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重庆一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


重庆一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 2 1. (5 分)设集合 A={x|x+2=0},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩B=() A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 2. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B.0 C .1 ,则 f(﹣1)=() D.2

3. (5 分)已知 α 是第四象限的角,若 cosα= ,则 tanα=() A. B.﹣ C. D.﹣

4. (5 分)如图,在正六边形 ABCDEF 中,

+

+

等于()

A.0
x

B.

C.

D.

5. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣3 在区间(0,1)内的零点个数是() A.3 B.2 C .1 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ< 解析式是()

D.0

)的部分图象如图所示,则 f(x)的

A.f(x)=2sin(2x+ D.f(x)=2sin(x+

) )

B.

f(x)=2sin(x+



C. f(x)=2sin(2x+



7. (5 分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为() A.y=cosx B.y=ln|x| C.y= D.y=tan2x

8. (5 分)设 a=tan35°,b=cos55°,c=sin23°,则() A. a>b>c B.b>c>a 9. (5 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈

C. c>b>a D. c>a>b B. C. D.

二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. (5 分)tan =.

12. (5 分) 如图所示, 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 点 M 是线段 OD 的中点, 设 = ,则 =. (结果用 , 表示)

= ,

13. (5 分) (lg25﹣lg )÷100

=.

14. (5 分)求值:

=.

15. (5 分)设 g(x)=x﹣1,已知 f(x)= 的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,则 x1 +x2 +x3 的取值范围是.
2 2 2

,若关于 x

三.解答题.(本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (13 分)已知 <α<π,tanα﹣ =﹣ .

(Ⅰ)求 tana 的值;

(Ⅱ)求

的值.

17. (13 分)平面内给定三个向量 =(3,2) , =(﹣1,2) , =(4,1) . (Ⅰ)设向量 = + , 且| |= ,求向量 的坐标;

(Ⅱ) 若( +k )∥(2 ﹣ ) ,求实数 k 的值.
x

18. (13 分)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在区间上的最大值是最小值的 8 倍. (Ⅰ)求 a 的值; 2 (Ⅱ)当 a>1 时,解不等式 loga(2a+2x)<loga(x +1) . 19. (12 分)已知函数 g(x)=4sin(ωx+ ) ,h(x)=cos(ωx+π) (ω>0) . 个单位得到函数 y=p(x)的图象,求函数 y=p(x)的

(Ⅰ)当 ω=2 时,把 y=g(x)的图象向右平移

图象的对称中心坐标; (Ⅱ)设 f(x)=g(x)h(x) ,若 f(x)的图象与直线 y=2﹣ 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间. 20. (12 分)已知函数 f(x)=log2(4 +1)+mx. (Ⅰ)若 f(x)是偶函数,求实数 m 的值;
x

的相邻两个交点之间的距离为 π,求 ω

(Ⅱ)当 m>0 时,关于 x 的方程 f(8(log4x) +2log2 + ﹣4)=1 在区间上恰有两个不同的实数解,求 m 的范围. 21. (12 分)已知定义在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)函数满足:①f(4)=1;②对任意 x>2 均有 f(x) >0;③对任意 x>1,y>1,均有 f(x)+f(y)=f(xy﹣x﹣y+2) . (Ⅰ)求 f(2)的值; (Ⅱ)证明:f(x)在(1,+∞)上为增函数; (Ⅲ)是否存在实数 k,使得 f(sin2θ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k)<2 对任意的 θ∈恒成立?若存在,求出 k 的范围;若不存在说明理由.

2

重庆一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题.(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 2 1. (5 分)设集合 A={x|x+2=0},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩B=() A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求出两集合中方程的解,确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集.

解答: 解:由 A 中的方程 x+2=0,解得 x=﹣2,即 A={﹣2}; 由 B 中的方程 x ﹣4=0,解得 x=2 或﹣2,即 B={﹣2,2}, 则 A∩B={﹣2}. 故选 A 点评: 此题考查了 交集及其运算,熟练掌 握交集的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B. 0 C. 1

,则 f(﹣1)=() D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1) ,即可求得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)=x + , ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选 A. 点评: 本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.
2

3. (5 分)已知 α 是第四象限的角,若 cosα= ,则 tanα=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为第四象限角,以及 cosα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 s inα 的值,即可确定 出 tanα 的值. 解答: 解:∵α 是第四象限的角,若 cosα= , ∴sinα=﹣ 则 tanα= =﹣ , =﹣ ,

故选:D. 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

4. (5 分)如图,在正六边形 ABCDEF 中,

+

+

等于()

A.0

B.

C.

D.

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用正六边形 ABCDEF 的性质,对边平行且相等得到向量相等或者相反,得到所求为 0 向量. 解答: 解:因为正六边形 ABCDEF 中,CD∥AF,CD=AF,所以 + + = + + = ;

故选 A. 点评: 本题考查了向量相等以及向量加法的三角形法则,属于基础题. 5. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣3 在区间(0,1)内的零点个数是() A.3 B. 2 C. 1 D.0 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=3 +x﹣3 在区间(0,1)上连续且单调递增,利用函数零点的判定定理求解即可. x 解答: 解:函数 f(x)=3 +x﹣3 在区间(0,1)上连续且单调递增, 又∵f(0)=1+0﹣3=﹣2<0, f(1)=3+1﹣3=1>0; ∴f(0)?f(1)<0; x 故函数 f(x)=3 +x﹣3 在区间(0,1)内有一个零点, 故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理的应用及函数的单调性的应用,属于基础题.
x x

6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ< 解析式是()

)的部分图象如图所示,则 f(x)的

A.f(x)=2sin(2x+ f(x)=2sin(x+ )



B.f(x)=2sin(x+

) C. f(x)=2sin(2x+

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 根据图象确定 A,ω 和 φ 的值即可求函数的解析式 解:由图象知函数的最大值为 2,即 A=2, )=2 ,

函数的周期 T=4(

解得 ω=1,即 f(x)=2sin(x+φ) ,

由五点对应法知 解得 φ= ,

+φ=π,

故 f(x)=2sin(x+

) ,

故选:B 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,根据条件确定 A,ω 和 φ 的值是解决本题的关键.要要求熟练 掌握五点对应法. 7. (5 分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为() A.y=cosx B.y=ln|x| C.y= D.y=tan2x

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据余弦函数的单调性,对数函数的单调性,偶函数、奇函数的定义即可判断每个选项的正误. 解答: 解:A.y=cosx 在(1,2)是减函数,所以 A 错误; B.显然 y=ln|x|是偶函数,且在(1,2)内是增函数,所以 B 正确; C.显然函数 是奇函数,所以该选项错误;

D.tan﹣2x=﹣tan2x,所以该函数是奇函数,所以该选项错误. 故选 B. 点评: 考查余弦函数的单调性,对数函数的单调性,以及奇函数、偶函数的定义. 8. (5 分)设 a=tan35°,b=cos55°,c=sin23°,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a

D.c>a>b

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的诱导公式结合三角函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 sin35°>sin23°, 即 b>c, 而 a=tan35°= >sin35°=b,

∴a>b>c, 故选:A 点评: 本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题. 9. (5 分)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈ B. C. 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. D.

分析: 化简得出令

=m,则 1+sinx=2m﹣mcosx,sinx+mcosx=2m﹣1,

φ)=2m﹣1 得 sin(x+φ)= ,由 ≤1,

解得 0

,利用函数性质求解 f(m)=

单增,

解答: 解:f(x)=

=﹣

=

=﹣

=



=m,则 1+sinx=2m﹣mcosx,sinx+mcosx=2m﹣1, φ)=2m﹣1 得

sin(x+φ)=

,由

≤1,

解得 0

,f(m)=

单增,

值域为 点评: 本题考察了函数的性质,换元法求解问题,属于难题,计算量较大. 二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. (5 分)tan =﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:tan 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. =tan(π﹣ )=﹣tan =﹣ .

12. (5 分) 如图所示, 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 点 M 是线段 OD 的中点, 设 = ,则 = . (结果用 , 表示)

= ,

考点: 向量的三角形法则. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则、向量共线定理可得 得出. 解答: 解: 故答案为: + . = = = . + = = ,即可

点评: 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理,属于基础题.

13. (5 分) (lg25﹣lg )÷100

=20.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则和有理数的公式进行化简即可. 解答: 解: (lg25﹣lg )÷100 =(lg100)× =2×10=20,

故答案为:20. 点评: 本题主要考查有理数的化简,比较基础. 14. (5 分)求值: =1.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先把原式中切转化成弦,利用两角和公式和整理后,运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答 案. 解答: 解:原式=sin50°? =cos40° = = =1

故答案为:1 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值,以及两角和公式,诱导公式和二倍角公式的 化简求值.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

15. (5 分)设 g(x)=x﹣1,已知 f(x)=
2 2 2

,若关于 x

的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,则 x1 +x2 +x3 的取值范围是(

,1) .

考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 化简 f(x)=
2 2 2

,从而作出其图象,结合图象可得 0<m< ,从而分别讨论 x1,

x2,x3,再令 y=x1 +x2 +x3 =

+1﹣2m,化简并利用换元法求取值范围即可.

解答: 解:∵g(x)=x﹣1,f(x)=



f(x)=



即 f(x)= 作出其图象如下,



若方程 f(x)=m 有三个根, 则 0<m< , 且当 x>0 时,方程可化为﹣x +x﹣m=0, 易知,x2+x3=1,x2x3=m; 2 当 x≤0 时,方程可化为 x ﹣x﹣m=0, 可解得 x1= 记 y=x1 +x2 +x3 = =﹣ m﹣ 令 t= + ; ∈(1, ) ,
2 2 2 2

; +1﹣2m

则 y=﹣

t ﹣ t+

2

, ,1) . ,1) .

解得,y∈( 故答案为: (

点评: 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,同时考查了换元法的应用及方程的根与函数 的图象的交点的关系应用,属于中档题. 三.解答题.(本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. (13 分)已知 <α<π,tanα﹣ =﹣ .

(Ⅰ)求 tana 的值;

(Ⅱ)求

的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)设 tanα=x,已知等式变形后求出方程的解确定出 x 的值,即可求出 tana 的值; (Ⅱ)原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间基本关系变形,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)令 tanα=x,则 x﹣ =﹣ ,即 2x +3x﹣2=0, 解得:x= 或 x=﹣2, ∵ <α<π,∴tanα<0,
2

则 tanα=﹣2; (Ⅱ)原式= =tanα+1=﹣2+1=﹣1.

点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

17. (13 分)平面内给定三个向量 =(3,2) , =(﹣1,2) , =(4,1) . (Ⅰ)设向量 = + ,且| |= ,求向量 的坐标;

(Ⅱ) 若( +k )∥(2 ﹣ ) ,求实数 k 的值.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)根据向量的坐标运算以及模长公式,求出 λ 的值即可; (Ⅱ)根据向量平行的坐标表示,列出方程,即可求出 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵向量 =(3,2) , =(﹣1,2) ,

∴ = 又| |= ∴

+ , =

=(



)+(﹣



)=(λ,3λ) ;



解得 λ=±1, ∴ =(1,3)或 =(﹣1,﹣3) ; (Ⅱ)∵ +k =(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k) , 2 ﹣ =2(﹣1,2)﹣(3,2)=(﹣5,2) ; 且( +k )∥(2 ﹣ ) , ∴2×(3+4k)﹣(﹣5)×(2+k)=0, 解得 k=﹣ .

点评: 本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了向量平行与求向量模长的问题,是基础题目. 18. (13 分)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在区间上的最大值是最小值的 8 倍. (Ⅰ)求 a 的值; 2 (Ⅱ)当 a>1 时,解不等式 loga(2a+2x)<loga(x +1) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)分类讨论当 a>1 时,当 0<a<1 时,求出最大值,最小值,即可求解答案. (Ⅱ)转化 log2(4+2x)<log2(x +1)得出得出不等式组
2 x



求解即可

解答: 解:f(x)max=a ,f(x)min=a ,则

2

﹣1

=a =8,解得 a=2;

2

当 0<a<1 时,f(x)=max=a ,f(x)min=a ,则 故 a=2 或 a=

﹣1

2

=a =8,解得 a= ;

﹣3

(Ⅱ) 当 a >1 时,由前知 a=2,不等式 loga(2a+2x)<loga(x +1) 即得解集为(﹣2,﹣1)∪(3,+∞) . 点评: 本题考察了指数函数的性质,分类讨论的思想 ,属于中档题,关键是分类得出方程,不等式组.

2

19. (12 分)已知函数 g(x)=4sin(ωx+

) ,h(x)=cos(ωx+π) (ω>0) . 个单位得到函数 y=p(x)的图象,求函数 y=p(x)的

(Ⅰ)当 ω=2 时,把 y=g(x)的图象向右平移

图象的对称中心坐标; (Ⅱ)设 f(x)=g(x)h(x) ,若 f(x)的图象与直线 y=2﹣ 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间.

的相邻两个交点之间的距离为 π,求 ω

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由题意,先求得:p(x)=4sin(2x+ 的对称中心坐标; (Ⅱ)先求得解析式 f(x)=2sin(2 ωx﹣ 增函数,则需 y=2sint﹣ 间. 解答: 解: (Ⅰ)当 ω=2 时,g(x)=4sin(2x+ p(x)=4sin(2x+ ) ,令 2x+ =kπ,得 x=﹣ + ) ,g(x﹣ )=4sin(2x﹣ + + )=4sin(2x+ ) , )﹣ ,由题意 T=π,可解得 ω 的值,令 t=2x﹣ ≤2x﹣ ≤2k 是x的 ) ,令 2x+ =kπ,即可求得函数 y=p(x)的图象

是 t 的增函数,由 2k

,可解得函数 f(x)的单增区

,中心为(﹣

,0) (k∈Z) ;

(Ⅱ)f(x)=4sin(ωx+ =2sinωxcosωx﹣2 由题意,T=π,∴ 令 t=2x﹣ 故 2k
2

) (﹣cosωx)=﹣4cosωx (1+cos2ωx)=2sin(2ωx﹣ )﹣

cos ωx=sin2ωx﹣ =π,ω=1

是 x 的增函数,则需 y=2sint﹣ ≤2x﹣ ≤2k ,2k

是 t 的增函数 ≤2x≤2kπ+ ,k ≤x≤kπ+

函数 f(x)的单增区间是(k∈Z) . 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的图象和性质,属于基础题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=log2(4 +1)+mx. (Ⅰ)若 f(x)是偶函数,求实数 m 的值; (Ⅱ)当 m>0 时,关于 x 的方程 f(8(log4x) +2log2 + ﹣4)=1 在区间上恰有两个不同的实数解,求 m 的范围. 考点: 对数函数的图像与性质;指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据 f(x)是偶函数,建立方程关系即可求实数 m 的值; (Ⅱ)利用对数函数的性质,利用换元法,转化为两个函数的交点问题即可得到结论.
2 x

解答: 解: (Ⅰ) 若 f(x)是偶函数,则有 f(﹣x)=f(x)恒成立,即:log2(4 +1)﹣mx=log2(4 +1) +mx. 于是 2mx=log2(4 +1)﹣log2(4 +1)=log2(
﹣x

﹣x

x

x

)﹣log2(4 +1)=﹣2x,

x

即是 2mx=﹣2x 对 x∈R 恒成立, 故 m=﹣1. x (Ⅱ)当 m>0 时,y=log2(4 +1) ,在 R 上单增,y=mx 在 R 上也单增 x 所以 f(x)=log2(4 +1)+mx 在 R 上单增,且 f(0)=1, 则 f(8(log4x) +2log2 + ﹣4)=1 可化为 f(8(log4x) +2log2 + ﹣4)=f(0) , 又 f(x)单增,得 8(log4x) +2log2 + ﹣4=0,
2 2 2 2

换底得 8(
2

) ﹣2log2x+ ﹣4=0,

即 2(log2x) ﹣2log2x+ ﹣4=0, 令 t=log2x,则 t∈,问题转换化为 2t ﹣2t+ ﹣4=0 在 t∈,有两解, 即 =﹣2t +2t+4, 令 y=﹣2t +2t+4, 则 y=﹣2t +2t+4=﹣2(t﹣ ) + , ∴当 t= 时,函数取得最大值 , 当 t=0 时,函数 y=4, 当 t= 时,函数取得最小值 , 若方程 f(8(log4x) +2log2 + ﹣4)=1 在区间上恰有两个不同的实数解, 则等价为 4≤ < , 解得 <m≤1, 故求 m 的范围为 <m≤1. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及对数函数的应用,利用方程和函数之间的关系,转化为两 个函数的交点问题是解决本题的关键. 21.(12 分)已知定义在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)函数满足:①f(4)=1;②对任意 x>2 均有 f(x) >0;③对任意 x>1,y>1,均有 f(x)+f(y)=f(xy﹣x﹣y+2) . (Ⅰ)求 f(2)的值; (Ⅱ)证明:f(x)在(1,+∞)上为增函数 ;
2 2 2 2 2 2

(Ⅲ)是否存在实数 k,使得 f(sin2θ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k)<2 对任意的 θ∈恒成立?若存在,求出 k 的范围;若不存在说明理由. 考点: 函数恒成立问题;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)将条件③变形得到 f(m+1)+f(n+1)=f(mn+1)对任意 m,n>0 均成立,其中 m=x﹣1, n=y﹣1,令 m=n=1,即可解得 f(2)=0; (Ⅱ)由(Ⅰ) ,将 f(m+1)+f(n+1)=f(mn+1)变形得 f(mn+1)﹣f(n+1)=f(m+1) ,则要证明 f (x)在(1,+∞)上为增函数,只需 m>1 即可.显然当 m>1 即 m+1>2 时 f(m+1)>0; (Ⅲ) 利用条件①②将问题转化为是否存在实数 k 使得 sin2θ﹣ (k﹣4) (sinθ+cosθ) +k< ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k<10 对任意的 θ∈恒成立.再令 t=sinθ+cosθ, t ﹣(k﹣4)t+k﹣1<
2

或 1<sin2θ ,则问题等价于

或 1<t ﹣(k﹣4)t+k﹣1<10 对

2

恒成立.分情况讨论,利用

二次函数的性质即可解题. 解答: 解: (Ⅰ)由条件③可知 f(x)+f(y)=f(xy﹣x﹣y+2) =f =f, 令 m=x﹣1,n=y﹣1, 则由 x>1,y>1 知 m,n>0, 并且 f(m+1)+f(n+1)=f(mn+1)对任意 m,n>0 均成立. 令 m=n=1,即有 f(2)+f(2)=f(2) , 故得 f(2)=0. (Ⅱ)由(Ⅰ) ,将 f(m+1)+f(n+1)=f(mn+1)变形得: f(mn+1)﹣f(n+1)=f(m+1) , 要证明 f(x)在(1,+∞)上为增函数,只需 m>1 即可. 设 x2=mn+1,x1=n+1,其中 m,n>0,m>1, 则 x2﹣x1=n(m﹣1)>0,故 x2>x1, 则 f(x2)﹣f(x1)=f(mn+1)﹣f(n+1)=f(m+1) ,m>1,m+1>2, 所以 f(m+1)>0, 即 f(x2)﹣f(x1)>0, 所以 f(x2)>f(x1) , 即 f(x)在(1,+∞)上为增函数; (Ⅲ)∵由 f(m+1)+f(n+1)=f(mn+1)对任意 m,n>0 均成立,及 f(4)=1 ∴令 m=n=3,有 f(4)+f(4)=f(10) ,即 f(10)=2. 令 m=9,n= ,则 f(9+1)+f( +1)=f(9× +1)=f(2) , 故 f( )=f(2)﹣f(10)=﹣2, )=﹣2, .

由奇偶性得 f(﹣

则 f(x)<2 的解集是

于是问题等价于是否存在实数 k 使得 sin2θ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k< 或 1<sin2θ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k<10 对任意的 θ∈恒成立.

令 t=sinθ+cosθ, t ﹣(k﹣4)t+k﹣1<
2 2

,问题等价于 或 1<t ﹣(k﹣4)t+k﹣1<10 对 对
2

恒成立. 恒成立的

令 g(t)=t ﹣(k﹣4)t+k﹣1,则 g(t)

必要条件是

,即

解得

,此时无解;

同理 1<g(t)<10 恒成立的必要条件是 ,即

解得
2

,即





时,g(t)=t ﹣(k﹣4)t+k﹣1 的对称轴



下面分两种情况讨论: (1)当
2

时,对称轴

在区间 上单调递减, 恒成立,

的右侧,

此时 g(t)=t ﹣(k﹣4)t+k﹣1 在区间 1<g(t)<10 恒成立等价于 故当 (2)当
2

时,1<g(t)<10 恒成立; 时,对称轴 在区间 上先单调递减后单调递增, ,即 , ,解得 ; , 内,

此时 g(t)=t ﹣(k﹣4)t+k﹣1 在区间 1<g(t)<10 恒成立还需 化简为 k ﹣12k+24<0,解得 从而
2

综上所述,存在 ,使得 f(sin2θ﹣(k﹣4) (sinθ+cosθ)+k)<2 对任意的 θ∈恒成立. 点评: 本题考查了抽象函数的运算,单调性,以及函数恒成立问题,需要较强的分析、计算能力,属于 难题.



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