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数列的含义与表示



2.1数列的含义与表示

观察下列图形:
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 16, ……

1,3,6,10,· · ·
2 3

1,4,9,16,· · ·
63

1 , 2, 2 , 2 , ??2


1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4

1

2 3 4 5

1 , 2, 3, 4, ??35 ?1 , 1 , ?1 , 1??

1 , 1 , 1 , 1 , ??

1. 都是一列数; 2. 都有一定的顺序

1定义:按一定顺序排列着的一列数称为
问1: 数列
3

(数列具有有序性) 1,2 , 3 ,… ,35 改为
3 2 ,1
请问:是不是同一数列?

35 , ……

问2: 数列

4

-1,1,-1,1…… 改为:

1,-1,1,-1……,请问:是不是同一数列?

2、数列中的每一个数 叫做这个数列的项。

1 , 2 , 22, 23, ??263
有穷数列

1

各项依次叫做这个数列 1 1 1 , ,, , ?? 的第1项,第2项,· · · · · · , 1 2 3 4 第n项, · · · · · · 无穷数列 递减数列 3、数列的分类
(1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系:

递增数列

2

1 , 2, 3, 4, ??35

3

有穷数列 递增数列 1 , 1 , 1 , 1 , ?? 无穷数列 常数列

4

?1 , 1 , ?1 , 1??
无穷数列 摆动数列

5

递增数列, 递减数列,

摆动数列, 常数列。

4练习:下列哪些是递增、递减、摆动、常数列?

(1)0, 1,2,3, ……
(2)82,93,105 ,119,129,130,132. (3)3,3,3 ,3,3,…… (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1, 0.05 (5)1,1.4,1.41,1.414, …… 解:(1)(2)(5)递增数列 (3)常数列 (4)递减数列

? 第n项 4、数列的一般形式可以 第1项 第2项 第3项 a1 a2 a3 ? an 写成: a1,a2,a3, ?,an ?, 1 1 20 , 21 , 22 , ? , 2n?, ? , 263 简记为?an ? 其中 an是数 ?2n?1 ?(n ? N * , n ? 64) an? 2n?1 1 1 1 1 ? , , 列的第n项。 , , , ? 1
如果数列 ?an ? 的第n项 与项数之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个 数列的 通项公式。
1

1

2

3

1, 2

{

1 } (n ? N * ) n, ?

n

2

3 ,
*

{ n } (n ? N , n ? 35) an? n n ? ? -1 , 1 , -1 , , (-1) ,

,

n,

an

?? , 35

1 n

3

a n ? (-1)n (n ? N * ) 1 , 1 , 1 , ?, 1 , ? 0 n a n ? 1 或 a n n (n ? N * )

4

?

5

6、观察以下数列,找出数列的项an和它的项 数n之间的关系.

(1) 1, 2, 4,8,16, 32, 64, 128, 256 1 1 1 ( 2) 1, , , , ? 2 3 4
(3)-1,1,-1,1,· · ·

(4)3,3,3,3, · · ·
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式.

7、数列的实质
从映射的观点看,数列可以看作是:序号到数列 项的映射 n f(n)
1 2 3 … a1 a2 a3







从函数的观点看,数列项是序号的函数。 * 即: 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N ( 或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变 量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。



n



an

数列an ? n ? 3的图象
an
10

9
8 7

6
5 4 3 2 1

散点图

O

1

2

3

4

5

6

7

n

8、数列与函数的关系:

(1)数列是特殊的函数
(2)定义域: 正整数集N* (或它的有限子集{1,2,…,n})

?an ?的 通 项 公 式 , 写 出 例1、 根 据 下 面 数 列
它的前 5项 : n (1) an ? n?1 ( 2) an ? ( ?1)
n?1

( n ? 1)
2

思考1:an?1 ?

通项公式的作用: 1、可知任意一项

3 思考2:是不是它的项? 2、判断是否是数 5 列的项。

例2.写出数列的一个通项公式,使它的前4项分 别是下列各数:

(1)1,3,5,7 · · ·· · ·

2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 (2) , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

(3) 2,0,2,0, · · ·· · ·

1 1 1 1 ( 4) ? , ,? , ? 2 6 12 20.

练习:写出数列的一个通项公式,使它的前4项 分别是下列各数:

1 1 1 1 (1) ? , ,? , ? 2?1 2? 2 2? 3 2? 4

2 4 6 8 10 (2) ? , , ? , , ? ? 3 15 35 63 99

?an ?中 ,a1 ? 2, a17 ? 66, 通 项 公 式 例3、 在 数 列
是项数 n的 一 次 函 数 .

?an ?的 通 项 公 式 (1) 求 数 列 .
( 2) 88是 不 是 该 数 列 中 的 项 .

问:62是不是该数列中的项,如果 是,是第几项?

观察下列图形(谢宾斯基三角形)

(1)

(2)

(3)

(4)

绿色三角形的个数构成的数列,写出一个通 项公式.

教学小结
? 1、掌握数列的概念及简单表示 ? 2、根据数列的前几项写出通项公式 ? 3、根据数列的通项公式写出数列的



课后作业
? ?

1、学海导航配套课后练习 2、书后练习1、2题



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