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高考数学题型全归纳:求递推数列通项的特征根法与不动点法(含答案)



求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1 , a2 ? m2 , an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p, q 是常数) 的二阶递推数列都可用特征根法求 得通项 an ,其特征方程为 x ? px ? q …①
2

若①有二异根

? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1 , c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an . 例 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 解:其特征方程为 x 2 ? 3 x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,

?c1 ? 1 ?a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, a ? c ? 4 c ? 3 c ? ? 2 1 2 2 ? ? 2

? an ? 1 ? 2n ?1 .

例 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an ? 2 ? 4an ?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an .

1 ?1? 解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
2

n

1 ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? ? 1 ? ?c1 ? ?4 ? 2 由? ,得 ? , c ? 6 1 ? 2 ?a ? (c ? 2c ) ? ? 2 2 1 2 ? ? 4
二、形如 an ? 2 ?

? an ?

3n ? 2 . 2n ?1

Aan ? B 的数列 Can ? D Aan ? B , a1 ? m, n ? N * ( A, B, C , D 是常数且 C ? 0, AD ? BC ? 0 ) Can ? D
Ax ? B 2 ,变形为 Cx ? ( D ? A) x ? B ? 0 …② Cx ? D

对于数列 an ? 2 ?

其特征方程为 x ?

若②有二异根 ? , ? ,则可令

an ?1 ? ? a ?? (其中是待定常数) ,代入 a1 , a2 的值可 ? c? n an ?1 ? ? an ? ?

求得值. 这样数列 ?

? an ? ? ? a1 ? ? ,公比为的等比数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?
1 1 ,代入 a1 , a2 的值 ? ? c (其中是待定常数) an ?1 ? ? an ? ?

若②有二重根 ? ? ? ,则可令 可求得值. 这样数列 ?

?

1 ? 1 ,公差为的等差数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 an ? ? ? an ? ? ?

此方法又称不动点法. 例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

an ?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an ?1 ? 1

解: 其特征方程为 x ? 由 a1 ? 2, 得 a2 ?

a ?1 a ?1 x?2 , 化简得 2 x 2 ? 2 ? 0 , 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1 , 令 n ?1 ? c? n 2x ?1 an ?1 ? 1 an ? 1

4 1 ,可得 c ? ? , 5 3
n ?1

? a ? 1? a ?1 1 ? 1 ? a1 ? 1 1 1 ? ?? ? ? , 数列 ? n ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列,? n ? 是以 an ? 1 3 ? 3 ? 3 a1 ? 1 3 ? an ? 1 ?

? an ?

3n ? (?1) n . 3n ? (?1) n
2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 4an ? 6

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 解: 其特征方程为 x ?

2x ?1 1 1 1 , 即 4x2 ? 4 x ?1 ? 0 , 解得 x1 ? x2 ? ? , 令 ? ?c 1 1 4x ? 6 2 an ?1 ? an ? 2 2 3 由 a1 ? 2, 得 a2 ? ,求得 c ? 1 , 14 ? ? ? 1 ? 1 2 数列 ? ? 为首项,以为公差的等差数列, ? 是以 1 1 5 ? an ? ? a1 ? ? 2? 2 1 2 3 ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , 1 5 5 an ? 2 13 ? 5n . ? an ? 10n ? 6



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