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3.1.2导数的概念教案


导数的概念 课前预习学案
预习目标:什么是瞬时速度,瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。 预习内容: 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 r (V ) ?
3

3V ,求当空气容量 V 从 0 增加到 1 时,气 4?

球的平均膨胀率. 2:高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为: h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 . 求在 1 ? t ? 2 这段时间里,运动员 的平均速度. 3:求 2 中当 t=1 时的瞬时速度。 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1、会用极限给瞬时速度下精确的定义;并能说出导数的概念。 2. 会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度. 学习重难点: 1、导数概念的理 解;2、导数的求解方法和过程;3、导数符号的灵活运用 二、学习过程 合作探究 探究任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探 究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f , ? lim ? x ? 0 ?x ?x 我 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 , 记 作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 即
得导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

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?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲 ?x 线 y ? f ( x) 上 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 及 点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) ) 的 割 线 斜 率

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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率, ?x ?0 ?x 它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x0 ) ? lim
/

小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 0 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 总结:函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度 小结: 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 第二步:求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x
?x ?0

第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim

?y . ?x

有效训练 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小球 在 t ? 5 时的瞬时速度 反思总结: 这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念, 它是用平均速度的极限来定义的, 主要
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记住公式:瞬时速度 v= lim 当堂检测

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t ?0 ?t

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1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B. 在 t 时刻时该物体的瞬时速度;
2



C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1 3. 在 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x



A.大于 0 B.小 于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 2 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k

课后练习与提高
1. 高台跳水运动中, ts 时运动员相对于水面的高度是: h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 (单位: m),求 运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况. 2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s)的关系可用 1 函数 s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 U ? mv 2 . 求物体开始运动后第 5s 时的动能. 2

3.1.2 导数的概念教案 【教学目标】 :1、会用极限给瞬时速度下精确的定义;并能说出导数的概念。
2. 会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度.

【教学重难点】 :
教学重点:1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 教学难点:导数概念的理解

【教学过程】 : 情境导入:
高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为:
h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 .通过上一节的学习,我们可以求在某时间段的平均速度。这节课我

们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度,例当 t=1 时的瞬时速度。

展示目标:略 检查预习:见学案 合作探究:
任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知 : 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f , ? lim ? x ? 0 ?x ?x 我 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 , 记 作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 即
得导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim
?x ?0

f ' ( x0 ) ? y'|x? x0 ? _________________________________
注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在
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(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

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?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线 ?x y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率, ?x 它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x0 ) ? lim
/ ?x ?0

小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

精讲精练:
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果
0

在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求 ( 3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度
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有效训练:练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小球 在 t ? 5 时的瞬时速度
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反 馈测评:见学案 板书设计:略 作业布置:略

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