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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第5节 古典概型与几何概型



第十章

第五节

一、选择题 1.(文)(2014· 中原名校联考)设 f(x)=x2-2x-3(x∈R),在区间[-π,π]内随机取一个数 x, 则 f(x)<0 的概率为( 2 A. π 4 C. π [答案] A [解析] 由 f(x)<0 得,x2-2x-3<0,解得-1<x<3. 3-?-1? 2 又-π≤x≤π,所求概率为 P= = . 2π π ( 理 )(2014· 河北名校名师俱乐部模拟 ) 在区间 [1,5] 上任取一个数 m,则函数 y=x2 - 4x- 2(0≤x≤m)的值域为[-6,-2]的概率是( 3 A. 4 1 C. 2 [答案] C [解析] 当 x=2 时,y=-6;当 x=0 或 4 时,y=-2.即 m∈[2,4]时,函数 y=x2-4x- 4-2 1 2(0≤x≤m)的值域为[-6,-2],则所求概率为 P= = . 5-1 2 2.(文)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是( A. 3 C. 5 [答案] D [解析] 3 个红球记为 a、b、c,2 个白球记为 1、2.则从袋中取 3 个球的所有方法是:abc, ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12.共 10 个基本事件,则至少有一个白球的基本 事件是 ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12 共 9 个. ∴至少有一个白球的概率为 9 .故选 D. 10 1 10 ) 3 B. 10 D. 9 10 ) 3 B. 8 1 D. 3 ) 3 B. π 5 D. π

(理)在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随

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机选择 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是( 1 A. 5 1 C. 3 [答案] C

) 1 B. 4 1 D. 2

[解析] 从 10 个点中任取三个有 C3 10种方法,能构成直角三角形时,必须有两点连线为直 径,这样的直径有 5 条, ∴能构成直角三角形 5×8=40 个, 40 1 ∴概率 P= 3 = . C10 3 3. (文)(2014· 豫东、 豫北十所名校联考)已知 a, b∈[-1,1], 则函数 f(x)=ax+b 在区间(1,2) 上存在一个零点的概率为( 1 A. 2 1 C. 8 [答案] C [解析] 由于 f(x)=ax+b 在(1,2)上存在零点, 所以 f(1)· f(2)<0,即(a+b)(2a+b)<0, 作出线性约束条件的可行域如图所示, ) 1 B. 4 D. 1 16

1 1 1 阴影部分面积为 2× ×1× = , 2 2 2 1 2 1 所以概率为 P= = . 2×2 8 (理)(2014· 河北衡水中学第五次调研)已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠ABC=150° ,若在菱 形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为( π A. 4 π C. 8 π B.1- 4 π D.1- 8 )

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[答案] D [解析] 如图,当点 P 落在图中阴影部分时,P 到菱形的四个顶点 A、B、C、D 的距离都 大于 1,

4×4×sin150° -π×12 π ∴P= =1- . 8 4×4×sin150° x2 y2 4.(文)m∈{-2,-1,0,1,2,3},n∈{-3,-2,-1,0,1,2},且方程 + =1 有意义,则 m n x2 y2 方程 + =1 可表示不同的双曲线的概率为( m n 36 A. 25 9 C. 25 [答案] D
? ?m<0, ?m>0, ? [解析] 由题设知? 或? ? ?n<0, ?n>0. ? ?m>0, ? ? 1° 时有不同取法 3×3=9 种. ?n<0 ? ?m<0, ? ? 2° 时有不同取法 2×2=4 种. ?n>0 ?

) B.1 13 D. 25

9+4 13 ∴所求概率 P= = . 5×5 25 (理)(2014· 河北邯郸二模)甲、乙、丙 3 位教师安排在周一至周五中的 3 天值班,要求每人 值班 1 天且每天至多安排 1 人,则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( 1 A. 3 3 C. 4 [答案] A
2 [解析] 第一种情况:甲安排在第一天,则有 A4 =12 种;第二种情况:甲安排在第二天,

)

2 B. 3 3 D. 5

12+6+2 1 2 则有 A2 = . 3 3=6 种;第三种情况:甲安排在第三天,则有 A2=2 种,所以所求概率为 A5 3

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5.(2014· 石家庄市质检)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二 次方程 x2-x+a=0 无实根的概率为( 1 A. 2 3 C. 4 [答案] C [解析] 方程 x2-x+a=0 无实根,则 Δ=1-4a<0, 1 1- 4 3 1 ∴a> ,故所求概率 P= = . 4 1 4 6.已知正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 4,高为 3,在正三棱锥内任取一点 P,使得 VP-
ABC<

) 1 B. 4 2 D. 3

1 V 的概率是( 2 S-ABC 7 A. 8 1 C. 2 [答案] A

) 3 B. 4 1 D. 4

[解析] 当 P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求,由几何概型知, 1 7 P=1- = ,故选 A. 8 8 二、填空题 7.(2014· 银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax-by=0 与圆(x- 2)2+y2=2 相交的概率为________. [答案] 5 12 |2a| < 2时,直线与圆相交,∴b>a,满 a2+b2

[解析] 圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d=

15 5 足 b>a 的共有 15 种情况,因此直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概率为 P= = . 36 12 8.一排有 5 个凳子,两人各随机就座,则每人两侧都有空凳的概率为________. [答案] 1 10

[解析] 把两个坐了人的凳子记作 1,三个未坐人的凳子记作 0,则问题转化为将三个 0 和两个 1 排一列,1 不相邻且不在两头的概率问题.所有排法种数共有 10 种,符合条件的只 有 1 种,故所求概率为 P= 1 . 10

9.从集合{(x,y)|x2+y2≤4,x∈R,y∈R}内任选一个元素(x,y),则 x、y 满足 x+y≥2

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的概率为________. [答案] π-2 4π

π-2 [解析] 即图中弓形面积占圆面积的比例,属面积型几何概型,概率为 . 4π

三、解答题 10.(文)(2014· 山西四校联考)某班优秀生 16 人,中等生 24 人,学困生 8 人,现采用分层 抽样的方法从这些学生中抽取 6 名学生做学习习惯调查, (1)求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数; (2)若从抽取的 6 名学生中随机抽取 2 名学生做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 名学生均为中等生的概率. [解析] (1)优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数为 2、3、1. (2)①在抽取到的 6 名学生中,3 名中等生分别记为 A1,A2,A3,2 名优秀生分别记为 A4, A5,1 名学困生记为 A6,则抽取 2 名学生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1, A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6}, {A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从这 6 名学生中抽取的 2 名学生均为中等生(记为事件 B)的所有可能结果为{A1A2}, {A1, 3 1 A3},{A2,A3},共 3 种,所以 P(B)= = . 15 5 (理)已知函数 f(x)=-x2+ax-b. (1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率; (2)若 a,b 都是从区间[0,4]上任取的一个数,求 f(1)>0 成立的概率. [解析] (1)a, b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数, 则基本事件总数为 N=5×5=25 个. 函数有零点的条件为 Δ=a2-4b≥0,即 a2≥4b. 因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4), 12 所以事件“a2≥4b”的概率为 P= , 25 12 即函数 f(x)有零点的概率为 . 25

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(2)a,b 都是从区间[0,4]上任取的一个数, f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1, 此为几何概型.如图可知, 1 ×3×3 2 9 事件“f(1)>0”的概率为 P= = . 32 4×4

一、选择题 11.从-1、0、1、2 这四个数中选出三个不同的数作为二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的系数 组成不同的二次函数,其中使二次函数有变号零点的概率为( 7 A. 9 5 C. 9 [答案] A [解析] 首先取 a,∵a≠0,∴a 的取法有 3 种,再取 b,b 的取法有 3 种,最后取 c,c 的取法有 2 种, ∴共组成不同的二次函数 3×3×2=18 个. f(x)若有变号零点,不论 a>0 还是 a<0,均应有 Δ>0,即 b2-4ac>0,∴b2>4ac. ①首先 b 取 0 时,a、c 须异号,a=-1,则 c 有 2 种,a 取 1 或 2,则 c 只能取-1,∴ 共有 4 种. ②b=1 时,若 c=0,则 a 有 2 种,若 c=-1,a 只能取 2. 若 c=2,则 a=-1,共有 4 种. ③若 b=-1,则 c 只能取 0,有 2 种. ④若 b=2,取 a 有 2 种,取 c 有 2 种,共有 2×2=4 种. 综上所述,满足 b2>4ac 的取法有 4+4+2+4=14 种, 14 7 ∴所求概率 P= = . 18 9 12.(文)(2014· 烟台模拟)在一个盒子中有编号为 1,2 的红色球 2 个,编号为 1,2 的白色球 2 7 B. 12 D. 5 12 )

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个,现从盒子中摸出两个球,每个球摸到的概率相同,则摸出的两个球中既含有 2 种不同颜 色又含有 2 个不同编号的概率是( 1 A. 6 1 C. 3 [答案] C [解析] 设红色球为 A1,A2,白色球为 B1,B2,从中任取 2 个球,则所有不同的取法有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),共 6 种不同取法,其中颜色不 2 1 同且编号不同的情形有(A1,B2),(A2,B1)2 种,∴所求概率 P= = ,故选 C. 6 3 (理)(2014· 东营模拟)在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形 的概率为( 1 A. 5 1 C. 6 [答案] B [解析] 从 6 个顶点中任取 4 个顶点有 C4 6=15 种不同取法,其中能构成梯形的情形有 6 6 2 个,∴所求概率 P= = . 15 5 x2 13.若区域 M ={(x,y)||x|+|y|≤2},双曲线 -y2=1 的两条渐近线将平面分成四部分, 4 其中焦点所在的两部分区域记作 N,在区域 M 内任取一点 P(x,y),则点 P 落在区域 N 内的概 率为( 2 A. 3 1 C. 2 [答案] B 1 1 [解析] 双曲线的焦点在 x 轴上,两渐近线方程为 y= x 与 y=- x,区域 M 为正方形 2 2 ABCD,其面积 S=8,在 M 中任取一点 P,落在区域 N 内的点 P 构成的区域为图中阴影部分, ) 1 B. 3 1 D. 4 ) 2 B. 5 1 D. 8 ) 1 B. 4 1 D. 2

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1 ? ?x=3, ?y=2x, 由? 解得? 2 ? ?x+y=2, ?y=3. 1 2 8 ∴阴影部分的面积 S1=4×( ×2× )= , 2 3 3 S1 1 ∴所求概率为 P= = . S 3 14.(2014· 辽宁抚顺二中期中)在可行域内任取一点,其规则如流程图所示,则能输出数对 (x,y)的概率是( )

4

π A. 8 π C. 6 [答案] B

π B. 4 π D. 2

π [解析] 画出可行域如图所示,正方形内部面积为 2,圆内部面积为 ,由几何概型的概率 2 π 2 π 公式得 P= = . 2 4

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二、填空题 15.(文)在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 S-APC 的体积 V 大于 的概率是________. 3 [答案] 2 3

VS-APC 1 [解析] 由题意可知 > ,三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 S- VS-ABC 3 APC 的高相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM、BN 分别为 VS-APC S△APC PM 1 PM AP △APC 与△ABC 的高,所以 = = > ,又 = ,所以 BN AB SS-ABC S△ABC BN 3 AP 1 2 > ,故所求的概率为 (即为长度之比). AB 3 3 (理)先后两次抛掷同一枚骰子,将得到的点数分别记为 a、b.将 a、b、5 分别作为三条线 段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________. [答案] 7 18

[分析] 本题有两个要点:一是构成三角形,须满足较小的两个数的和大于第三个数;二 是构成等腰三角形,须有两个数相等. [解析] 基本事件的总数为 6×6=36. ∵三角形的一边长为 5, ∴当 a=1 时,b=5 符合题意,有 1 种情况; 当 a=2 时,b=5 符合题意,有 1 种情况; 当 a=3 时,b=3 或 5 符合题意,即有 2 种情况; 当 a=4 时,b=4 或 5 符合题意,有 2 种情况; 当 a=5 时,b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意,即有 6 种情况; 当 a=6 时,b=5 或 6 符合题意,即有 2 种情况. 故满足条件的不同情况共有 14 种,所求概率为 14 7 P= = . 36 18 16 . (2014· 河 南 南 阳 三 联 ) 已 知 f(x) , g(x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g(x)≠0 , f?1? f?-1? 5 5 f ′(x)g(x)<f(x)g′(x), f(x)=axg(x), + = , 则关于 x 的方程 abx2+ 2x+ =0(b∈(0,1)) 2 g?1? g?-1? 2 有两个不同实根的概率为________. [答案] 2 5

f?x? [解析] ∵f(x)=axg(x),∴ =ax, g?x?
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∵f ′(x)g(x)<f(x)g′(x),g(x)≠0, f?x? ∴( )′=(ax)′=axlna<0, g?x? 即 lna<0,∴0<a<1. 又 f?1? f?-1? 5 + = , g?1? g?-1? 2

1 5 1 ∴a+ = ,即 a= . a 2 2 5 ∵关于 x 的方程 abx2+ 2x+ =0(b∈(0,1))有两个不同实根, 2 2 ∴Δ=2-10ab=2-5b>0,即 0<b< , 5 2 5 2 故所求概率为 P= = . 1 5 三、解答题 17.(2014· 西北工业大学附中六模)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4}, 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率; x+y-8≤0, ? ? (2)设点(a,b)是在区域?x>0, 内随机选取的点,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞) ? ?y>0 上是增函数的概率. 2b [解析] (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= , a 2b 要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 ≤1,即 2b≤a. a 若 a=1,则 b=-1;若 a=2,则 b=-1,1;若 a=3,则 b=-1,1. 5 1 ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴所求事件的概率为 P= = . 15 3 (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1, +∞)上为增函数, a+b-8≤0, ? ?? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为??a,b???a>0, ?b>0 ?? ? 区域为三角形部分. a+b-8=0, ? ? 16 8 由? a 得交点坐标为( , ), 3 3 ? ?b=2,

? ?构成所求事件的 ?

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1 8 ×8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2 18.(文)(2015· 安徽省示范高中一联)某学校共有 30 至 50 岁之间的(包括 30 与不包括 50) 数学教师 15 人,其年龄分布茎叶图如图所示,从中选取 3 人参加支教. 茎 3 4 叶 0 2 2 0 1 2 4 4 5 6 4 x 6 7 7

(1)若教师年龄分布的极差为 15,求教师的平均年龄; (2)若选出的 3 人中有 2 名男教师 1 名女教师,将他们分配到两所学校,每校至少有一人, 则 2 名男教师分在同一所学校的概率为多少? [解析] (1)极差为 15,所以 40+x-30=15?x=5. - 30+32+32+34+34+35+36+36+37+37+40+41+42+44+45 X= =37. 15 (2)记两名男教师为 A、B,一名女教师为 a,分配到两校的教师情况如表:基本事件总数 2 1 为 6,2 名男教师分在同一学校的基本事件有 2 个,∴P= = . 6 3 两所学校为甲、乙 甲校 A、B A、a B、a A B a 乙校 a B A B 、a A 、a A、B

(理)(2015· 广州执信中学期中)袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个 小球,每个小球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,则
1 1 1 C3 5C2C2C2 2 P(A)= = . C3 3 10

2 答:一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率为 . 3 (2)由题意 ξ=2,3,4,5,

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2 1 2 C1 1 2C2+C2C2 ∵P(ξ=2)= = , 3 C10 30 1 1 2 C2 2 4C2+C4C2 P(ξ=3)= = , 3 C10 15 1 1 2 C2 3 6C2+C6C2 P(ξ=4)= = , 3 C10 10 1 1 2 C2 8 8C2+C8C2 P(ξ=5)= = . 3 C10 15

∴随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15

1 2 3 8 13 E(ξ)=2× +3× +4× +5× = . 30 15 10 15 5

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