? t ? 3t ? 2 ? ? t ? ?
2

3? 1 ? ? 2? 4

2

3 3 1 ?当t ? ? 即 log 2 x ? ? , x ? 2 2 时, f ? x ?min ? ? 2 2 4
当 t ? 2即x ? 4时, f ?x ?max ? 12

?3

29.已知函数 f(x)=loga[( 1 -2)x+1]在区间[1,2]上恒为正,求实数 a 的取值范围. a 解:∵f(x)=loga[( 1 -2)x+1]在[1,2]上恒正, a (1)当 a>1 时,真数μ =( 1 -2)x+1>1, a ∴( 1 -2)x>0,∴ 1 -2>0 即 a< 1 (舍) . a a 2 (2)当 0<a<1 时,0<μ <1
? ∴ ?( a ? 2) x ? 1 ? 0 ? ?( 1 ? 2) x ? 1 ? 1 ? a ? ? 1
① ②

要使①式当 x∈[1,2]恒成立,则
? 1 ?0 ? a ? 1, ∴0<a< 2 . ?( a ? 2) ?1 ? 1 ? 0 ? ? ?? 2 ? 3 ?( 1 ? 2) ? 2 ? 1 ? 0 ?0 ? a ? 3 , ? ? a ?

要使②式成立,则( 1 -2)x<0,只要 1 -2<0,∴ 1 <2 ,∴a> 1 . a a a 2 综上 1 <a< 2 . 3 2 30.已知函数 f ( x) ? log 0.5 (1 ? 2 ? 4 ? a) ;
x x

(1)若 a ? 0 ,求 f (x) 的值域; (2)在(1)的条件下,判断 f (x) 的单调性; (3)当 x ? (??,1] 时 f (x) 有意义求实 a 的范围。 解: (1)若 a ? 0 ,? f ( x) ? log 0.5 (1 ? 2 )( x ? R),?1 ? 2 ? 1,? f ( x) ? (??,0) 的值域;
x x

(2)? f ( x) ? log0.5 (1 ? 2 ), 令t ? 1 ? 2 ? 1,
x x

f ( x) ? log 0.5 t单调递减, t ? 1 ? 2 x 单调递增, ? f ( x) ? log 0.5 (1 ? 2 x )在R上单调递减.
或用定义法说明。 (3)? x ? (??,1] 时, f ( x) ? log 0.5 (1 ? 2 ? 4 ? a) 有意义,
x x

? x ? (??,1] 时, 1 ? 2 x ? 4 x ? a ? 0

?a ? ?

1 1 1 1 ? x , 令u ( x) ? ? x ? x , ( x ? 1) x 4 2 4 2 1 1 u ( x) ? ? x ? x 单调递增, 4 2

3 ? u ( x) max ? u (1) ? ? , 4 3 ? a ? (? ,??) 4
31.已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数. x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值 解: (1)由已知条件得

f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立. ? log a


mx ? 1 1 ? mx ? ?1 ?x ?1 x ?1

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1

? m2 x2 ? 1 ? x2 ? 1 对定义域中的 x 均成立. ? m2 ? 1
即 m ? 1(舍去)或 m ? ?1 .

1? x x ?1 x ? 1 x ?1 ? 2 2 设t ? , ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1
(2)由(1)得 f ( x) ? log a

?当 x1 ? x2 ? 1 时, t1 ? t2 ?
?

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

t1 ? t2 .

当 a ? 1 时, log a t1 ? log a t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
? ? ?

当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数. 同理当 0 ? a ? 1时, f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数. (3)? 函数 f ( x) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) ,

?① n ? a ? 2 ? ?1,? 0 ? a ? 1.

? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,
要使值域为 (1, ??) ,

1? n ? ?1 ?log a 则? n ? 1 (无解) ? a ? 2 ? ?1 ?
②1 ? n ? a ? 2 ,

? a ? 3.

? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为减函数,
?n ? 1 ? 要使 f ( x) 的值域为 (1, ??) , 则 ? a ?1 ?log a a ? 3 ? 1 ?

? a ? 2 ? 3 , n ? 1.
32.已知函数 f (x) 是定义在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x . (Ⅰ)求当 x ? 0 时,函数 f (x) 的表达式; (Ⅱ)求满足 f ( x ? 1) ? ?1 的 x 的取值范围; (Ⅲ)已知对于任意的 k ? N ,不等式 2

k ? k ? 1 恒成立,求证:函数 f (x) 的图象与直线

y ? x 没有交点.
解: (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ? ? log 2 (? x) . (Ⅱ) f ( x ) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) , ?? log 2 (? x) ? x ? 0 ?

∴ f ( x ? 1) ? ?

?log 2 ( x ? 1) ( x ? 1 ? 0) ?log 2 ( x ? 1) ( x ? ?1) ?? ?? log 2 ?? ( x ? 1)? ? x ? 1 ? 0? ?? log 2 ?? ( x ? 1)? ? x ? ?1? ? x ? ?1 ? x ? ?1 或? ?log 2 ( x ? 1) ? ?1 ?? log 2 ?? ( x ? 1)? ? ?1

因为 f ( x ? 1) ? ?1 ,∴ ?

∴ x ? ?3 或 ? 1 ? x ? ?

1 . 2

(Ⅲ)根据对称性,只要证明函数 f (x) 的图象与直线 y ? x 在 x ? ?0,?? ? 上无交点即可。 令 x ? ?0,?? ?,函数 y1 ? log 2 x ,y 2 ? x

当 x ? ?0,1? 时, y1 ? 0,y 2 ? 0,则y1 ? y 2

2 当 x ? (2 ,
k

k ?1

]( k ? N )时,y1 ? k ? 1,y 2 ? 2 k ? k ? 1,则y1 ? y 2 则 在 x ? ?0,?? ?

上直线 y ? x 始终在 y ? log 2 x 的图象之上方. 综上所述,由于对称性可知,函数 f (x) 的图象与直线 y ? x 没有交点.



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