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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 二项式定理



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1.3.1

1.3.1
【学习要求】
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二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【学法指导】 二项式定理是计数原理的一

个应用, 学习中要理解二项式中 的有关元素,利用二项式系数及其性质解决有关问题.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.1

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1.二项式定理
r (a+b)n =C0an+C1an-1b+C2an-2b2+…+Cnan-rbr+… 公式 n n n

+Cnbn (n∈N+) 叫做二项式定理. n
r 2.(a+b)n 展开式共有 n+1 项,其中 各项系数 Cn (r= 0,1,2,…,n) 叫做二项式系数.

3.(a+b)n 展开式的第 r+1 项叫做二项展开式的通项,记作
r n-r r Tr+1= Cna b .

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1.3.1

探究点一
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二项式定理

问题 1

如何利用计数原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4 的展

开式? 答 (a+b)2 是 2 个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每
个(a+b)在相乘时都有两种选择:选 a 或选 b,而且每个(a +b)中的 a 或 b 都选定后,才能得到展开式的一项.由分 步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2 展开式共有 2×2=22 项,而且 a2-rbr 相当于从 2 个(a+b)中取 r 个 b 的 组合数 Cr ,即 a2-rbr 的系数是 Cr . 2 2

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1.3.1

(a+b)2=C0a2+C1ab+C2b2,同理 2 2 2
3 (a+b)3=C0a3+C1a2b+C2ab2+C3b3, 3 3 3

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(a+b)4=C0a4+C1a3b+C2a2b2+C3ab3+C4b4. 4 4 4 4 4

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问题 2

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1.3.1

根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式, 并简要说明每一项
0 1 (a+b)n =C n an +C n an - 1b+…+C r an - rbr +…+C n bn n n

的形成过程.
(n∈N*). 因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选
定后,才能得到展开式的一项,所以展开式共有 2n 项,并且 每一项都是 an-rbr (r=0,1,…,n)的形式. an-rbr 出现的次数相当于从 n 个(a+b)中取 r 个 b 的组合数 Cr ,即 an-rbr 的系数为 Cr . n n

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问题 3


1.3.1

二项式定理展开式的系数、 指数、 项数的特点是什么?
它有 n+1 项,各项的系数 Cr (r=0,1,…,n)叫二项式 n
二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有
(1)字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0,字母 b 按升幂

系数;各项的次数都等于二项式的次数 n.
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问题 4


代表性?
排列,次数由 0 递增到 n;
(2)Cr an-rbr 叫二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,即通项 Tr+1= n Cr an-rbr. n

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例1 1 4 求(3 x+ ) 的展开式. x
? ? ?3 ?

1.3.1

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? ? 1 ?4 ? 0 4 1 3? 1 ? x+ ? =C4(3 x) +C4(3 x) · ?+ 解 方法一 ? x x? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ?3 2 2? 1 ?2 3 4? 1 ?4 C4(3 x) ? ? +C4(3 x)? ? +C4? ? ? x? ? x? ? x? 12 1 2 =81x +108x+54+ + 2. x x ? 1 ?4 ?3x+1?4 方法二 ?3 x+ ? = ? x2 x? ? ? 1 =x2(81x4+108x3+54x2+12x+1) 12 1 2 =81x +108x+54+ + 2. x x

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1.3.1

小结
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在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变

形可使展开多项式的过程得到简化,例如求(1-x)5(1+x+x2)5 的展开式,可将原式变形为(1-x3)5,再展开较为方便.

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? 1?4 求?1+x? 的展开式. ? ?

1.3.1

跟踪训练 1

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方法一

? ? ? ? ? ? ? ?1? 1?4 4 1 1 2 1 2 3 1 3 4 ?1+ ? =1+C4? ?+C4? ? +C4? ? +? ? =1+ x? x ? ?x ? ?x? ?x? ?x?

6 4 1 + 2+ 3+ 4. x x x
方法二
? 1?4 ?1?4 ?1+ ? =? ? (x+1)4 x? ?x? ?

?1? =? x?4[x4+C1x3+C2x2+C3x+1] 4 4 4 ? ?

4 6 4 1 =1+x+x2+x3+x4.

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探究点二 二项展开式的通项

1.3.1

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例 2 (1)求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、 项的系数; ? 1?9 (2)求?x-x? 的展开式中 x3 的系数. ? ? - 解 (1)(1+2x)7 的展开式的第 4 项是 T3+1=C3×17 3×(2x)3= 7
3 C7×23×x3=35×8x3=280x3.

所以展开式的第 4 项的二项式系数是 C3=35,系数是 280. 7
? 1?9 (2)?x-x? 的展开式的通项是 ? ?

1 r 9-r ?- ?r=(-1)rCr x9-2r. C9x 9
?

?

?

x?

根据题意,得 9-2r=3,r=3.
3 因此,x3 的系数是(-1)3C9=-84.

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1.3.1

小结
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(1)要注意展开式的第 r+1 项,对应于二项式系数 Cr ; n

(2)要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系 数是两个不同的概念.有时相等,有时不相等,它们之间没有 必然的联系.

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跟踪训练 2 于 35?
? 1 ?9 (2)?x-x? 的展开式中,含有 ? ?

1.3.1

(1)(1+2x)7 的展开式的第几项的二项式系数等 x6 项吗?若有,系数为多少?含

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有 x5 项吗?若有,系数为多少? 3 4 解 (1)C7=C7 =35,所以第 4 项与第 5 项的二项式系数等
于 35.

(2)根据通项(-1)rCr x9 9

-2r

,当 9-2r=6 时,r 无整数解;

当 9-2r=5 时,解得 r=2,所以系数为 36. 所以展开式中,不含 x6 项,含有 x5 项,系数为 36.

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1.3.1

探究点三 综合应用 1 ? ? ? x- ?n 例 3 已知? 前三项系数的绝对值依次 4 ? 的展开式中, 2 x? ? 成等差数列.
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(1)证明:展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项.
(1)证明
11 2 1 2 ? 由题意得:2Cn·=1+Cn· ? ,

? ? ?2?

2

即 n2-9n+8=0,
∴n=8 (n=1 舍去).
1 ? ? 1? ? ?- ? ∴Tk+1=Ck ( x)8-k· 4 ?k=?-2?k· k x C8 8 ? ? ? ? 2 x? k 16-3k kC8 (-1) 2k · 4 (0≤k≤8,k∈Z). x
8-k k 2 · -4 = x

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16-3k 若 Tk+1 是常数项,则 =0,即 16-3k=0, 4 ∵k∈Z,这不可能, ∴展开式中没有常数项;
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1.3.1

(2)解

由(1)知,若 Tk+1 是有理项,

16-3k 当且仅当 为整数, 4 ∴0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,
即展开式中有三项有理项,分别是: 35 1 -2 T1=x4,T5= x,T9= x . 8 256 小结 根据通项公式求二项展开式的某些项, 要理解并准确应 用项的特征, 合并通项中同一字母的指数; 若通项中含有根式, 可把根式化为分数指数幂.

1.3.1 研一研·问题探究、课堂更高效 ?3 3 ? ? ? 跟踪训练 3 已知在? x- 3 ?n 的展开式中, 6 项为常数项. 第 x? ? (1)求 n;

(2)求含 x2 的项的系数;
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(3)求展开式中所有的有理项.
解 通项公式为
n-k k 3 Tk+1=Cnx

(-3) x

k

-k 3

n-2k k k =Cn(-3) x 3 .

(1)∵第 6 项为常数项, n-2k ∴k=5 时有 3 =0,即 n=10. n-2k 1 (2)令 3 =2,得 k=2(n-6)=2,

∴所求的系数为 C2 (-3)2=405. 10

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?10-2k ? ∈Z 3 ? (3)根据通项公式,由题意得? , 0≤k≤10 ? ?k∈Z ? 10-2k 3 令 =r (r∈Z),则有 10-2k=3r,即 k=5- r. 3 2 ∵k∈Z 且 0≤k≤10,∴r 应为偶数.
∴r 可取 2,0,-2,即 k 可取 2,5,8.
∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项, 它们分别为 C2 (-3)2x2,C5 (-3)5,C8 (-3)8x-2. 10 10 10

1.3.1

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1.3.1

2 160a4b2 1.求(2a+3b) 的展开式中的第 3 项为________.
6

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4 860 2.求(3b+2a)6 的展开式中的第 3 项的系数为________,

15 二项式系数为________.

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1.3.1

3.已知(ax+1)7(a≠0)的展开式中,x3 的系数是 x2 的系数与 x4 10 1± 5 的系数的等差中项,则 a 的值为________.
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解析

4 依题意 C5a2+C3a4=2C7a3. 7 7

由于 a≠0,整理得 5a2-10a+3=0, 10 解得 a=1± . 5

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? 4.求?2 ? ?

1.3.1

1 ?6 x- ? 的展开式. x? ?

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先将原式化简,再展开,得 ? 1 ?6 ?2x-1?6 1 ? ? 2 x- ? =? = 3(2x-1)6 ? x? ? x ? x ? ? ? ? 1 2 3 6 = 3[(2x)6-C1(2x)5+C6(2x)4-C6(2x)3+C4(2x)2-C5(2x)1+C6] 6 6 6 x 60 12 1 3 2 =64x -192x +240x-160+ - 2 + 3. x x x



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1.3.1

1.注意区分项的二项式系数与系数的概念.
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2.要牢记 Cr an rbr 是展开式的第 r+1 项,不要误认为是第 n r 项. 3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数,根据 具体要求,令其为特定值.





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