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江西省南昌市第二中学学高二数学下学期第二次月考试题理-课件



南昌二中 2015—2016 学年度下学期第二次月考 高二数学(理)试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 若 Am ? 6Cm ,则 m 等于(
3 4



A.5 B.6 C.7 D.8 2. 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团只能任选其中一条,则不同的 选择

方法有( )种. A.24 B.48 C.64 D.81 3.下列命题中是错误命题的个数有( ) ①对立 事件一定是互斥事件; ②A、B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A、B、C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. A.0 B.1 C.2 D. 3 4. 设随机变量 X 的概率分布列为

则 P(| X ? 3 |? 1) ? ( ) 7 5 1 1 A. B. C. D. 12 12 4 6 5. 已知 l1 , l2 是两条不同的直线, ? 是一个平面,①若 l1 // l2 , l2 ? ? ,则 l1 // ? ;②若

l1 // ? , l2 ? ? , 则 l1 // l2 ; ③若 l1 ? l2 , l2 ? ? , 则 l1 ? ? ; ④若 l1 ? l2 , l2 ? ? , 则 l1 // ? ; ⑤若 l1 ? ? , l2 ? ? ,则 l1 // l2 ;则以上说法正确的是( )
)

A.①②③④⑤ B.②③④⑤ C.③④⑤ D.⑤ 6.种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为 p 和 q,则恰有一株存 活的概率为 ( A.p+q-2pq B.p+q-pq C.p+q D.pq 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

A. 4?

B. 4 3

C. 2?

D. 2 3
1

8. 篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两个球,记事件 A=“取出的两个球颜色不同”,事件 B=“取出一个红球,一个白球”,则 P ( B | A) ? ( ) A.

1 6
1 x

B.

3 13

C.

5 9

D.

2 3


5 9. (ax ? )(2 x ? 1) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数为 (

A.-20 B.-10 C.10 D.20 P ? ABC 10. 已知球 O 为三棱锥 的外接球,其半径为 2,PA 为球 O 的直径, ?ABC 边 长为 2 的正三角形, 则三棱锥 P ? ABC 的体积( ) A.

4 2 3

B.

2 2 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

11. 在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作, 每所医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名 医生也不安排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为( ) A.36 B.72 C.84 D.108 12. 已知点 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直 a 2 b2 线 l 与双曲线 C 左右两支分别交于点 A, B 两点,若 AB : BF 2 : AF 2 ? 3 : 4 : 5 ,则双
曲线的离心率为( )

A. 2 B. 4 C. 13 D. 15 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字 小的数叫做“渐降数”,则上述四位数中“ 渐降数”的个数为 ; 14.直二面角 α ? l? β 的棱 l 上有一点 A, 在平面 α ,β 内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°, 则∠BAC=_____. 15.一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能 正确回答每题的概率均为 概率为 .

2 ,规定有两次回答正确即通过面试,那 么该生“通过面试”的 3
1 AB ,则 2

2 16.已知点 P( ?2,0) 的直线与抛物线 C : y ? 4 x 相交于 A, B 两点,且 PA ?

点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 ; 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题 10 分) 俗话说“三个臭皮匠, 顶个诸葛亮”! “皮匠”实际上是“裨将”的谐音, “裨将” 在古代指“副将”, 原意是指三个副将的智慧能顶一个诸葛亮, 民间流传中被说成了“皮 匠”。现有三个臭裨将老大、老二、老三,老大独自指挥战斗,胜负各半;老二较之老 大略拙,其独自指挥战斗,百场胜者有四十五场;老三更次之,其独自指挥战斗,十场 胜者只有四;而诸葛亮独自指挥战斗,五场即胜四场。现由老大、老二、老三组成臭裨 将联队一起指挥战斗,且相互之间无任何影响,问臭裨将联队获胜的可能性能否高于诸
2

葛亮?

18 .(本小题 10 分) 已知 ( ? 2 x ) .
n

1 2

(I)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 式系数最大项的 系数; (II)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.(说明:
7 C14 ? 3432)

19. (本小题 10 分)
2 已知集合 M ? {1,2,3,4} , N ? {x x ? ax ? b ? 0, a ? M , b ? M }

.

(I)求 N 为单元素集,且满足 N ? M 的概率; (II)若满足 M ? N ? N ,求集合 N 中元素个数 X 的分布列.

20. (本小题 10 分) 如图,在梯形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 , 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值.
?

3

21. (本小题 10 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 O : x2 ? y 2 ? 4 , 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) ,点 A 为椭圆右顶点,过原点的直线交椭圆于 B, C 两点,且 4 b2 B, C 不在坐标轴上,直线 BC 与圆 O 的另一个交点为 P ,直线 PD 与圆 O 的另一个交点 6 1 为 Q ,其中 D ( ? ,0) . 设直线 AB , AC 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1k 2 ? ? . 5 4 (I) 求椭圆 M 的方程; (II)设直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ,是否存在常数 ? ,使得 kPQ ? ?kBC ?若 存在,请求出 ? ;若不存在,给出理由. M:

22. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? m ln x ? 2 .( ln 2 ? 0.7, ln 5 ? 1.609 ).
2

(I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)设 m ? Z ,若不等式 f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3 对 x ? [1,??) 恒成立,求 m 的最大 值.

4

南昌二中 2015—2016 学年度下学期第二次月考 高二数学(理)试卷参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.D 11.C 12.C 二、填空题 13.15 14. 60°或 120°. 15.

4.B

5.D

6.A

7.B

8.B

9.C

10A

20 27

16.

5 3

三、解答题 17.解: 设“臭裨将老大独 自指挥战斗获胜”为事件 A, “臭裨将老二独自指挥战斗获胜” 为事件 B,“臭裨将老三独自指挥战斗获胜”为事件 C,“诸葛亮指挥战斗获胜”为事件 D,则 P(A)=0.5,P(B)=0.45,P(C)=0.4,P(D)=0.8,且 A,B,C,D 彼此相互独立。 则由老大、老二、老三组成臭裨将联队获胜的概率为

P( ABC ? A BC ? AB C ? ABC ? A B C ? AB C ? A BC ) ? 1 ? P( A B C ) ? 1 ? P( A ) ? P( B ) ? P(C ) ? 1 ? (1 ? P( A))(1 ? P( B))(1 ? P(C )) ? 1 ? (1 ? 0.5)(1 ? 0.45)(1 ? 0.4) ? 1 ? 0.5 ? 0.55? 0.6 ? 0.835 ? 0.8
∴臭裨将联队获胜的可能性高于诸葛亮.
4 6 5 18.解:(1)∵ Cn ,∴ n ? 21n ? 98 ? 0 .∴ n ? 7或n ? 14 , ? Cn ? 2Cn
2

当 n ? 7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4和T5 .

35 4 1 3 4 , T5 的系数为 C7 ( ) 2 ? 70 . 2 2 当 n ? 14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8 . 7 1 7 7 ∴ T8 的系数为 C14 ( ) 2 ? 3432 . 2 2 0 1 2 (2)∵ Cn ? Cn ? Cn ? 79,∴ n ? n ? 156 ? 0 .∴ n ? 12或n ? ?13(舍去) , 1 1 12 12 12 设 Tk ?1 项的系数最大,∵ ( ? 2 x ) ? ( ) (1 ? 4 x ) , 2 2 k k k ?1 k ?1 ? ?C12 4 ? C12 4 , ∴? k k 解得: 9.4 ? k ? 10.4 ,又∵ k ? N ,∴ k ? 10 . k ?1 k ?1 ? C 4 ? C 4 . 12 ? 12
∴ T4 的系数为 C7 ( ) 2 ?
3 4 3

1 2

5

∴展开式中系数最大的项为 T11, T11 ? C12 ? ( ) ? 2 ? x
10 2 10

1 2

10

? 1689 x10 .

19. 解:(1)由 N 为单元素集,则 ? ? a ? 4b ? 0 , ∵ a ? M , b ? M , M ? {1,2,3,4} ,则 a , b 有 4 ? 4 ? 16 种选择方法,
2

要使得 ? ? a ? 4b ? 0 ,则必须 a ? 2, b ? 1或a ? 4, b ? 4 ,
2

当 a ? 2, b ? 1 时,集合 N ? {1} ? M ,符合题意; 当 a ? 4, b ? 4 时,集合 N ? {2} ? M ,符合题意. ∴满足 N 为单元素集,且满足 N ? M 的概率 P 1 ?

(2)要满足 M ? N ? N ,即 N ? M ,则集合 N 中元素个数 X 可能的取值为 0,1,2.
2 ?当 X ? 0 时, 即 N ?? , 此时 ? ? a ? 4b ? 0 , 当 a ? 1 时,b 有 4 种取法; 当 a ? 2 时,

2 1 ? . 16 8

b 有 3 种取法;当 a ? 3

时, b 有 2 种取法;当 a ? 4 时, b 有 0 种取法,;

2 1 ? ; 16 8 2 ?当 X ? 2 时,即 N 为双元素集,此时 ? ? a ? 4b ? 0 ,当 a ? 3 时, b 可以取 1,2, 有 2 种取法;当 a ? 4 时, b 可以取 1,2,3,有 3 种取法, 2 2 但当 a ? 3, b ? 1 时,方程 x ? ax ? b ? 0 即为 x ? 3x ? 1 ? 0 ,显然无整数解,不符合 N ? M ,舍去 ; 2 2 当 a ? 3, b ? 2 时,方程 x ? ax ? b ? 0 即为 x ? 3x ? 2 ? 0 , N ? {1,2} ? M ,符合题
?当 X ? 1 时,即 N 为单元素集,由(1)知, P( X ? 1) ? 意; 同理,当 a ? 4, b ? 1或2 时,亦不符合题意,舍去; 唯有当 a ? 4, b ? 3 时,方程 x ? ax ? b ? 0 即为 x ? 4 x ? 3 ? 0 , N ? {1,3} ? M ,符合
2 2

题意; 由此可知, a , b 共有 13 种取值方式,使得满足 M ? N ? N , ∴ P( X ? 0) ?

4?3? 2 9 2 2 ? , P ( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , 13 13 13 13

故 X 的分布列如下所示 X 0 1 2

6

P

9 13

2 13

2 13

20.(Ⅰ)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? 四边形 ABCD 是等腰梯形,且

?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC 又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平
面 ACFE ???4 分
D

F M E

C

N 3 a 时, AM // 平面 BDF , (Ⅱ)当 EM ? 3 B A 在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2 3 ? EM ? a ,而 EF ? AC ? 3a 3 ? EM : MF ? 1 : 2 , ? MF // AN , ? AM // NF ? 四边形 ANFM 是平行四边形, 又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , F (0,0, a) , E( 3a,0, a)

? FB ? (0, a,? a )

?

EF ? (? 3a, 0, 0)

DF ? (?

3a a , , a) 2 2

平面 BEF 的法向量 m ? (0, 1, 1) ,平面 EFD 的法向量 为 n =(0,-2,1),

7

所以

cos ? m , n ??

m?n | m|?| n |

??

10 10
10 . 10

又∵二面角 B-EF-D 的平面角为锐角,即 B ? EF ? D 的的余弦值为

21.

22.解:(1)因为 f ( x ) ? ?2 x ?
'

m ? 2 x2 ? m ? x x

' ∴ 当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数;

8

当 m ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 得 x ? (0,

m m ) ; f ' ( x) ? 0 得 x ? ( ,??) , 2 2

函数 f ( x ) 在 (0, (2) 设

m m ) 上为增函数,在 ( ,??) 上为减函数. 2 2
m ? 5, x ? 1 , 则 x

g ( x ) ? f ( x ) ? f ' ( x ) ? 4 x ? 3 ? m ln x ? x 2 ? 2 x ?

g (1) ? 2 ? m ? 0 ? m ? 2

m m m 2 2( x ? 1)( ? x )( ? x) 2 ( x ? 1 )( ? x ) m m ( x ? 1)(m ? 2 x ) 2 2 2 g ' ( x) ? ? 2 x ? 2 ? 2 ? ? ? ,x ?1 x x x2 x2 x2
2

结合

m m m ? 1 ,函数 f ( x ) 在 (1, ) 上为增函数,在 ( ,??) 上为减函数. 2 2 2

g max ( x ) ? g (

m m m m m m m m ) ? m ln ? ?2 ? ? 5 ? ln ? ? 2 2m ? 5 ? 0 2 2 2 2 2 2 2 m 2
m ? [1,?? ) ,解出不等式 h(t ) ? 0 2

设 h(t ) ? t ln t ? t ? 4 t ? 5 , h(1) ? 0 ,此时利用 t ? 的解集

h ' (t ) ? ln t ? 1 ? 1 ?

1 1 2 2 '' ? 0, ? ln t ? , h (t ) ? ? t t t t t

结合 h' (2) ? ln 2 ? 2 ? 0, h' (4) ? ln 4 ? 1 ? 0 , ?t0 ? (2,4) , h (t ) 在 [1, t0 ) 为减函数,

(t0 ,??) 。
又因为 h(4) ? 4 ln 4 ? 4 ? 4 4 ? 5 ? 8 ln 2 ? 7 ? 0 ,

9 9 9 9 9 1 1 h( ) ? 4 ln ? ? 4 ? 5 ? 4 ln ? ? 6 2 ? 4 ln 5 ? ? 6 2 ? 7 ? 6 2 ? 49 ? 72 ? 0 , 2 2 2 2 2 2 2
9

h(5) ? 5ln 5 ? 5 ? 4 5 ? 5 ? 5ln 5 ? 4 5 ? 5 ?1.6 ? 80 ? 81 ? 80 ? 0 ,
所以结合 t ?

m , m 的最大值为 9 。 2

10



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