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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第5章数列5-3[来源:学优高考网88576]



A 组 考点基础演练 一、选择题 1.(2015 年日照联考)设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和, 已知 a2a4 =1,S3=7,则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2

解析:设此数列的公比为 q(q>0),由已知 a2a4=1,得 a2 3=1,∴a3=1,由 S3=7,知

/>
?1?5? 4? ?1-?2? ? 31 a3 a3 1 2 a3+ + 2=7,即 6q -q-1=0,解得 q= ,从而 a1=4,所以 S5= = ,选 B. q q 2 1 4 1- 2
答案:B 2.在等比数列{an}中,若 a4,a8 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 a6 的值是( A.± 2 C. 2 B.- 2 D.± 2 )

?a4+a8=3>0 ? 解析:因为 a4,a8 是方程的两根,则? ,∴a4>0,a8>0,又 a2 6=a4a8=2, ? a a = 2>0 ? 4 8

∴a6= 2,故选 C. 答案:C 3. 在等比数列{an}中, Sn 是它的前 n 项和, 若 a2· a3=2a1, 且 a4 与 2a7 的等差中项为 17, 则 S6=( 63 A. 4 C.15 ) B.16 61 D. 4

解析:设{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2a3=a1a4=2a1,则 a4=2;由 a4 a7 a4 与 2a7 的等差中项为 17 知,a4+2a7=2×17=34,得 a7=16.∴q3= =8,即 q=2,∴a1= 3 a4 q 1 ?1-26? 4 1 63 = ,则 S6= = ,故选 A. 4 4 1-2 答案:A 4.(2014 年云南联考)等比数列{an}中,a1=1,q=2,则 Tn= 结果可化为( ) 1 1 1 + +…+ 的 a1a2 a2a3 anan+1

1 A.1- n 4 1 2 1- n? C. ? 3? 4 ? 1 1 - 解析:由题意,an=2n 1, = - n anan+1 2n 1· 2

1 B.1- n 2 1 2 1- n? D. ? 3? 2 ?

1?n? 1? 1-? 4? ? 2? ?1?n? ? ? 2 1 1 1 = 2n-1= × n-1,所以 Tn= = ?1-?4? ?,故选 C. 2 4 1 3 2 1- 4 答案:C 5 5 Sn 5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 =( 2 4 an A.4n C.2n
-1

)

B.4n-1 D.2n-1

-1

解析:设等比数列{an}的公比为 q,

?a +a =2, ∵? 5 ?a +a =4,
1 3 2 4

5

?a +a q =2,① ∴? 5 ?a q+a q =4,②
1 1 2 1 1 3

5

1+q2 由①÷ ②可得 =2, q+q3

1?n-1 4 1 ∴q= ,代入①解得 a1=2,∴an=2×? ?2? =2n, 2 1? ?1?n? 2×? 4? ?1-?2? ? ? 1 ? ?1-2n? n Sn ∴Sn= =4?1-2n?,∴ = =2 -1. 1 an 4 1- n 2 2 答案:D 二、填空题 6.(2014 年高考广东卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2 +log2a3+log2a4+log2a5=________. 解析:log2a1+log2a2+…+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5) 5 =log2(a1a5) = log24=5. 2 答案:5 7.若等比数列{an}满足 a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前 n 项和 Sn=________. 20 解析: 由题意 a2+a5=q(a1+a4), 得 q= =2, 代入 a1+a4=a1+a1q3=10, 得 9a1=10, 10 10 ?1-2n? 9 10 10 a1= ,所以 Sn= = (2n-1). 9 9 1-2

10 答案: (2n-1) 9 8.已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3 依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的 某一格内,又 a1,a2,a3 中任何两个都不在同一列,则 an=________(n∈N*). 第一列 第一行 第二行 第三行 1 6 9 第二列 10 14 18 第三列 2 4 8

解析:观察题中的表格可知 a1,a2,a3 分别为 2,6,18,即{an}是首项为 2,公比为 3 的 等比数列,∴an=2· 3n 1.


答案:2· 3n

-1

三、解答题 9. (2015 年荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列.
? ?

解析:(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,(7-d)(18+d)=100,解之得 d=2 或 d=-13(舍去), 5 5 n-1 - ∴b3=5,公比 q=2,因此 b1= ,故 bn= · 2 =5· 2n 3. 4 4 5 n ?1-2 ? 4 5 5 n-2 (2)证明:由(1)知 b1= ,公比 q=2,∴Sn= =5·2 - , 4 1-2 4 5 4 5·2n-2 5 5 5 n-2 则 Sn+ =5·2 ,因此 S1+ = , = n-3=2(n≥2). 4 4 2 5 5·2 Sn-1+ 4

Sn+

? 5? 5 ∴数列?Sn+ ?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4? 2 ?

1 10.已知公比 q 不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn,且 a4+S4,a5+ 2 S5,a6+S6 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N+,在 an 与 an+1 之间插入 3n 个数,使这 3n+2 个数成等差数列,记插入的这

3n 个数的和为 bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)因为 a4+S4,a5+S5,a6+S6 成等差数列, 所以 a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 1 即 2a6-3a5+a4=0,所以 2q2-3q+1=0,因为 q≠1,所以 q= , 2 1 所以等比数列{an}的通项公式为 an= n. 2 an+an+1 n 3 ?3?n (2)由题意知 bn= · 3= · , 2 4 ?2? 3 ?3?n+1 - 3 2 ?2? 9 ?3?n ? 所以 Tn= × = ? -1?. 4 3 4??2? 1- 2 B 组 高考题型专练 1.(2014 年嘉兴 3 月测试)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则一定成立的是( A.若 a3>0,则 a2 013<0 C.若 a3>0,则 a2 013>0


)

B.若 a4>0,则 a2 014<0 D.若 a4>0,则 a2 014>0
010

解析:不妨设{an}的通项公式为 an=a1qn 1(q≠0),因为 q2 =a3q2
010

>0,所以若 a3>0.则 a2

013

>0,若 a4>0,则 a2

014=a4q

2 010

a3 >0.对于 C 选项,若 a3>0,则 a1= 2>0,因为 1-q q

与 1-q2 013 同号,所以 S2 013= 答案:C

a1-a2 013· q a1?1-q2 013? = >0,选项 C 正确,故选 C. 1-q 1-q

bn+1 2.已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=3,an+1-an= =3,n∈N*,若数列{cn}满足 cn bn =ban,则 c2 013=( A.92 012 C.92 013 ) B.272 012 D.272 013

解析:由已知条件知{an}是首项为 3,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为 3,公 比为 3 的等比数列,∴an=3n,bn=3n,又 cn=ban=33n,∴c2 013=33 答案:D a×b,a×b≥0, ? ? 1? 3.任给实数 a,b,定义 a⊕b=?a 设函数 f(x)=ln x⊕x,则 f(2)+f? ?2? ? ?b,a×b<0. =________; 若{an}是公比大于 0 的等比数列, 且 a5=1, f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a7)+f(a8) =a1,则 a1=________.
×2

013

=272 013,故选 D.

xln x,x≥1, ? ? 解析:由题可得,f(x)=ln x⊕x=?lnx ? ? x ,0<x<1, 1 ln 1 ?=2ln 2+ 2=2ln 2-2ln 2=0, f(2)+f? ?2? 1 2 1 ln x 1 1 ? 若 x>1,则 <1,f(x)+f? ?x?=xln x+ 1 x x =xln x-xlnx=0. ∵a2a8=a3a7=a4a6=a2 5=1, ∴f(a2)+f(a3)+…+f(a8)=0. ∴f(a1)=a1.若 a1≥1,则 a1ln a1=a1,解得 a1=e; ln a1 若 0<a1<1,则 =a1,无解. a1 答案:0 e

4 1 1 4.已知等比数列{an}的首项为 ,公比为- ,其前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn- ≤B 对 n 3 3 Sn ∈N*恒成立,则 B-A 的最小值为________. 1?n ?2 ? ? 4? 1 ?8 4? 解析:由题易得 Sn=1-? ?-3? ∈?3,1?∪?1,3?,而 y=Sn-Sn在?9,3?上单调递增, 17 7 ? 7 ? 17? 59 所以 y∈? ?-72,12??[A,B],因此 B-A 的最小值为12-?-72?=72. 59 答案: 72
2 5. (2015 年青岛模拟)已知数列{dn}满足 dn=n, 等比数列{an}为递增数列, 且 a5 =a10,2(an

+an+2)=5an+1,n∈N*. (1)求 an; (2)令 cn=1-(-1)nan, 不等式 ck≥2 014(1≤k≤100, k∈N*)的解集为 M, 求所有 dk+ak(k ∈M)的和. 解析:(1)设{an}的首项为 a1,公比为 q,所以(a1q4)2=a1q9,解得 a1=q, 又因为 2(an+an+2)=5an+1,所以 2(an+anq2)=5anq, 1 - 则 2(1+q)2=5q,2q2-5q+2=0,解得 q= (舍)或 q=2,所以 an=2×2n 1=2n. 2 (2)cn=1-(-1)nan=1-(-2)n,dn=n, 当 n 为偶数,cn=1-2n≥2 014,即 2n≤-2 013,不成立; 当 n 为奇数,cn=1+2n≥2 014,即 2n≥2 013,

因为 210=1 024,211=2 048,所以 n=2m+1,5≤m≤49, 则{dk}组成首项为 11,公差为 2 的等差数列, {ak}(k∈M)组成首项为 211,公比为 4 的等比数列, 则所有 dk+ak(k∈M)的和为 45?11+99? 211?1-445? 2101-2 048 + =2 475+ 2 3 1-4 = 2101+5 377 . 3



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