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山东省日照实验高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文理合卷)



山东省日照实验高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文理合卷)
一.选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)例 1:给出命题“已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”,对其原命 题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有() A.0

个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 2.等差数列{an}中,a3=2,则该列的前 5 项的和为() A.10 B.16 C.20 3. (5 分)在△ ABC 中,BC=8,B=60°,C=75°,则 AC 等于() A. B. C. D.

D.32

4. (5 分)在△ ABC 中,BC=5,B=120°,AB=3,则△ ABC 的周长等于() A.7 B.58 C.49 D.15 5. (5 分)已知:﹣1<b<0,a<0,那么下列不等式成立的是() 2 2 2 2 A.a>ab>ab B.ab >ab>a C.ab>a>ab D.ab>ab >a 6. (5 分) (理科学生做)设 x,y∈R,则 xy>0 是|x+y|=|x|+|y|成立的() A.充分条件,但不是必要条件 B. 必要条件,但不是充分条件 C. 充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件. 7.已知关于 x 的不等式(1﹣b)x +ax≤0;的解集为,则 a+b 的值为() A.﹣2 B.﹣l C. 1 D.3 8. (5 分)数列 2,4,8,14,x,32,…中的 x 等于() A.19 B.20 C.21
2

D.22

9. (5 分)如果命题“¬(p 或 q)”为假命题,则() A.p、q 均为真命题 B. p、q 均为假命题 C. p、q 中至少有一个为真命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 10.三个正数 a,b,c 成等比数列,若 a+b+c=1,则 b 的取值范围为() A.(0, ] B.(﹣∞, ] C. D.(0,1]
m

11. (5 分)满足 A=45°,c=

,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a 的值为()

A.4

B. 2

C. 1

D.不确定

12. (5 分)在等比数列{an}中,a1=2,若数列{an+1}也是等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于() n+1 n A.2 ﹣2 B.3n C.2n D.3 ﹣1 13. (5 分)若关于 x 的不等式(1+k )x≤k +5 的解集是 M,则对任意实数 k,总有() A.2∈M,0?M B.2?M,0?M C.2∈M,0∈M D.2?M,0∈M 14. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以 及边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.4 15. (5 分)在 f(m,n)中,m、n、f(m,n)∈N ,且对任何 m,n 都有: (i)f(1,1)=1; (ii)f(m,n+1)=f(m,n)+3; (iii)f(m+1,1)=2f(m,1) ,给出以下三个结论: (1)f(1,5)=13; (2)f(5,1)=16; (3)f(5,6)=26 其中正确的个数为() A.3 个 B. 2 个 C. 1 个 D.0 个
* 2 4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 16. (4 分)数列 7,77,777,7777,77777,…的通项公式为. 17. (4 分)在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别 填上 和 . 18. (4 分)在数列{an}中,a1=0,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1) (n∈N ) ,则 s100=. 19. (4 分)用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越 来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 (k∈N ) .已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ,请从这件事实中 提炼出一个不等式组是.
* n *

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 20. (12 分)在△ ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC= ,求△ ABC 的面积 S.

21. (12 分)解不等式:x +1<ax+ x(a≠0) .

2

22. (12 分)已知各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 2,且 2,an,Sn 成等差 数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) (理科学生做)若 bn=log2an,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(Ⅲ) (文科学生做)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 23. (12 分)通常用 a、b、c 分别表示△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的边长,R 表示 △ ABC 的外接圆半径. (1) 如图, 在以 O 为圆心、 直径为 8 的⊙O 中, BC 和 BA 是⊙O 的弦, 其中 BC=4, ∠ABC=45°, 求弦 AB 的长; 2 2 2 (2)在△ ABC 中,若∠C 是钝角,求证:a +b <4R .

24. (12 分)经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量 y(千辆/小时) 与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精 确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 25. (14 分)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y) , (x,y∈R)且 f(1)= . (1)若 n∈N 时,求 f(n)的表达式; * (2)设 an=f(n) , (n∈N ) ,求证:a1+a2+…an<1. (3)设 bn= ,sn=b1+b2+…+bn,求 .
*

山东省日照实验高中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文理合卷)

参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)例 1:给出命题“已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”,对其原命 题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有() A.0 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 四种命题的真假关系. 分析: 在四种命题中原命题和逆否命题同真假,故只需判断原命题和逆命题的真假即可. 解答: 解:原命题为真.所以逆否命题为真. 逆命题为“已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b,c=d”,显然错误.所以否命题也 错误. 故真命题个数为 2. 故选 B 点评: 本题考查四种命题及真假判断, 属基本题. 注意在四种命题中原命题和逆否命题同 真假. 2.等差数列{an}中,a3=2,则该列的前 5 项的和为() A.10 B.16 C.20 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 直接利用等差数列的性质,求出数列的前 5 项的和. 解答: 解:等差数列{an}中,a3=2,则该列的前 5 项的和: S5= = =5a3=10.

D.32

故选 A. 点评: 本题考查等差数列的性质,前 n 项的和的求法,考查计算能力. 3. (5 分)在△ ABC 中,BC=8,B=60°,C=75°,则 AC 等于() A. B. C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形内角和公式求得 A,再由正弦定理求得 AC 的值. 解答: 解:由题意可得 A=180°﹣B﹣C=45°,再由正弦定理可得 即 ,解得 AC=4 , ,

故选 C. 点评: 本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用,属于中档题.

4. (5 分)在△ ABC 中,BC=5,B=120°,AB=3,则△ ABC 的周长等于() A.7 B.58 C.49 D.15 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 BC=a,AB=c 的长,以及 sinB 的值,利用余弦定理求出 b 的值,即可确定出周 长. 解答: 解:∵在△ ABC 中,BC=a=5,B=120°,AB=c=3, 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:AC =b =a +c ﹣2ac?cosB=25+9+15=49, 解得:AC=b=7, 则△ ABC 的周长为 a+b+c=5+3+7=15. 故选 D 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 5. (5 分)已知:﹣1<b<0,a<0,那么下列不等式成立的是() A.a>ab>ab
2

B.ab >ab>a

2

C.ab>a>ab

2

D.ab>ab >a

2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的性质和“作差法”即可得出. 2 解答: 解:∵﹣1<b<0,a<0,∴ab>0,b<0<1.b <1. 2 2 2 ∴ab﹣ab =ab(1﹣b)>0,ab ﹣a=a(b ﹣1)>0. 2 ∴ab>ab >a. 故选 D. 点评: 熟练掌握不等式的性质和“作差法”是解题的关键. 6. (5 分) (理科学生做)设 x,y∈R,则 xy>0 是|x+y|=|x|+|y|成立的() A.充分条件,但不是必要条件 B. 必 要条件,但不是充分条件 C. 充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 2 2 2 2 解答: 解:由|x+y|=|x|+|y|平方得 x +2xy+y =x +2|x||y|+y , 即|xy|=xy, 则 xy≥0, 则 xy>0 是|x+y|=|x|+|y|成立充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分不必要条件飞判断,根据绝对值的性质是解决本题的关键. 7.已知关于 x 的不等式(1﹣b)x +ax≤0;的解集为,则 a+b 的值为() A.﹣2 B.﹣l C. 1 D.3
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出. 2 解答: 解:∵关于 x 的不等式(1﹣b)x +ax≤0;的解集为, 2 ∴﹣1,0 是一元二次方程(1﹣b)x +ax=0 的两个实数根且 1﹣b>0, ∴﹣1+0= ,整理得 a+b=1.

故选 C. 点评 : 熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的 关键. 8. (5 分)数列 2,4,8,14,x,32,…中的 x 等于() A.19 B.20 C.21 考点: 数列的概念及简单表示法;数列的函数特性. 专题: 规律型. 分析: 利用前几项找出规律即可得出. 解答: 解:∵4﹣2=2,8﹣4=4,14﹣8=6, ∴x﹣14=8,解得 x=22. 故选 D. 点评: 正确找出规律是解题的关键. 9. (5 分)如果命题“¬(p 或 q)”为假命题,则() A.p、q 均为真命题 B. p、q 均为假命题 C. p、q 中至少有一个为真命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: ?(p 或 q)为假命题 既 p 或 q 是真命题,由复合命题的真假值来判断. 解答: 解:?(p 或 q)为假命题, 则 p 或 q 为真命题 所以 p,q 至少有一个为真命题. 故选 C. 点评: 本题主要考查复合命题的真假,是基础题. 10.三个正数 a,b,c 成等比数列,若 a+b+c=1,则 b 的取值范围为() A.(0, ] B.(﹣∞, ] C. D.(0,1]

D.22

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得 b =ac,a+c=1﹣b,由基本不等式可得 正数可得范围.
2

,解不等式结合 b 为

解答: 解:由题意可得 b =ac,a+c=1﹣b, 因为 a,b,c 为正数,由基本不等式可得: ac≤
2

2

,即



化简可得 3b +2b﹣1≤0, 解之可得﹣1≤b 故可得 0<b ,又 b 为正数, ,即 b∈(0, ]

故选 A 点评: 本题考查等比中项的定义,涉及基本不等式的应用和不等式的解集,属基础题. 11. (5 分)满足 A=45°,c= A.4 B. 2 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据正弦定理求得 sinC,进而求得 C,则 m 的值可求,进而求得 a 的值. 解答: 解:由正弦定理 =
m

,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a 的值为() C. 1 D.不确定

m

得 sinC=

=

=



∵c>a,∴C>A=45°, ∴C=60°或 120°, ∴满足条件的三角形有 2 个,即 m=2.∴a =4. 故选 A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.应用熟练记忆并灵活运用正弦定理及其变式. 12. (5 分)在等比数列{an}中,a1=2,若数列{an+1}也是等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于() n+1 n A.2 ﹣2 B.3n C.2n D.3 ﹣1 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等比数列{an}的公比为 q,可得数列{an+1}的前 3 项,由等比中项可得关于 q 的 方程,解之可得 q=1,故等比数列{an}为常数列,易得答案. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, n﹣1 则可得 an=2?q , n﹣1 故 an+1=2?q +1, 2 可得 a1+1=3,a2+1=2q+1,a3+1=2q +1, 由于数列{an+1}也是等比数列, 2 2 故(2q+1) =3(2q +1) ,解之可得 q=1, 故{an}的前 n 项和 Sn=na1=2n
m

故选 C 点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,涉及公比的求解,属中档题. 13. (5 分)若关于 x 的不等式(1+k )x≤k +5 的解集是 M,则对任意实数 k,总有() A.2∈M,0?M B.2?M ,0?M C.2∈M,0∈M D.2?M,0∈M 考点: 其他不等式的 解法. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,将(1+k )x≤k +5 变形为 x≤
2 4 2 4

,即转化为求 x 的范围,满足不等式

x≤

恒成立的问题,求

的最小值,可得 x 的范围,分析选项即可得答案.

解答: 解:根据题意, (1+k )x≤k +5?x≤

2

4





=(1+k )+

2

﹣2≥2

﹣2,

则满足 x≤

恒成立的 x 的范围是 x≤2

﹣2,即 M={x|x≤2

﹣2},

则有 2∈M,0∈M; 故选 C. 点评: 本题考查含参数的不等式的解集问题,涉及恒成立问题与基本不等式的性质与应 用,也可用代入法分析. 14. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以 及边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.4 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得:y=﹣ x+ z,若 m>0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距同号, 当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 AC 的斜率相等时, 目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个;若 m<0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距异号,当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC 的斜率相等时,目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个, 但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个, 不满足条件.

解答: 解:依题意,满足已知条件的三角形如下图示: 令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为﹣ , 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为 =﹣1,

所以﹣ =﹣1,解得 m=1, 故选 C. 增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看: 依题意,1+3m=5+2m<3+m,或 1+3m=3+m<5+2m,或 3+m=5+2m<1+3m 解得 m∈空集,或 m=1,或 m∈空集, 所以 m=1,选 C. 评析: 此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴, 区域的三个顶点中一定有两 个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略 去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此 方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!

点评: 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变 形,化成斜截式;②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反;③根据分析结果,结 合图形做出结论④根据斜率相等求出参数. 15. (5 分)在 f(m,n)中,m、n、f(m,n)∈N ,且对任何 m,n 都有: (i)f(1,1)=1; (ii)f(m,n+1)=f(m,n)+3; (iii)f(m+1,1)=2f(m,1) ,给出以下三个结论: (1)f(1,5)=13; (2)f(5,1)=16; (3)f(5,6)=26 其中正确的个数为() A.3 个 B. 2 个 C. 1 个 D.0 个 考 点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义.
*

分析: (1)由(i) 、 (ii) 可求 f(1,5)的值; (2)由(i) 、 (iii)可求 f(5,1)的值; (3)由(i ) 、 (ii) 、 (iii)可求得 f(5,6)的值. 解答: 解: (1)∵f(1,1)=1,f(m,n+1)=f(m,n)+3,∴f(1,5)=f(1,4)+3=f (1,3)+6=f(1,2)+9=f(1,1)+12=1+12=13,∴(1)正确; (2)∵f(1,1)=1,f(m+1,1)=2f(m,1) ,∴f(5,1)=2f(4,1)=4f(3,1) =8f (2,1)=16f(1,1)=16×1=16,∴(2)正确; (3)根据题意得,f(5,6)=f(5,5)+3=2f(4,5)+3=4f(3,5)+3=8f(2,5)+3=16f (1,5)+3=16×13+3=211,∴(3)不正确; 故选:B. 点评: 本题是新定义下的一个计算题,只要弄清题意,按照题目中的公式要求运算, 容 易得出正确结果. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 16. (4 分)数列 7,77,777,7777,77777,…的通项公式为 .

考点: 归纳推理;数列的概念及简单表示法. 专题: 探究型. 分析: 观察发现 7= 从而归纳出通式得到答案 解答: 解:由于 7= 7777= ,77777= ,77= … ,777= , ,77= ,777= ,…

故数列 7,77,777,7777,77777,…的通项公式为 故答案为 点评: 本题考查归纳推理,解答的关键是对所给的项进行变形,从而归纳出通式,归纳推 理是发现规律的一种常用的推理方式,要好好掌握 17. (4 分)在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别 填上 6和 4. 考点: 基本不等式. 专题: 综合题. 分析: 本题运用均值不等式来解决:设两数为 x、y,即 4x+9y=60,然后利用基本不等式 求出 x 与 y 的倒数和的最小值,即可得到此时 x 与 y 满足的关系式,与 4x+9y=60 联立即可 求出此时 x 与 y 的值. 解答: 解:设两数为 x、y,即 4x+9y=60,

又 当且仅当

=





,且 4x+9y=60,即 x=6 且 y=4 时成立,

故答案为:6;4. 点评: 此题考查学生灵活运用基本不等式求函数的最小值及掌握取最小值时的条件, 是一 道中档题.学生做题时一定注意 4x+9y=60 这个条件的利用与灵活变形. 18. (4 分)在数列{an}中,a1=0,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1) (n∈N ) ,则 s100=2550. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由 an+2﹣an=1+ (﹣1) 可得
n n *

, 即 n 为奇数时, an+2=an,

n 为偶数时,an+2﹣an=2,S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+…+a100)分组求和即可求出所求. 解答: 解:据已知当 n 为奇数时, an+2﹣an=0?an=0, 当 n 为偶数时,an+2﹣an=2?an=n, ,

S100=0+2+4+6+…+100=0+50× 故答案为:2550

=2550.
n

点评: 本题主要考查数列的求和公式的基本运用,由于(﹣1) 会因 n 的奇偶有正负号 的变化,解题时要注意对 n 分奇偶的讨论分组求和,属于中档题. 19. (4 分)用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越 来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 (k∈N ) .已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ,请从这件事实中
*

提炼出一个不等式组是



考点: 二元一次不等式组. 分析: 本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立, 关键是要从已知的题目中找出不等 关系,并用不等式表达出来.

解答: 解:依题意 + 即 + + ≥1,

<1,且三次后全部进入,

故不等式组为

故答案为:

点评: 在使用不等式解决实际问题时, 关键的步骤是仔细分析题意, 从题目中找到合适的 变量及不等关系,并用不等式(组)将数量间的不等关系正确表达出来,在表达时要注意变 量的取值范围,特别在实际问题中,要实际问题实际考虑. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 20. (12 分)在△ ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC= ,求△ ABC 的面积 S. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 AB,BC 以及 cosA 的值,利用余弦定理求出 AC 的长,再利用三角形面积公式 即可求出 S. 解答: 解:设 AB=c,BC=a,CA=b,则 a= ,c=5, 2 2 2 2 2 由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA,即得 61=b +5 ﹣2×5b?cos120°, 2 化简得 b +5b﹣36=0, 解得:b=4 或 b=﹣9(舍去,因为 b>0) , 则 S△ ABC= bc?sinA= ×5×3×sin120°=5 .

点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2

21. (12 分)解不等式:x +1<ax+ x(a≠0) .

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把原不等式移向变形,因式分解后分类讨论求解,最后分别下结论. 解答: 解:由 ,整理得: ,





(1)当

时,即

,即 a>1 或﹣1<a<0 时,

(2)当 (3)

时,即

,即 0<a<1 或 a<﹣1 时,
2

时,即 a=±1 时, (x﹣1) <0,无解 }

综上所述:当 a>1 或﹣1<a<0 时,解集为{x| 当 0<a<1 或 a<﹣1 时,解集为{x|

},a=±1 时,解集空集

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法, 考查了分类讨论的数学思想方法, 训练了分式 不等式的解法,是中低 档题. 22. (12 分)已知各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 2,且 2,an,Sn 成等差 数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) (理科学生做)若 bn=log2an,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(Ⅲ) (文科学生做)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 2,an,Sn 成等差数列?2an=Sn+2?Sn=2an﹣2,当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2, 两式相减,易知数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,从而可求得数列{an}的通项 公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,从而可得 bn=n, , ,利用错位相

减法求和,即可求得数列{cn}的前 n 项和 Tn. (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ,易求得 bn=n2 ,
n

,利用错位相

减法求和,可得数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 2an=Sn+2,an>0,a1=2(1 分) ∴Sn=2an﹣2, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2, 两式相减得 an=2an﹣2an﹣1(n≥2) , 整理得: ; (4 分)

∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.

∴ (Ⅱ) (理科)由(Ⅰ)知 ∴bn=n, , (7 分) ,…① ,…② ①﹣②得 ∴ ∴

(6 分) ,

, (10 分) , (11 分) , (12 分) ,

(Ⅲ) (文科)由(Ⅰ)知 ∴bn=n2 , (7 分)
n

,…① ,…② ①﹣②得 ∴ ∴ , (11 分) , (12 分) , (10 分)

点评: 本题考查数列递推关系的应用与数列的求和, 突出考查等比关系的确定及错位相减 法求和,考查运算求解能力,属于中档题. 23. (12 分)通常用 a、b、c 分别表示△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的边长,R 表示 △ ABC 的外接圆半径. (1) 如图, 在以 O 为圆心、 直径为 8 的⊙O 中, BC 和 BA 是⊙O 的弦, 其中 BC=4, ∠ABC=45°, 求弦 AB 的长; 2 2 2 (2)在△ ABC 中,若∠C 是钝角,求证:a +b <4R .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: (1)利用正弦定理求出 A,通过两角和的正弦函数,求出 C,然后求弦 AB 的长; 2 2 2 2 2 2 (2)法一;利用余弦定理推出 a +b <c ,利用正弦定理推出 a +b <4R . 2 2 2 法二:利用正弦定理求出 A,通过余弦定理求出 C,然后证明 a +b <4R . 解答: 解 (1)△ ABC 的外接圆半径为 4,在△ ABC 中, ,∴A=30°(A=150°不合题意) (3 分) ∴sinC=sin=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)= = ∴AB= (5 分) (6 分)
2 2 2

(2)证明:法 1:由余弦定理得

,∵C 为钝角∴cosC<0,∴a +b <c

(9 分) 2 2 2 2 2 又由正弦定理得 c=2RsinC<2R,∴c <4R ,∴a +b <4R (12 分) 法 2:∵ ,由于∠C 是钝角,∠A、∠B 都是锐角,得 , (8 分) cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB= (10 分) ∴a b <(4R ﹣a ) (4R ﹣b ) ,∴16R ﹣4R (a +b )>0,即 a +b <4R . ( 12 分)
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2



点评: 本题考查正弦定理与余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力. 24. (12 分)经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量 y(千辆/小时) 与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精 确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

考点: 其他不等式的解法;根据实际问题选择函数类型. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)将车流量 y 与汽车的平均速度 v 之间的函数关系 y= 简为 y= (v>0)化

,应用基本不等式即可求得 v 为多少时,车流量最大及最大车流量.

(2)依题意,解不等式 解答: 解:由题意有 y=

>10,即可求得答案. = ≤ = (3 分)

当且仅当 v= 此时 ymax=

,即 v=30 时上式等号成立, ≈11.3(千辆/小时) (6 分) >10,整理得 v ﹣68v+900<0, (8 分)
2

(2)由条件得

即(v﹣50) (v﹣18)<0, ∴18<v<50(11 分) 故当 v=30 千米/小时时车流量最大,且最大车流量为 11.3 千辆/小时 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时, 则汽车的平均速度应在 18<v<50 所表示的范 围内. (12 分) 点评: 本题考查分式不等式的解法, 突出考查基本不等式的应用, 考查转化思想方程思想, 考查理解与运算能力,属于中档题. 25. (14 分)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y) , (x,y∈R )且 f(1)= . (1)若 n∈N 时,求 f(n)的表达式; * (2)设 an=f(n) , (n∈N ) ,求证:a1+a2+…an<1. (3)设 bn= ,sn=b1+b2+…+bn,求 .
*

考点: 数列与不等式的综合;数列的函数特性;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由于 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,取 x=n,y=1,可得 f(n+1)=f(n) f(1) ,再利用等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等比数列的前 n 项和公式即可得出; (3)利用等差数列的前 n 项和公式、“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (1)∵f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y) , ∴f(n+1)=f(n)f(1) , ,





∴f(n)为首项为 ,公比为 的等比数列, ∴ .

(2)∵

,∴



<1.

(3)∵ ∴ ∴ ∴

,∴

, , , .

点评: 熟练掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式、等差数列的前 n 项和公式、“裂项 求和”是解题的关键.



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