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高中数学 抛物线及其标准方程课件新人教A版选修



第二章 圆锥曲线与方程

2.3

抛物线

2.3.1

抛物线及其标准方程

预习导航

(学生用书 P37)

1.平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距 离 ________的点的轨迹叫做抛物线,点 F

叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的________. 2.取经过 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K, 使原点与线段 KF 的中点重合,得到的抛物线的标准方程为 ________,它的焦点坐标为________,准线方程为________.

答 案

1.相等

准线 p ( ,0) 2 p x=- 2

2.y2=2px(p>0)

自测自评

(学生用书 P37)
)

1 2 1.抛物线 y= x 的焦点坐标是( 8 1 A.(0, ) 16 C.(0,4)

1 B.( ,0) 16 D.(0,2)

解析
答案

抛物线方程化为 x2=8y,∴焦点坐标为(0,2).
D

1 2.已知抛物线的焦点是(0,- ),则抛物线的标准方程 4 是( ) A.x2=-y C.y2=x B.x2=y D.y2=-x

答案

A

3.抛物线 y2=4x 的准线方程是________.

答案

x=-1

4.抛物线 y2= 8x 的焦点到准线的距离是 ________.

答案

4

考点突破

(学生用书 P37)

1.抛物线的定义. (1)抛物线定义中的定点 F 不在定直线 l 上,否则动点的 轨迹不是抛物线,而是过定点 F 与 l 垂直的一条直线. (2)抛物线的定义中,指明了抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化.

2.抛物线的标准方程的特点 . 抛物 线标 准方 程 y2= 2px (p>0) y2=- 2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p> 0)

图形

焦 点 准 线

p ( ,0) 2 p x=- 2

p (- ,0) 2 p x= 2

p (0, ) 2 p y=- 2

p (0,- ) 2 p y= 2

典例剖析

(学生用书 P37)

题型一

求抛物线的方程、焦点坐标及准线方程

【例 1】 求焦点在 x 轴上,且点 A(-2,3)到焦点的距离 是 5 的抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.

[解]

∵ 焦 点 在 x 轴 上 , 可 设 抛 物 线 方 程 为 y2 =

p 2px(p≠ 0),则焦点为 F( ,0),由|FA|=5,得 2 p ( +2)2+ (0- 3)2=52, 2 即 p2+8p-48=0, 解得 p=-12,或 p=4, 当 p=- 12 时,抛物线的方程为 y2=-24x, 它的焦点坐标为(-6,0),准线方程为 x=6,

当 p=4 时,抛物线的方程为 y2=8x, 它的焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2.

[ 规律技巧]

焦点在 x 轴上,抛物线方程可统一为 y2=

2px? p≠ 0?,焦点在 y 轴上的抛物线可统一为 x2=2py? p≠0? .

【变式训练 1】 已知抛物线的焦点在 x 轴上,顶点在 原点 O,且过点 P(2,4),求该抛物线的标准方程.

解 抛物线方程可设为 y2=2px, 又抛物线过点 P(2,4),则 16=2p×2. ∴2p=8,∴y2=8x.

题型二 【例 2】

抛物线定义的应用 (2010· 辽宁)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准

线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥ l,A 为垂足,如果直线 AF 斜率为- 3,那么|PF|=( A.4 3 C.8 3 ) B.8 D.16

[解析] 利用抛物线定义,可得|PF|=|PA|,又由直线 AF 的斜率为- 3,可知∠PAF=60° ,所以△PAF 为正三角形, 4 则 |PF|= = 8. sin30°
[答案] B

【变式训练 2】

(2010· 湖南)设抛物线 y2= 8x 上一点 P )

到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 C.8 B.6 D.12

答案

B

题型三

抛物线的应用问题

【例 3】 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分, 光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为 60 cm,灯 深为 40 cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.

[解析 ]

如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角

坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴 垂直于灯口直径.

设抛物线的标准方程是 y2= 2px(p>0). 由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30),代入方程, 45 得 30 = 2p× 40,即 p= , 4
2

45 45 所求的抛物线标准方程为 y = x,焦点( ,0). 2 8
2

[ 规律技巧 ]

解决实际问题的关键是建立适当的坐标

系,把实际问题转化为数学模型.

【变式训练 3】 如图所示,设田地喷灌水管 AB 高出地 面 1.5 米,在 B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间,喷出 的水流是抛物线状,喷头 B 与水流最高点 C 的连线与水平地 面成 45° 角,若 C 比 B 高出 2 米,在所建立的坐标系中,求 水流的落地点 D 到点 A 的距离是多少米?

解 如图依题可知,BE=CE=2(米), CF=CE+EF=3.5(米),点 B 的坐标为(0,1.5),点 C 的 坐标为(2,3.5).

∴抛物线的方程为 y=a(x- 2)2+3.5. 由于它经过点 B,故 1.5=a(0-2)2+3.5. 1 ∴ a=- ,故抛物线的方程为 2 1 y=- (x-2)2+3.5. 2 1 当 y=0 时,得 (x-2)2= 3.5, 2 解得 x= 2+ 7(x=2- 7舍去), 即水流落地点 D 和点 A 的距离为(2+ 7)米 .



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