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《一元二次方程》单元综合测试题含答案


第一章 一元二次方程单元综合测试题
一、填空题(每题 2 分,共 20 分) 1 1.方程 x(x-3)=5(x-3)的根是_______. 2 2.下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的有________. 1 (1)2y2+y-1=0; (2)x(2x-1)=2x2; (3) 2 -2x=1; x 1 (4)ax2+bx+c=0; (5) x2=0. 2 3.把方程(1-2x) (1+2x)=2x2-1 化为一元二次方程的一般形式为________. 1 2 1 4.如果 2 - -8=0,则 的值是________. x x x 2 5.关于 x 的方程(m -1)x2+(m-1)x+2m-1=0 是一元二次方程的条件是 ________. 6. 关于 x 的一元二次方程 x2-x-3m=0?有两个不相等的实数根, 则 m?的取值 范围是定______________. 7.x2-5│x│+4=0 的所有实数根的和是________. 8.方程 x4-5x2+6=0,设 y=x2,则原方程变形_________ 原方程的根为________. 9.以-1 为一根的一元二次方程可为_____________(写一个即可) . 1 2 10.代数式 x +8x+5 的最小值是_________. 2 二、选择题(每题 3 分,共 18 分) 11.若方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0 是关于 x 的一元二次方程,则必 有( ) . A.a=b=c B.一根为 1 C.一根为-1 D.以上都不对 12.若分式
x2 ? x ? 6 的值为 0,则 x 的值为( x 2 ? 3x ? 2

) .

A.3 或-2 B.3 C.-2 D.-3 或 2 13.已知(x2+y2+1) (x2+y2+3)=8,则 x2+y2 的值为( ) . A.-5 或 1 B.1 C.5 D.5 或-1 2 14. 已知方程 x +px+q=0 的两个根分别是 2 和-3, 则 x2-px+q 可分解为 ( ) . A. (x+2) (x+3) B. (x-2) (x-3) C. (x-2) (x+3) D. (x+2) (x-3) 2 15 已知α ,β 是方程 x +2006x+1=0 的两个根,则(1+2008α +α 2) (1+2008 2 β +β )的值为( ) .
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A.1 B.2 C.3 D.4 16.三角形两边长分别为 2 和 4,第三边是方程 x2-6x+8=0 的解,?则这个三 角形的周长是( ) . A.8 B.8 或 10 C.10 D.8 和 10 三、用适当的方法解方程(每小题 4 分,共 16 分) 17. (1)2(x+2)2-8=0; (2)x(x-3)=x;

(3) 3 x2=6x- 3 ;

(4) (x+3)2+3(x+3)-4=0.

四、解答题(18,19,20,21 题每题 7 分,22,23 题各 9 分,共 46 分) 18.如果 x2-10x+y2-16y+89=0,求
x 的值. y

19.阅读下面的材料,回答问题: 解方程 x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解 法通常是: 设 x2=y, 那么 x4=y2, 于是原方程可变为 y2-5y+4=0 ①, 解得 y1=1, y2=4. 当 y=1 时,x2=1,∴x=±1; 当 y=4 时,x2=4,∴x=±2; ∴原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. (1)在由原方程得到方程①的过程中,利用___________法达到________ 的目的,?体现了数学的转化思想. (2)解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0.
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20.如图,是丽水市统计局公布的 2000~2003 年全社会用电量的折线统计 图. (1) 填写统计表: 2000~2003 年丽水市全社会用电量统计表: 年 份 2000 2001 2002 2003 全社会用电量 13.33 (单位:亿 kW?h) (2) 根据丽水市 2001 年至 2003 年全社会用电量统计数据, 求这两年年平 均增长的百分率(保留两个有效数字) .

21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫, 平均每天可售出 30 件, 每件盈利 40 元. 为 了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价 1 元时,平均 每天可多卖出 2 件. (1)若商场要求该服装部每天盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? (2)试说明每件衬衫降价多少元时,商场服装部每天盈利最多.

22.设 a,b,c 是△ABC 的三条边,关于 x 的方程

1 2 1 x + b x+c- a=0 有两个 2 2

相等的实数根,?方程 3cx+2b=2a 的根为 x=0. (1)试判断△ABC 的形状. (2)若 a,b 为方程 x2+mx-3m=0 的两个根,求 m 的值.
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24、如图,A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点 P、 Q 分别从点 A、C 同时出发,点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达点 B 为止;点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动,经过多长时间 P、Q 两点之间的距离 是 10cm?
C Q B P A D

25、如图,在△ABC 中,∠B=90°,BC=12cm,AB=6cm,点 P 从点 A 开 始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动 (不与 B 点重合) , 动直线 QD 从 AB 开 始以 2cm/s 速度向上平行移动,并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点,连结 DP, 设动点 P 与动直线 QD 同时出发,运动时间为 t 秒, (1)试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形?如果 P 点的速度是以 1cm/s, C 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗?那又是什么特殊的四边形呢? (2)求 t 为何值时,四边形 BPDQ 的面积最大,最大面积是多少?

Q ↑ B

D A

P ←

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答案: 1.x1=3,x2=10 2. (5) 点拨:准确掌握一元二次方程的定义:即含一个未知数,未知数的最高次数是 2, 整式方程. 3.6x2-2=0 4.4 -2 点拨:把 5.m≠±1 6.m>-

1 看做一个整体. x

1 12

点拨:理解定义是关键.

7.0 点拨:绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想. 8.y2-5y+6=0 x1= 2 ,x2=- 2 ,x3= 3 ,x4=- 3 9.x2-x=0(答案不唯一) 10.-27 11.D 点拨:满足一元二次方程的条件是二次项系数不为 0. 12.A 点拨:准确掌握分式值为 0 的条件,同时灵活解方程是关键. 13.B 点拨:理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键,同时要注意 x2+y2 式子本身 的属性. 14.C 点拨:灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键. 15.D 点拨:本题的关键是整体思想的运用. 16.C 点拨:?本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用. 17. (1)整理得(x+2)2=4, 即(x+2)=±2, ∴x1=0,x2=-4 (2)x(x-3)-x=0, x(x-3-1)=0, x(x-4)=0, ∴x1=0,x2=4. (3) 得 3 x2+ 3 -6x=0, x2-2 3 x+1=0, 由求根公式得 x1= 3 + 2 , x2= 3 - 2 . (4)设 x+3=y,原式可变为 y2+3y-4=0,解得 y1=-4,y2=1, 即 x+3=-4,x=-7.由 x+3=1,得 x=-2.∴原方程的解为 x1=-7,x2=-2. 18.由已知 x2-10x+y2-16y+89=0,得(x-5)2+(y-8)2=0, ∴x=5,y=8,∴

x 5 = . y 8

19. (1)换元 降次 (2)设 x2+x=y,原方程可化为 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2. 由 x2+x=6,得 x1=-3,x2=2.由 x2+x=-2,得方程 x2+x+2=0, b2-4ac=1-4?2=-7<0,此时方程无解. 所以原方程的解为 x1=-3,x2=2. 20. (1) 年 份 2000 2001 2002 2003

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全社会用电量 (单位:亿 kW?h)

13.33

14.73

17.05

21.92

(2)设 2001 年至 2003 年平均每年增长率为 x,则 2001 年用电量为 14.73 亿 kW?h, 2002 年为 14.73(1+x)亿 kW?h,2003 年为 14.73(1+x)2 亿 kW?h. 则可列方程:14.73(1+x)2=21.92,1+x=±1.22,∴x1=0.22=22%,x2=-2.22(舍去) . 则 2001~2003 年年平均增长率的百分率为 22%. 21. (1)设每件应降价 x 元,由题意可列方程为(40-x) ? (30+2x)=1200, 解得 x1=0,x2=25, 当 x=0 时,能卖出 30 件; 当 x=25 时,能卖出 80 件. 根据题意,x=25 时能卖出 80 件,符合题意. 故每件衬衫应降价 25 元. (2)设商场每天盈利为 W 元. 2 W= (40-x) (30+2x) =-2x2+50x+1200=-2 (x2-25x) +1200=-2 (x-12.5) +1512.5 当每件衬衫降价为 12.5 元时,商场服装部每天盈利最多,为 1512.5 元. 22.∵

1 2 1 x + b x+c- a=0 有两个相等的实数根, 2 2 1 1 ∴判别式=( b )2-4? (c- a)=0, 2 2

整理得 a+b-2c=0 ①,又∵3cx+2b=2a 的根为 x=0,∴a=b ②. 把②代入①得 a=c,∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形. (2)a,b 是方程 x2+mx-3m=0 的两个根, 所以 m2-4?(-3m)=0,即 m2+12m=0,∴m1=0,m2=-12. 当 m=0 时,原方程的解为 x=0(不符合题意,舍去) , ∴m=12.

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