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3.2.1几类不同增长的函数模型(第一、第二课时)



3.2

函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型

第一课时 线性函数、指数函数和 对数函数模型

问题提出
函数是描述客观世界变化规律的基 本数学模型,不同的变化规律常常需要 用不同的数学模型来描述.那么,对于一 个实际问题,应当如何选择恰当的函数 模型来刻画呢?

/>
例题:

例1、假设你有一笔资金用于投资,现有 三种投资方案供你选择,这三种方案的回 报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天 比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天 的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案呢?

投资方案选择原则: 投入资金相同,回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量

(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总 回报量最多,我们就在那段时间 选择该方案。

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提 供依据。 解:设第x天所得回报为y元,则 方案一:每天回报40元; y=40 (x∈N*)

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回 报10元; y=10x (x∈N*) 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一番。

y=0.4×2x-1 (x∈N*)

x/ 天 1 2 3 4 5 6

方案一
y/元 增长量/元

方案二
y/元 增长 量 /元 y/元

方案三

增长量/元

40 40 40 40 40 40

0 0 0 0 0 0

10 20 30 40 50 60

10 10 10 10 10

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4

7 8 9 …
30

40 40 40 …
40

0 0 0 …
0

70 80 90 …
300

10 10 10 …
10

25.6 51.2 102.4 …
214748364.8

12.8 25.6 51.2 …

107374182

图112-1

从每天的回报量来看: 第1~4天,方案一最多: 第5~8天,方案二最多: 第9天以后,方案三最多;

有人认为投资1~4 天选择方案一; 5~8天选择方案二; 9天以后选择方案 三?

累积回报表
天 数 方案 一 1
40

2
80

3
120

4
160

5
200

6
240

7
280

8
320

9
360

10
400

11
440




10
0.4

30
1.2

60
2.8

100
6

150
12.4

210
25.2

280
50.8

360
102

450
204.4

550
409.2

660
818.8

结论

投资8天以下(不含8天),应选择第一 种投资方案;投资8~10天,应选择第二种投 资方案;投资11天(含11天)以上,应选择 第三种投资方案。

解决实际问题的步骤: 实际问题
读 懂 问 题 抽 象 概 括

实际问题的解
还 原 说 明

数学问题 演 算 推 理 数学问题的解

练习 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在 某个时刻这种细菌的个数为200个,按照每小时成倍 增长,如下表: 时间(小时) 细菌数(个) 0 200 1 400 2 800 3 1600

问:实验开始后5小时细菌的个数是多少?

解:设实验时间为x小时,细菌数为y个,依题意有

x小时

0

1
400 B

2
800 C

3
1600 D

y(个) 200 点 A

200=200×20, 800=200×22,

400=200×21, 1600=200×23.

从而,我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个 指数函数关系式,即y=200· 2x(x∈N). 此实验开始后5小时,即x=5时,细菌数为 200×25=6400(个).

例2、某公司为了实现1000万元利润的 目标,准备制定一个激励销售部门的奖 励方案:在销售利润达到10万元时,按 销售利润进行奖励,且资金y(单位:万 元)随着销售利润x (单位:万元)的增加 而增加,但资金数不超过5万元,同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励 模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求呢?

解: 借助计算机作出函数

y ? 5, y ? 0.25 x,
x

y ? log7 x ?1,
x

y ? 1.002

的图象

观察图象发现,在区间[10 ,1000]上,模型 y ? 0.25 x,

y ? 1.002 的图象都有一部分在直线 y ? 5 的上方,只有 模型 y ? log 7 x ? 1的图象始终在 y ? 5 的下方,这说明只 有按模型 y ? log 7 x ? 1 进行奖励时才符合公司的要求,下 面通过计算确认上述判断。

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万。

它在区间[10 ,1000]上递增, y ? 0.25 x , 当 x ? (20,1000) 时, y ? 5 因此该模型不符合要求;
对于模型 对于模型 y ? 1.002,由函数图象,并利用计算 , 器,可知在区间 (805,806) 内有一个点 x 0 满 ? x0 足 ,由于它在区间 [10 ,1000]x 上递增, x0 因此当 时, 因此该模型也不符合要求; 1.002 ? 5 y?5
x

它在区间 [10 ,1000] 上 对于模型 y ? log 7 x ? 1 , 递增,而且当 x ? 1000 时 ,

y ? log

1000 7

x ? 1 ? 4.55 ? 5, ,所以它符合奖金总数

不超过5万元的要求。

再计算按模型 y ? log 7 x ? 1 奖励时,奖金是否 不超过利润的25%,即当 x ? [10,1000] 时,是否 有

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 x x

成立。 令 f ( x) ? log 7 x ? 1 ? 0.25, x ? [10,1000] 。 利用计 算机作出函数 f ( x) 的图象 由图象可知它是递减的, 因此 f ( x) ? f (10) ? ?0.3167 ? 0,



log 7 x ? 1 ? 0.25 x

log 7 x ? 1 所以当 x ? [10,1000] 时, ? 0.25 。 说 x 明按模型 y ? log 7 x ? 1 奖金不会超过利润的25%。

综上所述,模型 y ? log 7 x ? 1确实能很符合公司要求。

1、四个变量 y1 , y2, y3 , y4 随变量
x

x 变化的数据如下表:
20 2005 25 3130 30 4505

0 5 5

5 130 94.478

10 505 1758.2

15 1130 33733

y1

y2 y3 y4

6.37 ?105 1.2 ?107 2.28 ?108
105
1.0461

5
5

30
2.3107

55
1.4295

80
1.1407

130
1.0151 。

155
1.005

关于x呈指数型函数变化的变量是

y2

2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如 果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这 台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计 算机在第1轮病毒发作时被感染,问在第5轮病毒发作时可 能有多少台计算机被感染?
第一轮 第二轮 被感染 的电脑 数量 第三轮 第四轮
2

第五轮

10

10 ? 20

10 ? 20

10 ? 20 3

10 ? 20 4

问题提出

1.指数函数y=ax (a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间(0,+∞)上的单调性如何? 2.利用这三类函数模型解决实际问 题,其增长速度是有差异的,我们怎样 认识这种差异呢?

探究(一):特殊幂、指、对函数模型的差异

对于函数模型 :y=2x, y=x2, y=log2x 其中x>0. 思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应 表, 这三个函数增长的快慢情况如何?
x y=2x y=x2 0.2 1.149 0.04 0.6 1.516 0.36 -0.737 1 2 1 0 1.4 2.639 1.96 0.485 1.8 3.482 3.24 0.848 2.2 4.595 4.84 1.138 2.6 6.063 6.76 1.379 3.0 8 9 3.4 10.556 11.56 … … … …

y=log2x -2.322

1.585 1.766

思考2:对于函数模型y=2x和y=x2,观察下列 自变量与函数值对应表: x y=2x y=x2 0 1 0 1 2 1 2 4 4 3 8 9 4 5 6 7 8

16 32 64 128 256 16 25 36 49 64

当x>0时,你估计函数y=2x和y=x2的图象共 有几个交点?

思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相 对位置关系如何?请画出其大致图象.
y y=2x y=x2 y=log2x 1

o

1 2

4

x

思考4:根据图象,不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何?
y
y=2x y=x2 y=log2x 1 o 1 2 4 x

思考5:上述不等式表明,这三个函数模型增 长的快慢情况如何?

探究(二):一般幂、指、对函数模型的差异

思考1:对任意给定的a>1和n>0,在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
思考2:当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上, ax 与xn的大小关系应如何阐述? x n 总存在一个 x 0 ,当x> x 0 时,就会有 a ? x 思考3:一般地,指数函数y=ax (a>1)和幂函 数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,其增长的快 慢情况是如何变化的?

思考4:对任意给定的a>1和n>0,在区间 (0,+∞)上,logax是否恒大于xn? logax是否 恒小于xn? 思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢 程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何 变化?
总存在一个 x 0 ,当x>x 0
n log x ? x 时,就会有 a

思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁 的增长速度相对较快?

y
y=xn y=logax o 1 x

思考7:一般地,对数函数y=logax(a>1)和幂 函数y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上,其增长的 快慢情况如何是如何变化的?

思考8:对于指数函数y=ax(a>1),对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),总存在一 个x0,使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系 如何?
总存在一个 x 0 ,当x> x 0 时, 就会有

log a x ? x ? a
n

x

思考9:指数函数y=ax (0<a<1),对数函数 y=logax(0<a<1)和幂函数y=xn(n<0),在区间 (0,+∞)上衰减的快慢情况如何?

y y=xn

y=ax o 1 x

y=logax

1.通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应 的确定的函数模型。 2.根据收集到的数据,作出散点图,并通过观察 图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器 的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函 数模型解决相应的问题。

注 意

用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由 于实际问题的条件与得出已知模型的条件有 所不同,因此,往往需要对模型进行修正。



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