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内蒙古包头一中2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年内蒙古包头一中高考数学一模试卷(文科)
一.选择题 1.已知集合 A={x|x2≤4,x∈R},B={x| A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} ≤4,x∈Z},则 A∩B( D.{0,2} )

2.已知 p:?x∈R,x2﹣x+1>0,q:?x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬p∨q C.p∨¬q D.¬p∧¬q



3.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下面不等式中正确的是( A.b﹣a>0 B.a3+b3<0 C.b+a<0 D.a2﹣b2>0



4.将函数

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得函 ) C. D.

数 g(x)图象的一个对称中心可以是( A. B.

5.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为(



A.12

B.16

C.

+4 D.4

+4

6.已知△ ABC 满足 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形

,则△ ABC 是( D.钝角三角形



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7.等差数列{an}中,a3 和 a9 是关于 x 的方程 x2﹣16x+c=0(c<64)的两实根,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 ) B.88 C.143 D.176

8.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x2+y2=λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范围是 ( ) C.{2,4} D.(4,+∞)

A.{2}∪(4,+∞) B.(2,+∞)

9.执行如图所示的程序框图,若输出 S=15,则框图中①处可以填入 (



A.n≥4?

B.n≥8?

C.n≥16?

D.n<16?

10.记集合 A={(x,y)|x2+y2≤16},集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分 别为 Ω1,Ω2.若在区域 Ω1 内任取一点 P(x,y),则点 P 落在区域 Ω2 中的概率为( A. B. C. D. )

11.已知圆 M:(x+

)2+y2=36,定点 N( =2 + =1 , ?

,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 )

G 在线段 MP 上,且满足 A. + =1 B.

=0,则点 G 的轨迹方程为(

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C.



=1

D.



=1

12.已知 f(x)=

,若 a,b,c,d 是互不相同的四个正数,且 f(a)=f(b)

=f(c)=f(d),则 abcd 的取值范围是( A.(21,25) B.(21,24)

) D.(20,25)

C.(20,24)

二.填空题 13.数列{an}中,a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),则 a2011= .

14.已知 x,y 均为正实数,且 x+3y=2,则

的最小值为



15.已知点 P(x,y)满足 小值为 .

,过点 P 的直线与圆 x2+y2=50 相交于 A,B 两点,则|AB|的最

16.函数 f(x)=

满足[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域中的任 .

意两个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是

三.解答题 17.已知△ ABC 的周长为 (Ⅰ)求边长 a 的值; (Ⅱ)若 S△ ABC=3sinA,求 cosA 的值.
第 3 页(共 24 页)

,且



18.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是线段 AB 中点. (1)证明:D1E⊥CE; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)求 A 点到平面 CD1E 的距离.

19.2014 年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服 务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85, 90)后得到如图的频率分布直方图. (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值; (2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左、右焦点分别为 F1,F2,点 G 在椭圆

C 上,且

?

=0,△ GF1F2 的面积为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ)直线 l:y=k(x﹣1)(k<0)与椭圆 Γ 相交于 A,B 两点.点 P(3,0),记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,当 最大时,求直线 l 的方程.

21.已知函数 f(x)=(x﹣2)ex 和 g(x)=kx3﹣x﹣2 (1)若函数 g(x)在区间(1,2)不单调,求 k 的取值范围; (2)当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 k 的最大值.

22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数),以原点 O 为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.



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2016 年内蒙古包头一中高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1.已知集合 A={x|x2≤4,x∈R},B={x| A.(0,2) B.[0,2] 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣2≤x≤2,即 A=[﹣2,2], 由 B 中不等式解得:0≤x≤16,x∈Z,即 B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15,16}, 则 A∩B={0,1,2}, 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. C.{0,1,2} ≤4,x∈Z},则 A∩B( D.{0,2} )

2.已知 p:?x∈R,x2﹣x+1>0,q:?x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬p∨q C.p∨¬q D.¬p∧¬q



【考点】复合命题的真假. 【专题】转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别判断出 p,q 的真假,从而判断出其复合命题的真假即可. 【解答】解:关于 p:?x∈R,x2﹣x+1= 故命题 p 是真命题, 关于 q:?x∈(0,+∞),sinx>1, ∵?x∈(0,+∞),sinx≤1, 故命题 q 是假命题, 故 p∨¬q 是真命题, 故选:C.
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+ >0,成立,

【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质,考查复合命题的判断,是一道基础题.

3.设 a,b∈R,若 a﹣|b|>0,则下面不等式中正确的是( A.b﹣a>0 B.a3+b3<0 C.b+a<0 【考点】不等关系与不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用不等式的性质即可得出. D.a2﹣b2>0



【解答】解:∵a﹣|b|>0,∴a>|b|,∴a2>b2,即 a2﹣b2>0. 故选 D. 【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.

4.将函数

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得函 ) C. D.

数 g(x)图象的一个对称中心可以是( A. B.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 根据 y=Asin (ωx+?) 的图象变换规律可得所得图象对应的函数为 y=sin ( x+ =kπ,k∈z,可得对称中心的横坐标,从而得出结论. 【解答】解:∵ ∴由 令 故选:C. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,正弦函数的对称中心,属于中档题. ,∴ . , , ) , 由 x+

5.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为(



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A.12

B.16

C.

+4 D.4

+4

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形,底边长、高都为 2 的等腰三角形,即可求出该几何体的全面积. 【解答】解:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形, 侧面是底边长、高都为 2 的等腰三角形, ∴几何体的全面积为 2×2+4× ×2×2=12. 故选:A. 【点评】本题考查几何体的全面积,考查学生的计算能力,确定几何体为四棱锥是关键.

6.已知△ ABC 满足 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形

,则△ ABC 是( D.钝角三角形



【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】根据向量的加减运算法则,将已知化简得 = + ? ,得 ? =0.结合向量数量

积的运算性质,可得 CA⊥CB,得△ ABC 是直角三角形. 【解答】解:∵△ABC 中, ∴ = 即 ∴ ( = ⊥ ﹣ + )+ ? ? ,得 = ? ? + =0 ? ,

即 CA⊥CB,可得△ ABC 是直角三角形

故选:C
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【点评】本题给出三角形 ABC 中的向量等式,判断三角形的形状,着重考查了向量的加减法则、数 量积的定义与运算性质等知识,属于基础题.

7.等差数列{an}中,a3 和 a9 是关于 x 的方程 x2﹣16x+c=0(c<64)的两实根,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 ) B.88 C.143 D.176

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的性质和韦达定理求解. 【解答】解:∵等差数列{an}中,a3 和 a9 是关于 x 的方程 x2﹣16x+c=0(c<64)的两实根, ∴a3+a9=16, ∴该数列前 11 项和 S11= 故选:B. 【点评】本题考查等差数列的前 11 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,解题时要注意等差 数列的性质的合理运用. = =88.

8.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x2+y2=λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范围是 ( ) C.{2,4} D.(4,+∞)

A.{2}∪(4,+∞) B.(2,+∞) 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆.

【分析】根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x2+y2=λ 的图象,抓住两个关键点,当圆 O 与两射 线相切时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB,由三角形 AOB 为等腰直角三 角形,利用三线合一得到 OC 为斜边 AB 的一半,利用勾股定理求出斜边,即可求出 OC 的长,平方 即可确定出此时 λ 的值;当圆 O 半径为 2 时,两函数图象有 3 个公共点,半径大于 2 时,恰好有 2 个公共点,即半径大于 2 时,满足题意,求出此时 λ 的范围,即可确定出所有满足题意 λ 的范围. 【解答】解:根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x2+y2=λ 的图象,如图所示, 当 AB 与圆 O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB, ∵OA=OB=2,∠AOB=90°,
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∴根据勾股定理得:AB=2 ∴OC= AB=



,此时 λ=OC2=2;

当圆 O 半径大于 2,即 λ>4 时,两函数图象恰好有两个不同的公共点, 综上,实数 λ 的取值范围是{2}∪(4,+∞). 故选 A

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想是解本 题的关键.

9.执行如图所示的程序框图,若输出 S=15,则框图中①处可以填入 (



A.n≥4?

B.n≥8?

C.n≥16?

D.n<16?

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图.

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【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程 序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S=1,n=2,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=3,n=4,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=7,n=8,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S=15,n=16,满足退出循环的条件; 故判断框中的条件应为 n≥16?, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法 解答.

10.记集合 A={(x,y)|x2+y2≤16},集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分 别为 Ω1,Ω2.若在区域 Ω1 内任取一点 P(x,y),则点 P 落在区域 Ω2 中的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意,根据几何概型的公式,只要求出平面区域 Ω1,Ω2 的面积,利用面积比求值. 【解答】解:由题意,两个区域对应的图形如图, 其中 , , ;

由几何概型的公式可得点 P 落在区域 Ω2 中的概率为 故选 B.

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【点评】本题考查了几何概型的概率求法,解答本题的关键是分别求出平面区域 Ω1,Ω2 的面积,利 用几何概型公式求值.

11.已知圆 M:(x+

)2+y2=36,定点 N( =2 + =1 , ?

,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 )

G 在线段 MP 上,且满足 A. + =1 B.

=0,则点 G 的轨迹方程为(

C.



=1

D.



=1

【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由 =2 , ? =0,知 Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN,可得|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点

的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,从而可求方程. 【解答】解:由 =2 , ? =0,知 Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN,

∴GQ 为 PN 的中垂线,∴|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6, 故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a=3,半焦距 c= ∴短半轴长 b=2,
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∴点 G 的轨迹方程是 故选:A.

+

=1.

【点评】本题主要考查椭圆的定义,解题的关键是将问题等价转化为符合椭圆的定义.

12.已知 f(x)=

,若 a,b,c,d 是互不相同的四个正数,且 f(a)=f(b)

=f(c)=f(d),则 abcd 的取值范围是( A.(21,25) B.(21,24)

) D.(20,25)

C.(20,24)

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】图象法:画出函数 y=f(x)的图象,根据图象分析 a,b,c,d 的关系及取值范围,从而求 出 abcd 的取值范围.

【解答】解:先画出 f(x)=

的图象,如图:

∵a,b,c,d 互不相同,不妨设 a<b<c<d. 且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d),3<c<4,d>6. ∴﹣log3a=log3b,c+d=10, 即 ab=1,c+d=10, 故 abcd=c(10﹣c)=﹣c2+10c,由图象可知:3<c<4, 由二次函数的知识可知:﹣32+10×3<﹣c2+10c<﹣42+10×4,
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即 21<﹣c2+12c<24, ∴abcd 的范围为(21,24). 故选:B. 【点评】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力,以及对数函数图象的特点,注意体会数形 结合思想在本题中的运用.

二.填空题 13.数列{an}中,a1=2,a2=3,an= 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),a3= = ,同理可得:a4= ,a5= ,a6= ,a7=2, (n∈N*,n≥3),则 a2011= .

a8=3,…,可得 an+6=an.即可得出. 【解答】解:∵a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),

∴a3=

= ,同理可得:a4= ,a5= ,a6= ,a7=2,a8=3,…,

∴an+6=an. 则 a2011=a6×333+3=a3= . 故答案为: . 【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14.已知 x,y 均为正实数,且 x+3y=2,则 【考点】基本不等式. 【专题】转化思想;不等式.

的最小值为



【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x,y 均为正实数,且 x+3y=2,

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则 当 ∴

= x= y=

= 时取等号. , .



=

,当且仅

的最小值为

故答案为:

【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

15.已知点 P(x,y)满足 小值为 2 .

,过点 P 的直线与圆 x2+y2=50 相交于 A,B 两点,则|AB|的最

【考点】简单线性规划;直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;直线与圆;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,求出可行域内到原点距离最远的点,然后结合弦心距、圆的半径 及弦长间的关系得答案. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,

联立

,解得 A(2,5). ,

由图可知,可行域内的点中,A1 到原点的距离最大,为 ∴|AB|的最小值为 2 故答案为: . .

【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,训练了直线与圆位置关系的 应用,是中档题.

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16.函数 f(x)=

满足[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域中的任 .

意两个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是 (0, ] 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用.

【分析】 首先判断函数 f (x) 在 R 上单调递减, 再分别考虑各段的单调性及分界点, 得到 0<a<1①a ﹣3<0②a0≥(a﹣3)×0+4a③,求出它们的交集即可. 【解答】解:[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)<0 对定义域中的任意两个不相等的 x1,x2 都成立, 则函数 f(x)在 R 上递减, 当 x<0 时,y=ax,则 0<a<1① 当 x≥0 时,y=(a﹣3)x+4a,则 a﹣3<0② 又 a0≥(a﹣3)×0+4a③ 则由①②③,解得 0<a≤ . 故答案为:(0, ]. 【点评】本题考查分段函数及运用,考查函数的单调性及应用,注意分界点的情况,考查运算能力, 属于中档题和易错题.

三.解答题 17.已知△ ABC 的周长为 (Ⅰ)求边长 a 的值; (Ⅱ)若 S△ ABC=3sinA,求 cosA 的值. 【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】(I)根据正弦定理把 a 的值. (II)通过面积公式求出 bc 的值,代入余弦定理即可求出 cosA 的值. 【解答】解:(I)根据正弦定理, 可化为 . 转化为边的关系,进而根据△ ABC 的周长求出 ,且 .

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联立方程组 解得 a=4. ∴边长 a=4; (II)∵S△ ABC=3sinA, ∴ 又由(I)可知, ∴ . ,





【点评】本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式.这几个公式是解决三角形边角问题的常 用公式,应熟练记忆,并灵活运用.

18.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是线段 AB 中点. (1)证明:D1E⊥CE; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)求 A 点到平面 CD1E 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)根据线面垂直的性质定理,证明 CE⊥面 D1DE 即可证明:D1E⊥CE; (2)建立坐标系,利用向量法即可求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)根据点到平面的距离公式,即可求 A 点到平面 CD1E 的距离. 【解答】解:(1)证明:DD1⊥面 ABCD,CE?面 ABCD 所以,DD1⊥CE, Rt△ DAE 中,AD=1,AE=1,

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DE= 同理:CE= DE⊥CE, DE∩CE=E,

=



,又 CD=2,CD2=CE2+DE2,

所以,CE⊥面 D1DE, 又 D1E?面 D1EC, 所以,D1E⊥CE. (2)设平面 CD1E 的法向量为 =(x,y,z), 由(1)得 ? =(1,1,﹣1), ? =x﹣y=0 =(1,﹣1,0)

=x+y﹣1=0,

解得:x=y= ,即 =( , ,1); 又平面 CDE 的法向量为 =(0,0,1),

∴cos< ,

>=

=

=



所以,二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值为 (3))由(1)(2)知



=(0,1,0),平面 CD1E 的法向量为 =( , ,1)

故,A 点到平面 CD1E 的距离为 d=

=

=



【点评】本题主要考查直线和平面垂直的性质,以及空间二面角和点到直线的距离的计算,利用向 量法是解决本题的关键.

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19.2014 年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服 务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85, 90)后得到如图的频率分布直方图. (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值; (2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;散点图. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,由此能求出众数的估计值;设图中虚线所对应的 车速为 x,由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值. (2)从频率分布直方图求出车速在[60,65)的车辆数、车速在[65,70)的车辆数,设车速在[60, 65)的车辆设为 a,b,车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f,利用列举法能求出车速在[65,70) 的车辆恰有一辆的概率. 【解答】解:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点, 即众数的估计值等于 77.5, 设图中虚线所对应的车速为 x, 则中位数的估计值为:0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x﹣75)=0.5, 解得 x=77.5, 即中位数的估计值为 77.5, 平均数的估计值为:5×(62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02)=77. (2)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为:m1=0.01×5×40=2(辆), 车速在[65,70)的车辆数为:m2=0.02×5×40=4(辆)
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设车速在[60,65)的车辆设为 a,b, 车速在[65,70)的车辆设为 c,d,e,f, 则所有基本事件有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e), (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共 15 种 其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有: (a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f)共 8 种 ∴车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为 .

【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 列举法的合理运用.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,左、右焦点分别为 F1,F2,点 G 在椭圆

C 上,且

?

=0,△ GF1F2 的面积为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=k(x﹣1)(k<0)与椭圆 Γ 相交于 A,B 两点.点 P(3,0),记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,当 最大时,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为 得 a2=4,b2=2,则椭圆方程可求; 、点 G 在椭圆上、 ? =0 及△ GF1F2 的面积为 2 列式求

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(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到 A,B 两 点横坐标的和与积,把 则直线 Γ 的方程可求. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 , 转化为含有 k 的代数式,利用基本不等式求得使 取得最大值的 k,

∴e=

,①

∵左右焦点分别为 F1、F2,点 G 在椭圆上, ∴| ∵ ∴| |+| ? |2+| |=2a,② =0,△ GF1F2 的面积为 2, |2=4c2,③ ,④ 联立①②③④,得 a2=4,b2=2, ∴椭圆 C 的方程为 ;

(Ⅱ)联立

,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴ .

=

=

=

,当且仅当

时,取得最值.

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此时 l:y=



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用,考查了直线和圆锥曲 线间的关系,训练了利用基本不等式求最值,考查了计算能力,是中档题.

21.已知函数 f(x)=(x﹣2)ex 和 g(x)=kx3﹣x﹣2 (1)若函数 g(x)在区间(1,2)不单调,求 k 的取值范围; (2)当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 k 的最大值. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数单调性的性质;函数恒成立问题. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(1)求出 g'(x)=3kx2﹣1,通过①当 k≤0 时,②当 k>0 时,函数 g(x)在区间(1,2) 不单调,判断导数的符号,得到函数有极值,即可求 k 的取值范围; (2)构造 h(x)=f(x)﹣g(x)=(x﹣2)ex﹣kx3+x+2,转化 h(x)=(x﹣2)ex﹣kx3+x+2≥0 在 [0,+∞)上恒成立,通过 h'(0)=0,对 是否满足题意,求出 k 的最大值. 【解答】解:(1)g'(x)=3kx2﹣1… ①当 k≤0 时,g'(x)=3kx2﹣1≤0,所以 g(x)在(1,2)单调递减,不满足题意;… ②当 k>0 时,g(x)在 上单调递减,在 ,解得 上单调递增, … 时, 时,判断函数的单调性,以及函数的最值,

因为函数 g(x)在区间(1,2)不单调,所以 综上 k 的取值范围是 .…

(2)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=(x﹣2)ex﹣kx3+x+2 依题可知 h(x)=(x﹣2)ex﹣kx3+x+2≥0 在[0,+∞)上恒成立 …

h'(x)=(x﹣1)ex﹣3kx2+1,令 φ(x)=h'(x)=(x﹣1)ex﹣3kx2+1, 有 φ(0)=h'(0)=0 且 φ'(x)=x(ex﹣6k)… ①当 6k≤1,即 时,

因为 x≥0,ex≥1,所以 φ'(x)=x(ex﹣6k)≥0 所以函数 φ(x)即 h'(x)在[0,+∞)上单调递增,又由 φ(0)=h'(0)=0 故当 x∈[0,+∞)时,h'(x)≥h'(0)=0,所以 h(x)在[0,+∞)上单调递增 又因为 h(0)=0,所以 h(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,满足题意;…
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②当 6k>1,即

时,

当 x∈(0,ln(6k)),φ'(x)=x(ex﹣6k)<0,函数 φ(x)即 h'(x)单调递减, 又由 φ(0)=h'(0)=0,所以当 x∈(0,ln(6k)),h'(x)<h'(0)=0 所以 h(x)在(0,ln(6k))上单调递减,又因为 h(0)=0,所以 x∈(0,ln(6k))时 h(x) <0, 这与题意 h(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立相矛盾,故舍.… 综上 ,即 k 的最大值是 .…

【点评】本题考查函数的导数的综合应用,构造法以及转化思想的应用,同时考查分类讨论思想的 应用,难度比较大,考查分析问题解决问题的能力.

22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数),以原点 O 为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程.



【分析】(Ⅰ)由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程,化圆的极坐标方程为直角坐标方 程,再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系; (Ⅱ)设出曲线 C 上的点的参数方程,由 x+y=sinθ+cosθ,利用两角和的正弦化简后可得 x+y 的取 值范围.

【解答】解:(Ⅰ)由

,消去 t 得:y=x+



由 ∴ 化为标准方程得:

,得 ,即 .
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,即 .



圆心坐标为 1. ∴直线 l 与曲线 C 相离;

, 半径为 1, 圆心到直线 x﹣y+

=0 的距离 d=



(Ⅱ)由 M 为曲线 C 上任意一点,可设



则 x+y=sinθ+cosθ= ∴x+y 的取值范围是 .



【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,考查了由点到直线 的距离判断直线和圆的位置关系,训练了圆的参数方程的应用,是基础题.

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