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河北省重点中学协作体2012届高三第二次联考数学试题(文)



河北省部分重点中学协作体 2012 届高三第二次联考 数学试题(文科)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟,注意事 项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写在试题卷上的 无效。 2.答题前,考生务必将自己的“姓名”“班级” 、

、和“考号”写在答题卷上。 3.考试结束,只交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的,把答案填涂在答题卷相应位置上) 1.已知 i 是虚数单位,则 i ?
3

1 i

=(

) C.-i )
a a b C. a ? b ? a b a a D. a ? b ? a

A.-2i 2、设
1

B.2i

D.i

1 b 1 a ? ( ) ? ( ) ? 1 ,那么( 5 5 5

a b a A. a ? a ? b

b a a B. a ? a ? b

3.已知向量 A B ? ( 2, 4 ), A C ? ( a , 3) ,若 A B ? A C ,则 a 的值为 A.6 4、若定义在 R 上的偶函数 A. e x
?e
?x

??? ?

????

??? ?

????

( D. ?


3 2

B.-6
f (x)

C.

3 2

和奇函数 g ( x ) 满足
x ?x

f (x) ? g(x) ? e

x

,则 g ( x ) ? ( D.
1 2 (e ? e
x ?x


)

B.

1 2

(e ? e

)

C.

1 2

(e

?x

?e )
x

5. 实数 m , n 满足 0 ? n ? m ? 1 , 则对于① 2 m ? 3 n ; o ② lg ③ m 2 ? n 2 中可能成立的有( A. 0 个 B. 1 个
2

2

m ?o lg

3

n;

) C. 2 个 D. 3 个

6、若抛物线 y=4x 的焦点是 F 准线是 l,则过点 F 和点 M(4,4)且与准线 l 相切的圆有( A 4个 0 个 ) B 1 个 C 2 个 D

7、图1是设某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 9 ? ? 4 2 C. ? ? 1 2
2
2 2



B. 36 ? ? 18 D. ? ? 1 8
2 9

9

8.设 p : 16 ? x ? 0, q : x ? x ? 6 ? 0 ,则 ? q 是 ? p 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件



D.既不充分也不必要条件
2 2

9.设 x、 y ? R 则“ x ≥2 且 y ≥2”是“ x + y ≥4”的( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件
2 2 2

(B]必要不充分条件 (D)即不充分也不必要条件

10.在 AABC 中 sin A≤sin B+sin C—sinBsinC,则 A 的取值范围是( ) (A)(0,
?
6

]
?
3

(B)[

?
6

,? ) ,? )

(C)(0,

]

(D)[

?
3

11.设 F1 和 F2 为双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点,若 F1,F2,P(0,-2b)是正三角形的三个

顶点,则双曲线的离心率为( ) A.
3 2

B.2
? ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0 ), ? f ( x ? 1)( x ? 0 ),

C.

5 2

D.3

12.已知 f ( x ) ? ? 是( )

且函数 y ? f ( x ) ? x 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围

A. ( 0 , ?? )

B. [ ? 1, 0 )

C. [ ? 2 , ?? )

D.

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 13.已知过抛物线 f (0)+ f (2) < y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B
2

两点,|AF|=2,则|BF|=

.

14、F 为椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使

? AOF 为正三角形,那么椭圆 C 的离心率为

15、如图 2,程序框图输出的函数 f ( x ) 的值域是 16.如图,在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别在边 CD 和 BC 上,且 DC ? 3 DE , BC ? 3 BF ,其中
m , n ? R ,若 AC ? m AE ? n AF ,则 m ? n ?
? ? ?

?

?

?

?



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (本小题满分 10 分) 在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? c ( c 为常数, n ? N ) ,且 a 1 , a 2 , a 5 成公比不等
?

于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 b n ?
1 a n a n ?1

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n

18(本小题满分 12 分) 某车间在两天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天、第二天分别生产出了 1 件、2 件次品.而质检部门 每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过. (Ⅰ)求第一天产品通过检查的概率; (Ⅱ) (文)求两天全部通过的概率.

19、 (本小题满分 12 分) 如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩 形,PA=AB=1, A D ? 上移动。 ⑴求三棱锥 E-PAD 的体积; ⑵当 E 点为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的 位置关系,并说明理由; ⑶证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF。 F A D
3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC

P

B

E

C

20、 (本小题满分 12 分)
? ? n ? A B C 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 向量 m ? ( ? 1,1) , ? (cos B cos C , sin B sin C ? 3 2 ),

且m ? n . (1)求 A 的大小; (2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2 c ? ( 3 ? 1) b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再选择两个条件 以确定 ? A B C ,求出所确定的 ? A B C 的面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分) .
?

?

?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
ax x ?b
2

在 x ? 1 处取得极值 2。

(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x ) 在区间 ( m , 2 m ? 1) 上单调递增? (3)若 P ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x ) ?
ax x ?b
2

图象上任意一点,直线 l 与 f ( x ) ?

ax x ?b
2

的图象切于点

P,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 所以符合题意的直线 l 不存在.

高三数学试卷答案

一、选择题 ABBDC CDBAC BD 二、填空题 13.2;14。 3 ? 1 ;15。 3 ? 1 ;16。
3 2



17 解: (Ⅰ)∵ a n ? 1 ? a n ? c , a ? 1, c 为常数,∴ a n ? 1 ? ( n ? 1) c . ??????2 分 ∴ a 2 ? 1 ? c, a 5 ? 1 ? 4c . 又 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列,∴ (1 ? c ) ? 1 ? 4 c ,解得 c ? 0 或 c ? 2 .?4 分
2

当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . ???????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2 n ? 1 . ??????????????????6 分 ∴bn ?
1 anan ? 1 ? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 1 1 ? 1 2n ? 1 ) ????8 分

2 2n ? 1

(

∴ S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ?
? 1 2 (1 ? 1 2n ? 1 )? n 2n ? 1

1 ? 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ) ? 2? ?

????????????????10 分

18(解: (Ⅰ)∵随意抽取 4 件产品检查是随机事件,而第一天有 9 件正品. ∴第一天通过检查的概率为 P1 ?
C9 C
4

4 10

?

3 5

. ???????????4 分

(Ⅱ)同(Ⅰ) ,第二天通过检查的概率为 P2 ?

C8 C

4

4 10

?

1 3

. ???????9 分

因第一、第二天是否通过检查相互独立, ???????????10 分 所以,两天全部通过检查的概率为 P ? P1 P2 ? 19、解:
1 1 ? ?1 ? 3 2 3 6

3 5

?

1 3

?

1 5

. ????12 分

(1)因为点 E 到平面 PAD 的距离即为 1,所以 V E ? P A D ?

3 ?1 ?

·········· 分 ··········4 (2)直线 EF 与平面 PAC 平行 因为 E、F 两点分别为边 PB 和 BC 的中点,所以 EF//PC,且直线 EF 不在平面 PAC 内,直线 PC 在平

面 PAC 内,所以,直线 EF//面 PAC ·········· 分 ··········8

(3)因为 PA=AB 且 F 为 PB 中点,所以 AF⊥PB,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BC,由于地面 ABCD 为矩 形,所以 BC⊥AB,所以 BC⊥面 PAB,所以 BC⊥AF,所以 AF⊥面 PBC,所以无论点 E 在 BC 上何处时,总 有 AF⊥PE。 ·········· ··········12 分
3 ?? ? ? co s B co s C ? sin B sin C ? ?0 2 20、解: (1)因为 m ? n ,所以 3 2 ,所以

co s B co s C ? sin B sin C ? ?

co s( B ? C ) ? ?

3 2

即:

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 co s( B ? C ) ? ? co s A
co s A ? 3 2 , A ? 30
?

所以

?????????????????????????????
?

6分

(2)方案一:选择①②,可确定 ? A B C ,因为 A ? 30 , a ? 1, 2 c ? ( 3 ? 1) b ? 0
1 ?b ?(
2 2

3 ?1 2 6 ? 2

b ) ? 2b ?
2

3 ?1 2

b?

3 2

由余弦定理,得:
b ? 2, b ?
2

2,c ?

2

整理得:

??????????????????????10 分

所以

S ?ABC ?

1 2

b c sin A ?

1 2

?

2?

6 ? 2

2 1 ? ? 2
?

3 ?1 4

???????????????12 分
? ?

方案二:选择①③,可确定 ? A B C ,因为 A ? 3 0 , a ? 1, B ? 4 5 , C ? 1 0 5
sin 1 0 5 ? sin ( 4 5 ? 6 0 ) ? sin 4 5 co s 6 0 ? co s 4 5 sin 6 0 ?
? ? ? ? ? ? ?

6 ? 4

2


c ? a sin C sin A 1 2 1 2 ? 1 ? sin 1 0 5 sin 3 0
? ?

?

6 ? 2 2 2 2

2

由正弦定理
S ?ABC ?

a c sin B ?

?1 ?

6 ? 2

?

?

3 ?1 4

所以

(注意;选择②③不能确定三角形)

21、解: (1)因为 f ? ( x ) ?
a ( x ? b ) ? ax ( 2 x )
2

(x ? b)
2

2

·········· 分 ··········2

而函数 f ( x ) ?

ax x ?b
2

在 x ? 1 处取得极值 2,

? f ? (1) ? 0 所以 ? , ? f (1) ? 2

? a (1 ? b ) ? 2 a ? 0 ?a ? 4 ? 即? a 解得 ? ? 2 ?b ? 1 ? ?1 ? b

所以 f ( x ) ?

4x 1? x
2

即为所求
4 ( x ? 1) ? 8 x
2 2

·········· 分 ··········4
? 4 ( x ? 1)( x ? 1) (1 ? x )
2 2

(2)由(1)知 f ? ( x ) ?

( x ? 1)
2

2

?

令 f ? ( x ) ? 0 得: x 1 ? ? 1, x 2 ? 1 则 f ( x ) 的增减性如下表:
x
f ?( x ) f (x)

(-∞,-1) 负

(-1,1) 正

(1,+∞) 负

可知, f ( x ) 的单调增区间是[-1,1],
?m ? ?1 ? 所以 ? 2 m ? 1 ? 1 ? ? 1 ? m ? 0 . ?m ? 2m ? 1 ?

所以当 m ? ( ? 1, 0 ] 时,函数 f ( x ) 在区间 ( m , 2 m ? 1) 上单调递增。 (3)由条件知,过 f ( x ) 的图象上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:
k ? f ?( x 0 ) ? 4 (1 ? x 0 )
2

·····9 分 ····

(1 ? x )
2 0

? 4?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x )
2 0

2

? 4[

2 (1 ? x )
2 0 2

?

1 1 ? x0
2

]

令t ?

1 1 ? x0
2

,则 t ? ( 0 ,1] ,
1 4 1 2 1 2

此时, k ? 8 ( t ? 当t ?
1 4

) ?
2

的图象性质知:

时, k min ? ?



当 t ? 1 时, k max ? 4 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ? 22.解:(1)依题意, x2 y2 可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 且可知其左焦点为 F′(-2,0).
? ? ?c=2, ?c=2, 从而有? 解得? ··················· 2 分 ·················· ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?a=4. ? ?

1 2

,4 ]

·········· ··········12 分

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. ······················· 分 ·······················4 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2

?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1,
3
2 2

得 3x2+3tx+t2-12=0. ··················· 分 ···················6

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4, 得 |t| =4,解得 t=± 13. 2 9 +1 4

由于± 13?[-4 3,4 3], 2 所以符合题意的直线 l 不存在.···················12 分 ···················



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