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广东省广州市2013届高三考前训练题



2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)
说明: ⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写,共 24 题. ⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用,希望在 5 月 31 日之前完成. 3.本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套,互为补充.四套试题覆 盖了高中数学的主要知识和方法.因此,希

望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间,安排一段时间,对这 四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知识(如概念、定理、公式等)再复 习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

0 1. 已知函数 f ( x ) ? A sin ( x ? ? )( A ? 0, ? ? ? π ) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ?

?π 1? , ?. ? 3 2?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?
? 2?

?

π?

3 5

, f (? ) ?

12 13

,求 f (? ? ? ) 的值.

2. 设函数 f ( x ) ? 2 sin x ? cos x . (1)若 x 0 是函数 f ( x ) 的一个零点,求 cos 2 x 0 的值; (2)若 x 0 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 sin 2 x 0 的值.

3. 在 ? A B C 中,内角 A , B , C 所对的边长分别是 a , b , c , 已知 A ?

?
4

, cos B ?

4 5

.

(1)求 co s C 的值; (2)若 B C ? 1 0 , D 为 A B 的中点,求 C D 的长.

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 1 页 共 23 页

4. 一缉私艇发现在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向,距离 15 海里的海面上 有一走私船正以 25 海里/小时的速度沿方位角为 105°的方向逃窜.若缉私艇的速度为 35 海里/小时,缉 私艇沿方位角为 45°+α 的方向追去,若要在最短时间内追上该走私船. (1)求角 α 的正弦值; (2)求缉私艇追上走私船所需的时间.

5. 某网站用 “10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名, 以下茎叶图记录了他们 的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):
幸福度 7 8 9 3 0 7 8 8 9 9

6 6 6 6 7 7 6 5 5

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人 是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到 “极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

6.汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 C O 2 排放量超过
1 3 0 g /k m

的 M 1 型新车进行惩罚.某检测单位对甲、乙两类 M 1 型品牌车各抽取 5 辆进行

C O 2 排放量检测,记录如下(单位: g /k m ).

甲 乙

80 100

110 120

120
x

140
y

150 160

经测算发现,乙品牌车 C O 2 排放量的平均值为 x乙

? 1 2 0 g /k m



(1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则至少有一辆不符合 C O 2 排放量的概率是多少? (2)若 90
? x ? 130

,试比较甲、乙两类品牌车 C O 2 排放量的稳定性.

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7.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件. 已知生产 1 件一、 三等品获得的利润分别为 6 万元、 万元、 万元, 1 件次品亏损 2 万元. 二、 2 1 而 设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1 % ,一等品率提高为 7 0 % .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

8.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面为直角梯形, A D // B C , ? B A D ? 9 0 , P A ? 底 面 A B C D , P A ? A D ? A B ? 2 B C , M , N 分别为 P C , P B 的中点. (1)求证: P B ? D M ; (2)求 C D 与平面 A D M N 所成的角的正弦值.
P

?

N A B

M D

C

9.一个三棱锥 S ? A B C 的三视图、直观图如图. (1)求三棱锥 S ? A B C 的体积; (2)求点 C 到平面 SAB 的距离; (3)求二面角 S ? A B ? C 的余弦值.

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10.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体 的体积分别为 V F ? ABCD , V F ? CBE ,求 V F ? ABCD : V F ? CBE .

11.已知等比数列 { a n } 的公比 q ? 1 , a 1 ? 3 2 ,且 2 a 2 、 3 a 3 、 4 a 4 成等差数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ? lo g 2 a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵 塞,此时车流速度为 0 ;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时, 车流量 f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达到最大, 并求出最大值 (精确到 1 辆/小时) (车 . 流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)

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13.某地区有荒山 2200 亩,从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造林, 第一年植树 100 亩,以后每年比上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部成活,则到哪一年可以将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那么到全部绿化后的 那一年年底,该山木材总量是多少?(精确到1立方米, 1 . 2 ? 4 . 3 )
8

2 14. 已知抛物线 C 1 : y ? 8 x 与双曲线 C 2 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 有公共焦点 F 2 ,点 A

是曲线 C 1 , C 2 在第一象限的交点,且 A F 2 ? 5 .Ks5u (1)求双曲线 C 2 的方程; (2)以双曲线 C 2 的另一焦点 F1 为圆心的圆 M 与直线 y ?
( x ? 2) ? y ? 1 . 过点 P (1,
2 2

3 x 相切,圆 N :

3 ) 作互相垂直且分别与圆 M 、 N 相交的直线 l1 和 l 2 , l1 被圆 M 截 圆 设
s t

得的弦长为 s , l 2 被圆 N 截得的弦长为 t .

是否为定值?请说明理由.

15. 如图,长为 m+1(m>0)的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 M 是线段 AB 上 → → 一点,且AM=mMB. (1)求点 M 的轨迹 Γ 的方程,并判断轨迹 Γ 为何种圆锥曲线; 1 (2)设过点 Q(2,0)且斜率不为 0 的直线交轨迹 Γ 于 C、D 两点.试 问在 x 轴上是否存在定点 P,使 PQ 平分∠CPD?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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16.已知数列 ? a n ? 的前 n 项和的平均数为 2 n ? 1 (1)求 ? a n ? 的通项公式; (2)设 c n ? (3)设函数 f ( x ) ? ? x ? 4 x ?
2

an 2n ? 1

,试判断并说明 c n ? 1 ? c n ( n ? N ) 的符号;

?

an 2n ? 1

,是否存在最大的实数 ? ? 当 x ? ? 时,对于一切非零自然数 n ,

都有 f ( x ) ? 0

17. 数列 { a n } 满足 a 1 =

1 3

,且 n ? 2 时, a n =

a n- 1 2 - a n- 1



(1) 求数列 { a n } 的通项公式; (2) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,求证对任意的正整数 n 都有
2 3 (1 1 2
n

) ? Sn

5 6

?1 ? ( x ? 0) 18. 设 k ? R ,函数 f ( x ) ? ? x , F ( x ) ? f ( x ) ? kx , x ? R . ?e x ( x ? 0) ?

(1)当 k ? 1 时,求函数 F ( x ) 的值域; (2)试讨论函数 F ( x ) 的单调性.

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19.已知函数 f ( x ) ? ax ?

b x

? c ( a ? 0 ) 的图像在点 (1, f (1 )) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .

(1)用 a 表示出 b, c ; (2)若 f ( x ) ? ln x 在 [1, ?? ) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?
1 2 ? 1 3 ? ??? ? 1 n ? ln( n ? 1 ) ? n 2 ( n ? 1) ( n ? 1) .

2 20.如图,已知直线 l : y ? 4 x 及曲线 C : y ? x , C 上的点 Q 1 的横坐标为 a 1 ( 0 ? a 1 ? 4 ).从曲线 C 上的点

Q n ( n ? 1) 作 直 线 平 行 于 x 轴 , 交 直 线 l 于 点 Pn ? 1, 再 从 点 Pn ? 1 作 直 线 平 行 于 y 轴 , 交 曲 线

C 于 点 Q n ? 1 . Q n (n ? 1 , 2 ?3) , , 的横坐标构成数列 ? a n ? .

y

(1)试求 a n ? 1与 a n 的关系; (2)若曲线 C 的平行于直线 l 的切线的切点恰好介于点 Q 1 , Q 2 之间 (不与 Q 1 , Q 2 重合),求 a 3 的取值范围; (3)若 a 1 ? 3 ,求数列 ? a n ? 的通项公式.

P P O
3

2

Q1

Q2 Q3

a a a
3 2

1

x

21. 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

2 x

? a ln x ? x ? 0 ? , f

? x ? 的导函数是
f

f

'

? x ? , 对任意两个不相等

的正数 x1 , x 2 , 证明: (1)当 a ? 0 时, (2)当 a ? 4 时,

f

? x1 ? ?
2
f
'

? x2 ?

? x ? x2 ? ? f ? 1 ?; 2 ? ?
? x1 ? x 2 .

? x1 ? ?

f

'

? x2 ?

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22. 对于函数 f ( x ) ,若存在 x 0 ∈R,使 f ( x 0 ) ? x 0 成立,则称 x 0 为 f ( x ) 的不动点.
x ?a
2

如果函数 f ( x ) =

bx ? c

有且仅有两个不动点 0 和 2. (1)试求 b、c 满足的关系式;
a n ?1

? 1 ? (2)若 c=2 时,各项不为零的数列{an}满足 4Sn· f ( ) =1,求证: ? 1 ? ? an ? an ?

1

? 1 ? < <?1 ? ? an ? e ?
1

an



(3)在(2)的条件下, 设 bn=-

1 an

, T n 为数列{bn}的前 n 项和,求证: T 2 0 0 9 ? 1 ? ln 2 0 0 9 ? T 2 0 0 8 .

23. 已 知 定 义 在

R

上的单调函数

f (x)

,存在实数

x0

,使得对于任意实数

x1 , x 2

,总有

f ( x 0 x1 ? x 0 x 2 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立.

(1)求 x 0 的值; (2)若

f ( x 0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n

,有 a n

?

1 f (n)

, bn ? f (

1 2
n

) ?1,

记 S n ? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 , T n ? b1 b 2 ? b 2 b 3 ? ? ? b n b n ? 1 ,比较 S n 与 T n 的大小关系,并给出证明.
3

4

24. 已知函数 f ( x ) ?

x 1? x

( x ? 0 ) ,设 f ( x ) 在点 ( n , f ( n ))( n ? N*)处的切线在 y 轴上的截距为 b n ,数列

?a n ? 满足: a 1
(2)在数列 ?

?

1 2
2

, a n ? 1 ? f ( a n )( n ? N*)(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; .

? bn ? an

?

bn ? 取最小值,求 ? 的取值范围; ? 中,仅当 n ? 5 时, 2 ? an ? an an
2

? ?

(3)令函数 g ( x ) ? f ( x )(1 ? x ) ,数列 ?c n ? 满足: c1 ? 求证:对于一切 n ? 2 的正整数,都满足: 1 ?
1 1 ? c1 ?

1 2 1

, c n ? 1 ? g ( c n )( n ? N*) ,
?? ? 1 1 ? cn ? 2.

1 ? c2

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2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案
1. 解: (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) ,将点 M ( 而 0 ? ? ? ? ,?
?
3 ?? ? 3 5 5 6 , cos ? ? 12 13

?
3

,

1 2

) 代入得 s in ( ) ? cos x .

?
3

??) ?

1 2



? ,? ? ?

?
2

,故 f ( x ) ? s in ( x ?
?
2 ),

?
2

(2)依题意有 c o s ? ?

,而 ? , ? ? (0 ,
12 13 5 13

? sin ? ?

3 2 4 1 ? ( ) ? , sin ? ? 5 5

1? (

) ?
2


3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 1 2

f (? ? ? ) ? c o s(? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? sin ? sin ? ?

?

?

?

?

. .

2. 解: (1)? x 0 是函数 f ( x ) 的一个零点, ∴ 2 sin x 0 ? co s x 0 ? 0 , 从而 tan x 0 ?
2 2

∴ cos 2 x 0 ?

cos cos

x 0 ? sin x 0 ? sin

2 2

x0 x0

?

1 ? tan 1 ? tan

2 2

x0 x0

1? ? 1?

1 3 4 ? 1 5 4

(2) f ' ( x ) ? 2 cos x ? sin x , ? x 0 是函数 f ( x ) 的一个极值点 ∴ 2 co s x 0 ? sin x 0 ? 0 , 从而 tan x 0 ? ? ∴ sin 2 x 0 ? 2 sin x 0 c o s x 0 ?
4 5 1 2

.
? 2 ta n x 0 1 ? ta n x 0
2
2

2 sin x 0 c o s x 0 sin x 0 ? c o s x 0
2 2

? ?

4 5

.

3. 解: (1)? c o s B ?

, 且 B ? (0 , ? ) ,∴ s in B ? 3? 4 ? B)

1 ? cos B ?

3 5



∴ c o s C ? c o s( ? ? A ? B ) ? c o s(
3? 4 3? 4

? cos

c o s B ? sin

sin B ? ?

2 2

?

4 5

?

2 2

?

3 5

? ?

2 10
7



(2)由(1)可得 s in C ?

1 ? cos C ?
2

1 ? (?

2 10

)

2

?

2 .

10

由正弦定理得

BC s in A

?

AB s in C

,即

10 2 2

?

AB 7 10
2

,解得 A B ? 1 4 .
2

在 ? B C D 中, B D ? 7 , C D ? 7 ? 1 0 ? 2 ? 7 ? 1 0 ?
2 2

4 5

? 3 7 ,∴ C D ?

37 .

4. 解: (1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时, 则有|BC|=25t,|AB|=35t,

x1

x2 o

C 105 2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 9 页 共 23 页 o 45 α B

A

且∠CAB=α,∠ACB=120°, 根据正弦定理得:
2 5t s in ? 3 5t 3 2
| BC | s in ? ? | AB | s in 1 2 0
0





?

, ∴ sinα=

5 3 14



(2)在△ABC 中由余弦定理得:|AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC||BC|cos∠ACB, 即 (35t)2=152+(25t)2-2· 25t· 15· cos120°,即 24t2―15t―9=0, 解之得:t=1 或 t=-
9 24

(舍)

故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间. 5.解: (1)众数:8.6;中位数:8.75 (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福” 至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则 ,
P ( A ) ? P ( A 0 ) ? P ( A1 ) ? C 12 C 16
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3 3

?

C 4 C 12 C 16
3

1

2

?

121 140
高.考.资.源+网

(3) ξ 的可能取值为0、1、2、3.

3 3 27 3 2 27 1 1 P (? ? 0 ) ? ( ) ? ; P ( ? ? 1) ? C 3 ( ) ? 4 64 4 4 64 9 1 3 1 2 1 2 3 P (? ? 2 ) ? C 3 ( ) ? ; P (? ? 3 ) ? ( ) ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为

ξ
P

0
27 64

1
27 64 27 64 ? 1? 27 64

2
9 64 ? 2? 9 64

3
1 64
高考资源网

所以 E ? ? 0 ?

? 3? 1

1 64

? 0 .7 5 . 1 3

另解: ξ 的可能取值为0、1、2、3. 则 ? ? B (3, ) , P ( ? ? k ) ? C 3 ( ) ( )
k k
高..考.资.,

3? k

.

4

4

4

ξ 的分布列为 ξ
P

0
3 4
3

1
1 1 1 3 2 C3( ) ( ) 4 4

2
2 1 2 3 1 C3 ( ) ( ) 4 4

3
1 4
3

(

)

(

)

所以 E ? = 3 ?

1 4

? 0 . 75 .

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 10 页 共 23 页

6. 解: (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 C O 2 排放量结果: ( 80 , 110 );( 80 , 120 );( 80 , 140 );( 80 , 150 );( 110 , 120 ); ( 110 , 140 );( 110 , 150 );( 120 , 140 );( 120 , 150 );( 140 , 150 ). 设“至少有一辆不符合 C O 2 排放量”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果: ( 80 , 140 );( 80 , 150 );( 110 , 140 );( 110 , 150 );( 120 , 140 );( 120 , 150 );( 140 , 150 ). 所以, P ( A ) ?
7 10 ? 0 .7 .

答:至少有一辆不符合 C O 2 排放量的概率为 0 . 7

(2)由题可知, x甲 ? x乙 ? 120 , x ? y ? 220 .
5 S 甲 ? ? 8 0 ? 1 2 0 ? ? ?110 ? 120
2 2

?2 ?2

? ?120 ? 120 ?

?2
?

? ?140 ? 120

?2

? ?150 ? 120

?2

? 3000

5 S 乙 ? ?100 ? 120
2

?2

? ?120 ? 120

? x ? 120 ?2

? y ? 120 ?2

? ?160 ? 120

?2

? 2000 ? ? x ? 120
2

?2

?

?y

? 120

?2
? ? x ? 100

? x ? y ? 2 2 0,? 5 S 乙 ? 2000 ?

? x ? 120 ?2

?2 ,

令 x ? 120 ? t ,? 90 ? x ? 130 ,? ? 30 ? t ? 10 ,
? 5 S 乙 ? 2000 ? t ? ?t ? 20
2

2

?2 ,

? 5 S 乙 ? 5 S甲 ? 2 t ? 4 0 t ? 6 0 0 ? 2 ( t ? 3 0 )( t ? 1 0 ) ? 0
2 2
2

? x甲 ? x乙 ? 120 , S 乙 < S甲 ,∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.
2 2

7.解(1) ? 的所有可能取值有 6,2,1,-2; P ( ? ? 6 ) ?
P ( ? ? 1) ? 20 200 ? 0 .1 , P ( ? ? ? 2 ) ? 4 200 ? 0 .0 2

126 200

? 0 .6 3 , P ( ? ? 2 ) ?

50 200

? 0 .2 5

故 ? 的分布列为:
?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E ? ? 6 ? 0 .6 3 ? 2 ? 0 .2 5 ? 1 ? 0 .1 ? ( ? 2 ) ? 0 .0 2 ? 4 .3 4 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为
E ( x ) ? 6 ? 0 .7 ? 2 ? (1 ? 0 .7 ? 0 .0 1 ? x ) ? ( ? 2 ) ? 0 .0 1 ? 4 .7 6 ? x (0 ? x ? 0 .2 9 )

依题意, E ( x ) ? 4 .7 3 ,即 4 .7 6 ? x ? 4 .7 3 ,解得 x ? 0 .0 3 所以三等品率最多为 3 % .
2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 11 页 共 23 页

8. (1)解法 1:∵ N 是 P B 的中点, P A ?

AB

,∴ A N

? PB



∵ P A ? 平面 A B C D ,所以 A D ? P A . 又 A D ? A B , P A ? A B ? A ,∴ A D ? 平 面 P A B , A D ? P B . 又 A D ? A N ? N ,∴ P B ? 平面 A D M N . ∵ D M ? 平面 A D M N ,∴ P B ? D M . 解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 B C 可得, A ? 0, 0, 0 ? P (0, 0, 2 ), B (2, 0, 0 ), C ? 2 ,1, 0 ? , M 因为
???? ?????? ?

?1,

? 1 ? ? 1, ,1 ? , D (0, 2, 0 ) ? 2 ?

. z
P

P B ? D M ? ( 2 , 0 , ? 2 ) ? ? 1, ?
?
???? ????? ?

?

3 2

,1 ? ? 0
?

?

,所以 P B ? .

DM



(2)因为 所以 因此 因为

P B ? A D ? ( 2, 0, ? 2 ) ? (0, 2, 0 ) ? 0

P B ? A D ,又 P B ? D M ,所以 P B ? 平面 A D M N , ??? ???? ? ? P B , D C ? 的余角即是 C D 与平面 A D M N 所成的角. ???? ????? ? ???? ????? ? PB ? DC 10 ? ????? ? c o s ? P B , D C ? ? ???? .

N A B

M

y
D C

| PB | ?| DC |

5
10 5

所以 C D 与平面 A D M N 所成的角的正弦值为



x

9. 解: (1)由正视图、俯视图知 A C ? 4 ; 由正视图、侧视图知,点 B 在平面 SAC 上的正投影为 AC 的中点 D,则 B D ? 3 , B D ? 平面 S A C , B D ? A C ; 由俯视图、侧视图知,点 S 在平面 ABC 上的正投影为 DC 的中点 O, 则 S O ? 2 , S O ? 平面 A B C , S O ? A C .如图. (1)三棱锥 S ? A B C 的体积 V S ? A B C ?
1 ?1 ? ?? ? 4?3?? 2 ? 4 . 3 ?2 ?

解法一: 以 O 为原点,OA 为 x 轴,过 O 且平行于 BD 的直线为 y 轴,OS 为 z 轴,建立如图空间直角坐标系,可求
??? ??? S ? 0,, ? A ? 3,, ? B ? 1,, ? , S A ? ? 3,, 2 ? , B ? ? 1,, 2 ? , 0 2 0 0 30 0 ? S 3 ?

设 m ? ? x, y, z ? 是平面 SAB 的一个法向量,则
?? ?m ? ? ?? ?m ? ??? ?? ? ? SA ? 3x ? 2 y ? 0 9? 2 ,取 m ? ? 3,, ? , ??? 2? ? ? SB ? x ? 3 y ? 2 z ? 0
??? ?

??

0 0 C 0 0 (2)可知 C ? ? 1,, ? , A ? ? 4,, ? ,设点 C 到平面 SAB 的距离为 d ,
??? ?? ? CA ?m 24 133 ?? ? 则d ? . 133 m

?? ? ?? ? ? m ?n 9 133 n 01 (3)可知 n ? ? 0,,? 是平面 ABC 一个法向量,故 c o s ? m, ? ? ?? ? ? , 133 m ? n

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 12 页 共 23 页

二面角 S ? A B ? C 的余弦值为 解法二: (2)可求 A B ?
SB ? SO ? O B
2 2

9 133 133



AD ? BD
2

2

?
2

13 , SA ?
2

AO ? SO
2

2

?

13 ,

?
1 2

SO ? BD ? D O
2

?

14 ,
14 ? ? 2 ? ?
2

△SAB 的面积 S ? S A B ?

?

14 ?

?

13

?

2

? ?? ? ?

?

133 2



设点 C 到平面 SAB 的距离为 d , 由三棱锥 S ? A B C 的体积 4 ? V S ? A B C ? V C ? S A B ? 得d ?
12 S ?SAB ? 12 133 2 ? 24 133 133
1 3 ? S ? SAB ? d ,



(3)作 C H ? A B 于 H,作 O E // C H 交 AB 于 E,则 O E ? A B , 连接 SE,因 OE 是 SE 在底面 ABC 内的射影,而 O E ? A B ,故 S E ? A B , ? S E O 为二面角 S ? A B ? C 的平面角. △ABC 中,易求 B A ? B C ?
1 2

13 ,
1 2

由△ABC 的面积,

? AC ? BD ?

? AB ? C H ,C H ?

AC ? BD AB 3 4

?

12 13 13



△AEO 与△AHC 相似,相似比为 AO:AC=3:4,故 O E ?

CH ?

9 13 13



R t ? S E O 中, ta n ? S E O ?

SO OE

?

2 13 9
9 133 133



故 cos ? SE O ?
2

9 9 ? 2 13

?

?

?
2

,二面角 S ? A B ? C 的余弦值为

9 133 133



10.(1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB , , ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , ? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //
1 2

? CB ? 平面 ABEF

? AF ? 平面 CBF .
CD ,又 AO // 1 2 CD ,

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,
2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 13 页 共 23 页

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ,

? OM // 平面 DAF .

(3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD
? FG ? 平面 ABCD ,? V F ? ABCD ?
1 3

? 平面 ABEF
2 3 FG ,



S ABCD ? FG ?

? CB ? 平面 ABEF
? V F ? CBE ? V C ? BFE ?


1 3 S ? BFE ? CB ? 1 1 1 ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 2 6

? V F ? ABCD : V F ? CBE ? 4 : 1 .

11.解: (1)因为 2 a 2 、 3 a 3 、 4 a 4 成等差数列, 所以 2 a 2 ? 4 a 4 ? 6 a 3 ,即 a 1 q ? 2 a 1 q ? 3 a 1 q .
3 2

因为 a1 ? 0 , q ? 0 ,所以 2 q ? 3 q ? 1 ? 0 ,即 ( q ? 1)( 2 q ? 1) ? 0 .
2

因为 q ? 1 ,所以 q ?

1 2

.所以 a n ? a 1 q
6?n

n ?1

?1? ? 32 ? ? ? ?2?
*

n ?1

? 2

6?n

.

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 (2)因为 a n ? 2
6?n

(n ? N ) .
6?n

,所以 b n ? lo g 2 2

? 6?n.

所以 b n ? 6 ? n ? ?

? 6 ? n, 1 ? n ? 6, ? n ? 6, n ? 7.

当 1 ? n ? 6 时, T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n
? n ? [5 ? ( 6 ? n )] 2 ? ? 1 2 n ?
2

11 2

n;

当 n ? 7 时, T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? ( b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b 6 ) ? ( b 7 ? b8 ? ? ? ? ? b n )
? 2 ( b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b 6 ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n )
1 2 11 ? 1 2 11 ? ? 2 ? 15 ? ? ? n ? n? ? n ? n ? 30 . 2 ? 2 2 ? 2

? 1 2 11 ? n ? n, 1 ? n ? 6, ? 2 ? 2 综上所述, T n ? ? ? 1 n 2 ? 11 n ? 30, n ? 7. ?2 ? 2

12. 解:(1)由题意,当 0 ? x ? 2 0 时, v ( x ) ? 6 0; 当 2 0 ? x ? 2 0 0 时,设 v ( x ) ? a x ? b .

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 14 页 共 23 页

1 ? 6 0, 0 ? x ? 2 0 ? a ? ? ? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 ? v( x) ? ? 1 , 解得 ? 由已知得 ? . . ? ( 2 0 0 ? x ), 2 0 ? x ? 2 0 0 200 ?20a ? b ? 60 ?3 ?b ? ? 3 ?
?60 x, 0 ? x ? 20 ? . (2)依题意得 f ( x ) ? ? x ? ( 2 0 0 ? x ), 2 0 ? x ? 2 0 0 ?3

当 0 ? x ? 2 0 时, f ( x ) 为增函数,故 f ( x ) ? 1 2 0 0 . 当 2 0 ? x ? 2 0 0 时, x ? 1 0 0 时, f ( x ) 取最大值
10000 3 ? 3333 .

答:车流密度 x 为 100 时,车流量 f ( x ) 达到最大值 3333. 13.解: (1)设植树 n 年后可将荒山全部绿化,记第 n 年初植树量为 a n , 依题意知数列 { a n } 是首项 a 1 ? 1 0 0 ,公差 d ? 5 0 的等差数列, 则 100 n ? ∵n ? N
?

n ?n ? 1? 2

? 50 ? 2200 , 即 n ? 3 n ? 8 8 ? 0 ? ( n ? 1 1)( n ? 8) ? 0
2

∴n ? 8

∴到 2009 年初植树后可以将荒山全部绿化. (2)2002 年初木材量为 2 a 1 m ,到 2009 年底木材量增加为 2 a1 (1 .2 ) m , 2003 年初木材量为 2 a 2 m ,到 2009 年底木材量增加为 2 a 2 (1 .2 ) m ,?? 2009 年初木材量为 2 a 8 m ,到 2009 年底木材量增加为 2 a 8 ? 1 .2 m .
3 3 3
7

3

8

3

3

则到 2009 年底木材总量 S ? 2 a1 ? 1 .2 ? 2 a 2 ? 1 .2 ? 2 a 3 ? 1 .2 ? ? ? 2 a 8 ? 1 .2
8 7 6

S ? 9 0 0 ? 1 .2 ? 8 0 0 ? 1 .2 ? ? ? 4 0 0 ? 1 .2 ? 3 0 0 ? 1 .2 ? 2 0 0 ? 1 .2 ----------①
2 6 7 8

1 .2 S ? 9 0 0 ? 1 .2 ? 8 0 0 ? 1 .2 ? ? ? 4 0 0 ? 1 .2 ? 3 0 0 ? 1 .2 ? 2 0 0 ? 1 .2 ---------②
2 3 7 8 9

②-①得
0 .2 S ? 2 0 0 ? 1 .2 ? 1 0 0 ? (1 .2
9
8

2

? 1 .2 ? ? ? 1 .2 ) ? 9 0 0 ?1 .2 ? 7 0 0 ? 1 .2 ? 5 0 0 ? 1 .2 ? 9 0 0 ? 1 .2
3 8
9 2

? 8 4 0 ? 1 .2 ? 1 8 0 0 ? 840 ? 4.3 ? 1800 ? 1812

∴ S ? 9 0 6 0 m2 答:到全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 9060m2 14. 解: (1)∵抛物线 C 1 : y ? 8 x 的焦点为 F 2 ( 2 , 0 ) ,
2

∴双曲线 C 2 的焦点为 F1 ( ? 2, 0 ) 、 F 2 ( 2 , 0 ) ,
2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 15 页 共 23 页

2 设 A ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 C 1 : y ? 8 x 上,且 A F 2 ? 5 ,

由抛物线的定义得, x 0 ? 2 ? 5 ,∴ x 0 ? 3 ,∴ y 0 ? 8 ? 3 ,∴ y 0 ? ? 2 6 ,
2

∴ | A F1 |?

(3 ? 2 ) ? ( ? 2 6 )
2

2

? 7 ,又∵点 A 在双曲线 C 2 上,由双曲线定义得,
y
2

2 a ? | 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线 C 2 的方程为: x ?
2

? 1.

3

(2)

s t

为定值.下面给出说明.
2 2 2

设圆 M 的方程为: ( x ? 2 ) ? y ? r , ∵圆 M 与直线 y ? ∴圆 M 的半径为 r ?
2 3 1? ( 3)
2

3 x 相切,

?

3 ,故圆 M : ( x ? 2 ) ? y ? 3 .
2 2

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意, 设 l1 的方程为 y ? 设 l 2 的方程为 y ?
3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 3?k ? 0, 3k ? 1 ? 0 ,

3 ? ?

1 k

( x ? 1) ,即 x ? ky ?

∴点 F1 到直线 l1 的距离为 d 1 ?

| 3k ? 1? k

3|
2

,点 F 2 到直线 l 2 的距离为 d 2 ?
? ? ? ?
2

|

3k ? 1 | 1? k
2



? 3k ? 3 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ? 2 ? 1? k ? 直线 l 2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? ? ? 3k ? 1 ? ? 2 ? 1? k ?
?
2

? 2

6 3k ? 6 k 1? k
2

2



? 2

2 3k ? 2 k 1? k
2

2





s t

?

6 3k ? 6 k 2 3k ? 2 k

2 2

?

6( 3k ? k )
2

2( 3k ? k )
2

3 , 故

s t

为定值 3 .

15. 解: (1)设 A、B、M 的坐标分别为(x0,0)、(0,y0)、(x,y),则 x2+y2=(m+1)2, ① 0 0 → → 由AM=mMB,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y),

? ?x-x0=-mx, ? ? ∴? ∴? m+1 ? ?y=m(y0-y). y. ?y0= ?
m 将②代入①,得 m+1 (m+1)2x2+( m )2y2=(m+1)2,

x0=(m+1)x, ②

y2 化简即得点 M 的轨迹 Γ 的方程为 x2+m2=1(m>0) .
2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 16 页 共 23 页

当 0<m<1 时,轨迹 Γ 是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m=1 时,轨迹 Γ 是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当 m>1 时,轨迹 Γ 是焦点在 y 轴上的椭圆. 1 (2)依题意,设直线 CD 的方程为 x=ty+2,

?x=ty+2, 由? y ?x +m =1.
1
2 2 2

3 消去 x 并化简整理,得(m2t2+1)y2+m2ty-4m2=0,

△=m4t2+3m2(m2t2+1)>0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 m2t 3m2 y1+y2=- 2 2 ,y1y2=- . ③ m t +1 4(m2t2+1) 假设在 x 轴上存在定点 P(a,0),使 PQ 平分∠CPD, 则直线 PC、PD 的倾斜角互补, y1 y2 ∴kPC+kPD=0,即 + =0, x1-a x2-a 1 1 y1 y2 ∵x1=ty1+2,x2=ty2+2,∴ + =0, 1 1 ty1+2-a ty2+2-a 化简,得 4ty1y2+(1-2a)( y1+y2)=0. ④ 2 2 m t(1-2a) 3m t 将③代入④,得- 2 2 - 22 =0,即-2m2t(2-a)=0, m t +1 m t +1 ∵m>0,∴t(2-a)=0,∵上式对?t∈R 都成立,∴a=2. 故在 x 轴上存在定点 P(2,0),使 PQ 平分∠CPD. 16.解: (1)由题意, a1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? n ( 2 n ? 1), a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ? 1 ? ( n ? 1)( 2 n ? 1) ,两式相减 得 a n ? 4 n ? 1, ( n ? 2 ) ,而 a 1 ? 3 ,? a n ? 4 n ? 1, ( n ? N ) (2) c n ?
an 2n ? 1 ? 4n ? 1 2n ? 1 3 2n ? 1 ? ? 2? 3 2n ? 3 3 2n ? 1 , c n ?1 ? 2 ? 3 2n ? 3
?



c n ?1 ? c n ?

? 0 ,? c n ? 1 ? c n

(3)由(2)知 c1 ? 1 是数列 ? c n ? 的最小项. 当 x ? ? 时,对于一切非零自然数 n ,都有 f ( x ) ? 0 , 即?x ? 4x ?
2

an 2n ? 1

? c n ,? ? x ? 4 x ? c 1 ? 1 ,即 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,
2

2

解得 x ? 2 ? 17. 解: (1)
1 an

3 或x ? 2?
2 - a n- 1 a n- 1

3 ,? 取 ? ? 2 ?
2 a n- 1 1 an

3.
1 a1

=

=

- 1 ,则

- 1= (

- 1)

2

n- 1

则 an =

1 1+ 2
n

(2) 由于 a n >

1 2+ 2
n

=

1 2 (1 + 2
n- 1

= )

1 2

a n - 1 ,因此, a n >

1 2

a n- 1 >

1 2
2

a n-

2

> ? 2

1
n- 1

a1

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 17 页 共 23 页

a1 + a 2 + ? + a n ?

1 3

(1

1 2

+ ?+ 2

1
n- 1

)=

1 3

1? 1-

1 2 1
n

2 3

(1 -

1 2
n

)

2

又 an =

1 1+ 2
n

<

1 2
n

1

所以从第二项开始放缩: a 1 + a 2 + ? + a n <

1 3

+

1 2
2

+ ?+

1 2
n

<

1 3

+

2 1-

2

1 2

=

5 6

因此

2 3

( 1-

1 2
n

) Sn ?

5 6

?1 ? ? x( x ? 0) 18.解:(1) F ( x ) ? ? x , ?e x ? x( x ≤ 0) ?

当 x ? 0 时, F ( x ) ?

1 x

? x ≥ 2 ,即 x ? 1 时, F ( x ) 最小值为 2.
x

当 x ≤ 0 时, F ( x ) ? e ? x ,在 ? ? ? , 0 ? 上单调递增,所以 F ( x ) ≤ F (0 ) ? 1 . 所以 k ? 1 时, F ( x ) 的值域为 ( ? ? ,1] ? [ 2, ? ? ] .
1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) (2)依题意得 F ( x ) ? ? x ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
'

①若 k ? 0 ,当 x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递减,当 x ≤ 0 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递增.
' '

' ②若 k ? 0 ,当 x ? 0 时,令 F ( x ) ? 0 ,解得 x ?

1 k



当0 ? x ?

1 k

' 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递减,当 x ?

1 k

时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递增.
'

当 x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递增.
'

③若 ? 1 ? k ? 0 ,当 x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递减.
'

当 x ? 0 时,解 F ( x ) ? e ? k ? 0 得 x ? ln ( ? k ) ,
' x

当 ln ( ? k ) ? x ? 0 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递增,
'

当 x ? ln ( ? k ) 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 递减.
'

④k



? 1 ,对任意 x ? 0 , F ( x ) ? 0 , F ( x ) 在 ? ? ? , 0 ?, ? 0 , ?? ? 上递减.
'

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 18 页 共 23 页

综上所述,当 k ? 0 时, F ( x ) 在 ( ? ? , 0 ] 或 (

1 k

, ? ? ) 上单调递增,在 ( 0 ,

1 k

) 上单调递减;

当 k ? 0 时, F ( x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单调递增,在 (0, ? ? ) 上单调递减; 当 ? 1 ? k ? 0 时, F ( x ) 在 (ln ( ? k ), 0 ] 上单调递增,在 ( ? ? , ln ( ? k )) , (0, ? ? ) 上单调递减; 当k


? 1 时, F ( x ) 在 ? ? ? , 0 ?, ? 0 , ?? ? 上单调递减.

19. 解: (1) f ( x ) ? a ?
'

? f ' (1 ) ? a ? b ? 1 ?b ? a ? 1 , 解得 ? , 则有 ? . 2 x f (1 ) ? a ? b ? c ? 0 ?c ? 1 ? 2a ?
b
a ?1 x ? 1 ? 2 a.

(2)由(1)得 f ( x ) ? ax ?

令 g ( x ) ? f ( x ) ? ln x ? ax ?

a ?1 x

? 1 ? 2 a ? ln x , x ? [1, ?? ). g (1 ) ? 0 ,

g (x) ? a ?
'

a ?1 x
2

?

1 x

a ( x ? 1 )( x ? ? x
2

1? a a

) .

①当 0 ? a ?

1

时,

1? a

2 a a 即 f ( x ) ? ln x , 故 f ( x ) ? ln x 在 [1, ?? ) 不恒成立.

? 1 .若 1 ? x ?

1? a

, g ( x ) ? 0 , g ( x ) 是减函数,∴ g ( x )
'

? g (1) ? 0 ,

②当 a ?

1 2

时,

1? a a

? 1 .若 x ? 1 , g ( x ) ? 0 , g ( x ) 是增函数,∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 ,
'

即 f ( x ) ? ln x , 故 x ? 1 时 f ( x ) ? ln x .综上所述, a 的取值范围是 [ , ?? ) .
2

1

(3)由(2)知,当 a ? 总
?

1 2
1 x

时,有 f ( x ) ? ln x ( x ? 1) .令 a ? 令
x ? k ?1 k

1 2

,则 f ( x ) ? , 则

1 2

(x ? ln

1 x

) ? ln x . 即当 x ? 1 时, ? 1 k ?1 k ( ? ) 2 k k ?1


1 1 1 ( ? ), 2 k k ?1

1 2

(x ?

) ? ln x .

k ?1 k

ln( k ? 1 ) ? ln k ?

1 1 1 ( ? ), 2 k k ?1

k ? 1, 2 ,? ? ?, n

. 将 上 述 n 个 不 等 式 累 加 得
1 n ? ln( n ? 1) ? n 2 ( n ? 1)

ln( n ? 1) ?

1 2

?(

1 2

?

1 3

? ??? ?

1 n

)?

1 2 ( n ? 1)
2

, 整理得 1 ?

1 2

?

1 3

? ... ?

20.解:(1)因为点 Q n 的坐标为 ( a n , a n ) , Q n ? 1 的坐标为 ( a n + 1 , a n ? 1 ) ,
2 所以点 Pn ? 1 的坐标为 ( a n + 1 , 4 a n ? 1 ) ,则 4 a n ? 1 ? a n , 故 a n ? 1与 a n 的关系为 a n ? 1 ?

2

1 4

an .

2

(2)设切点为 ( t , t ) ,则 y ? 2 x 得 2 t ? 4 ,所以 t ? 2 .
2 /

解不等式 ?
a3 ? 1 4 a2 ?
2

? a2 ? 2, ? a1 ? 2

得 2 ? a1 ? 2 2 .
2 ,?
1 4 ? a3 ? 1.

1 1 2 2 1 4 ( a1 ) ? a 1 .? 2 ? a 1 ? 2 4 4 64

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 19 页 共 23 页

a 3 的取值范围是 (

1 4

,1) .

(3) 由 a n ? 1 ?
lg a 1 ? lg 1 4

1

1 2 1 1 1 2 a n 得 lg a n ? 1 ? lg( a n ) ,即 lg a n ? 1 ? 2 lg a n ? lg ,故 lg a n ? 1 ? lg ? 2 (lg a n ? lg ) 4 4 4 4 4 1 4 1 4 ? lg 3 4
3 4

? lg 3 ? lg

? 0,

所以数列 { l g a n ? l g
an

}是以 2 为公比,首项为 lg

的等比数列, lg a n ? lg

1 4

? 2

n ?1

lg

3 2 n ?1 ? lg ( ) ,即 4 4

3

lg

3 2 n ?1 3 2 n ?1 ? lg ( ) , 解得 a n ? 4 ( ) , 4 4 4
3
2
n ?1

数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 4 ( )
4

.

21. 略解: (1)

f

? x1 ? ?
2

f

? x2 ?

?

1 2

?x

2 1

? x2

2

???

? 1 ? x1

?

1 ? a ? ? ? ln x1 ? ln x 2 x2 ? 2

?

?

1 2

?x

2 1

? x2 ? ?
2

x1 ? x 2 x1 x 2
2

? a ln

x1 x 2 .

x ? x2 4 ? x ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? f ? 1 ? a ln 1 , ??? ? ? 2 2 x1 ? x 2 2 ? ? ? ?
1 2



? x1 ? x 2
2
2

2

?

?

1

? x ? x ? ? x12 ? x 22 ? 2 x1 x 2 ? ? ? 1 2 ? , 4 2 ? ?
2

2

又 ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? 4 x1 x 2 ,得
2

x1 ? x 2 x1 x 2

?

4 x1 ? x 2

,
x1 ? x 2 2



x1 x 2 ?

x1 ? x 2 2
2

,得 ln
x1 ? x 2 x1 x 2

x1 x 2 ? ln

x1 ? x 2 2

,由于 a ? 0 ,故 a ln
2

x1 x 2 ? a ln

.

所以

1 2

? x1 ? x 2
2

?

?

? a ln

4 x ? x2 ? x ? x2 ? ? a ln 1 x1 x 2 ? ? 1 . ? ? 2 x1 ? x 2 2 ? ?

所以

f

? x1 ? ?
2

f

? x2 ?

? x ? x2 ? ? f ? 1 ?. 2 ? ?
' ' ,故 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 2 ?

(2) f ? x ? ? 2 x ?
'

2 x
2

?

a x

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

a x1 x 2

f

'

? x1 ? ?

f

'

? x2 ?

? x1 ? x 2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

?

?

a x1 x 2

? 1,

下面证明: 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

a x1 x 2

? 1 成立.

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 20 页 共 23 页

法 1: 2 ?

2 ? x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

?

?

a x1 x 2

? 2?

4

?

x1 x 2
2

?

3

?

a x1 x 2

? 2?

4

?

x1 x 2

?

3

?

4 x1 x 2

.

令t ?

1 x1 x 2

,则 u ? t ? ? 2 ? 4 t ? 4 t ? t ? 0 ? ,
3

可知 u ? t ? ? u ?

2 ? x1 ? x 2 ? a ? 2 ? 38 ? ?1. ? 1 .即 2 ? ?? 2 2 x1 x 2 x1 x 2 ? 3 ? 27 a x1 x 2 2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2

法 2: 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2
2 2

?

? 1 即 a ? x1 x 2 ?

由于 x1 x 2 ?

2 ? x1 ? x 2 x1 x 2

?

? x1 x 2 ?
4 t

4 x1 x 2

.

令t ?

x1 x 2 ,则 u ? t ? ? t ?
2

?t

? 0 ? ,可知 u ? t ? ? u

?

3

2 ?3 4 ?
3

?

3

108 ? 4 ? a .

故 a ? x1 x 2 ?

2 ? x1 ? x 2 ? x1 x 2

成立.

22. 解: (1)设

x ?a
2

bx ? c

? x的 不 动 点 为 0 和 2

? a ? 0 ? a ? 0 ? ?c c ? ? ∴? 即? c 即b ? 1? 且c ? 0 2 ? 4 ? a ? 2 ?b ? 1 ? ? 2 ? 2b ? c ?

(2)∵c=2

∴b=2

∴ f ?x? ?

x

2

2 ? x ? 1?

?x

? 1? ,

由已知可得 2Sn=an-an2……①,且 an ≠ 1. 当 n ≥ 2 时,2 Sn -1=an-1- a n ? 1 ……②, ①-②得(an+an-1)( an-an-1+1)=0, ∴an=-an-1 或 an=-an-1 =-1, 当 n=1 时,2a1=a1-a12 ? a1=-1, 若 an=-an-1,则 a2=1 与 an ≠ 1 矛盾.∴an-an-1=-1, ∴an=-n.
1? ? ∴要证不等式,只要证 ? 1 ? ? n? ?
? ? n ?1?

2

1? ? ? ? ?1 ? ? e ? n? 1

?n

1? 1? ? ? ,即证 ? 1 ? ? ? e ? ? 1 ? ? n? n? ? ?

n

n ?1



只要证 n ln ? 1 ?
?

?

1? ? ? 1 ? ? n ? 1 ? ln n?

1? 1 1? 1 ? ? ? ln ? 1 ? ? ? . ? 1 ? ? ,即证 n? n ?1 n? n ? ?

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 21 页 共 23 页

考虑证不等式

x x ?1

? ln ? x ? 1 ? ? x (x>0) . (**) x x ?1

令 g(x)=x-ln(1+x), h(x)=ln(x+1)- ∴g ?x? =
'

(x>0) .

x 1? x
'

, h ?x? =
'

x

? x ? 1?
h
'

2



∵x>0, ∴ g ? x ? >0,

? x ? >0,∴g(x)、h(x)在(0, +∞)上都是增函数,
x x ?1 ? ln ? x ? 1 ? ? x .
an

∴g(x)>g(0)=0, h(x)>h(0)=0,∴x>0 时,
? 1 ? 令 x ? 则(**)式成立,∴ ? 1 ? ? an ? n ?

1

a n ?1

? 1 ? < <?1 ? ? an ? e ?
1 1 n



(3)由(2)知 bn= 在
1

1 n

,则 Tn= 1 ?

1 2

?

1 3

? ???? ?

.Ks5u

1? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? 中,令 n=1,2,3, ? ,2008,并将各式相加, n ?1 n? n ?
1 2 ? 1 3 ? ???? 1 2009 ? ln 2 1 ? ln 3 2 ? ? ? ? ? ln 2009 2008 ? 1? 1 2 ? 1 3 ? ???? 1 2008





即 T2009-1<ln2009<T2008. 23.解:(1)令 x1
? x2 ? 0

,得

f (0 ) ? f ( x 0 ) ? 2 f (0 ) ,

? f ( x 0 ) ? ? f (0 )

??①,
f ( x 0 ) ? f ( x 0 ) ? f (1) ? f (0 )

令 x1

? 1, x 2 ? 0





? f(1) ? f ?

( ??② 0 )

由①、②,得 f ? x 0 ? ? f ?1 ? .
? f (x)

为单调函数,?

x0 ? 1 .

(2)由(1)得

f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (1) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1

? f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f (1) ? 1 ? f ( n ) ? 2



f (1) ? 1 ,

? f ( n ) ? 2 n ? 1( n ? N ) ,? a n ?
1 1 1

?

1 2n ? 1 1



又? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) .
2 2 2 2 1 1 ? f ( ) ? 0 , b1 ? f ( ) ? 1 ? 1 . 2 2 ? f( 1 2
n

)? f( 2

1
n ?1

? 2

1
n ?1

)? f( 2 1 2
n

1
n ?1

)? f( 2

1
n ?1

) ? f (1) ? 2 f ( 2

1
n ?1

)?1

? 2 bn ?1 ? 2 f (

1 2
n ?1

)? 2 ? f(

) ? 1 ? bn .

1 n ?1 ? bn ? ( ) 2

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 22 页 共 23 页

Sn ?

1 1? 3

?

1 3?5

?? ?

1 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)

?

1 2

(1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)?

1 2

(1 ?

1 2n ? 1

)

Tn ? ( ) ( ) ? ( ) ( ) ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2
0 1 1 2

1

1

1

1

1

n ?1

( ) ? ? ( ) ?? ? ( ) 2 2 2 2
n 3

1

1

1

1

2 n ?1

1 n [1 ? ( ) ] 2 1 n 4 ? 2 ? [1 ? ( ) ] 1 3 4 1? 4

1

?

4 3

S n ? Tn ?
n

2 3

( 1?

1 n? 2
n n

? ) 1

2

[1 ? 3
n ?1

1 2 n 1 1 n ( ?) ] [?( ) ] .Ks5u 4 3 4 n? 2 1

? 4 ? (3 ? 1) ? C n 3 ? C n 3
n

n ?1

? ? ? C n 3 ? C n ? 3n ? 1 ? 2 n ? 1
1 0

?

4 3

S n ? Tn ?

2

1 n 1 [( ) ? ]? 0 3 4 2n ? 1

.

?

4 3

S n ? Tn

24.解:(1)? 得
1 a n ?1 ?
1 an

f (x) ?

x 1? x

( x ? 0 ) ,则 a n ? 1 ? f ( a n ) ?

an 1 ? an



1 an

? 1 ,即

1 a n ?1

?

1 an

? 1, 1 an ? n ? 1 ,即 a n ?
1 n ?1

∴数列 {

} 是首项为 2、公差为 1 的等差数列,∴

.

(2)? [ f ( x )]? ?
y?
?

1 (1 ? x )
1
2

2

,∴函数 f ( x ) 在点 ( n , f ( n ))( n ? N*)处的切线方程为:
n 1? n ? n (1 ? n )
2

n 1? n
?

?

(1 ? n )
2

( x ? n ) ,令 x ? 0 ,得 b n ?

?

n

2 2

(1 ? n )



bn an
2

?
an

? n ? ? ( n ? 1) ? ( n ?

?
2

) ?? ?
2

?

2

,仅当 n ? 5 时取得最小值,

4

只需 4 . 5 ? ?

?
2

? 5 . 5 ,解得 ? 11 ? ? ? ? 9 ,故 ? 的取值范围为 ( ? 11 , ? 9 ) .
2

(3)? g ( x ) ? f ( x )(1 ? x ) ? x (1 ? x ) ,故 c n ? 1 ? g ( c n ) ? c n (1 ? c n ) ,
? c1 ?

1 2

? 0 ,故 c n ? 0 ,则

1 c n ?1 1 c1

? ?

1 c n (1 ? c n ) 1 c2 )?( 1 c2

? 1 c3

1 cn

?

1 1 ? cn

,即
1 ?

1 1 ? cn
1 )

?

1 cn

?

1 c n ?1





1 1 ? c1

?

1 1 ? c2

?? ?

1 1 ? cn

? (

?

)?? ? (

cn

c n ?1

= 又
1 1 ? c1 ? 1 1 ? c2
?

1 c1

?
1

1 c n ?1
?

? 2?
1 1 ? c2

1 c n ?1
?

? 2.
1 1? 1 2 ? 1 1? 3 4 ? 2 3 ? 4 7
? 26 21 ? 1,

?? ?

1 1 ? cn

?

1 ? c1

故1 ?

1 1 ? c1

1 1 ? c2

?? ?

1 1 ? cn

? 2.

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(理科)第 23 页 共 23 页



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