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中考数学专项讲解


中考数学专项讲解 数形结合思想
知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相 结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、 生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数 形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的. 华罗庚先生曾指出: “数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少 数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休. ”这充分说明了数形结合数学学习中的 重要性,是中考数学的一个最重要数学思想. 典型例题 一、在数与式中的应用 【例 1】实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 a ? a ? b =_________.
2

【例 2】 如下图是小明用火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼”??,则搭 n 条“金鱼”需 要火柴_________根.

二、在方程、不等式中的应用 【例 3】 (08 聊城)已知关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 0 的整数解共有 2 个,则 a 的取值范 ?2 ? x ? 0

围是___________. 【例 4】 (08 南通)用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两 个一次函数的图象(如图所示), 则所解的二元一次方程组是 ( ) A. ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?3x ? 2 y ? 1 ? 0

B. ?

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?3x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0

C. ?

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?3x ? 2 y ? 5 ? 0

D. ?

【例 5】 已知二次函数 y= a x2+bx+c 的图象如图所示,若关于 x 的方程 a x2+bx+c-k=0

有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为

(

)

A.k>3 B.k=3 C.k<3 D.无法确定 三、在函数中的应用 【例 6】 (08 安徽)如图为二次函数 y= a x2+bx+c 的图象,在下列说法中:

① a c<0 ②方程 a x2+bx+c=0 的根是 x1=-1,x2=3 ③ a +b+c>0 ④当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上) 【例 7】某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图 所示,为经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员在空中的最高处距水面 10

2 米, 入水处距池边的距离为 4 米, 同时, 3

运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就 会出现失误, (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好 入水姿势时,距池边的水平距离为 3 导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.

四、在概率统计中的应用 【例 8】(05 江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一

次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示 的条形统计图:

(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息; (2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么特点; (3)请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议.

综合训练
1. “数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ” ,这种说 明问题的方式体现的数学思想方法叫做 A.代入法 B.数形结合 ( C.换元法 D.分类讨论 )

2.(08 大连)如图,两温度计读数分别为我国某地今年 2 月份某天的最低气温与最高 气温,那么这天的最高气温比最低气温高 ( ) A.5℃ B.7℃ C.12℃ D.-12℃ 3. 某人从 A 地向 B 地打长途电话 6 分钟, 按通话时间收费, 分钟以内收费 2. 元, 3 4 此后每加 1 分钟加收 1 元, 则表示电话费 y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是 ( )

4.若 M ? ? ,y1 ? ,N ? ? ,y2 ? ,? ,y3 ? 三点都在函数 y ?

? 1 ? 2

? ?

? 1 ? 4

? ?1 ? ?2

? ?

k (k<0)的图象上,则 y1, x

y2,y3 的大小关系为 ( ) A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 2 5.关于 x 的一元二次方程 x -x-n=0 没有实数根,则抛物线 y=x2-x-n 的顶点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限( )

6.(08 临沂)若不等式组 ?

?3x ? a ? 0 的解集为 x<0,则 a 的取值范围为 ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1

(

)

A. a >0 B. a =0 C. a >4 D. a =4 7.(08 镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目: 函数 y=x2-x+m(m 为常数)的图象如图所示,如果 x= a 时,y<0;那么 x= a -1 时, 函数值 ( )

A.y<0 B.0<y<m C.y>m D.y=m 下面是福娃们的讨论,请你解答该题. 贝贝:我注意到当 x=0 时,y=m>0. 晶晶:我发现图象的对称轴为 x=

1 2

欢欢:我判断出 x1< a <x2. 迎迎:我认为关键要判断 a -1 的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 8.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=150°,OA=OB=2,则点 A、B 的坐标分别 是_________和_________.

9.在边长为 a 的正方形中,挖掉一个边长为 b 的小正方形( a >b)如图 1,把余下的部 分剪拼成一个矩形如图 2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这 个等式是_______________.

10.(08 绍兴)如图,已知函数 y=x+b 和 y= a x+3 的图象交点为 P,则不等式 x+b> a x+3 的解集为__________.

11.方程组 ?

? y ? 2x ?1 的解是__________. ? y ? ? x ?1
2 2

12.(08 广州)如图,为实数 a 、b 在数轴上的位置,化简 a ? b ?

? a ? b?

2



13.(02 南京)(1)阅读下面材料:点 A、B 在数轴上分别表示实数 a 、b,A、B 两点之 间的距离表示为 AB .当 A、B 两点中有一点在原点时, 不妨设点 A 在原点,如图 1, AB ? OB ? b ? a ? b ; 当 A、B 两点都不在原点时, ①如图 2,点 A、B 都在原点的右边 AB ? OB ? OA ? b ? a ? b ? a ? a ? b ; ②如图 3, A、 都在原点的左边,AB ? OB ? OA ? b ? a ? ?b ? ? ?a ? ? a ? b ; 点 B ③如图 4,点 A、B 在原点的两边, AB ? OB ? OA ? a ? b ? a ? ? ?b? ? a ? b .

(2)回答下列问题: ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2 和-5 的两点之间 的距离是_______,数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是________; ②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_________,如果 AB ? 2 ,那么 x 为__________; ③当代数式 x ?1 ? x ? 2 取最小值时,相应的 x 的取值范围是____________. 14.(08 苏州)某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图,图②是 这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了

部分数据.

根据上述信息,回答下列问题: (1)该厂第一季度_________月份的产量最高. (2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________%. (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样, 抽检结果发现样品的合格率为 98%. 请 你估计:该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)

15.(08 恩施)如图所示,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B、D 作 AB⊥BD,ED⊥ BD,连接 AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8;设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长; (2)请问点 C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 x ? 4 ?
2

?12 ? x ?

2

? 9 的最小值.

16.如图,已知抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3)。 (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P,使得△PDC 是 等腰三角形?若存在,求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 M 是抛物线上一点,以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点 M 的坐标.


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