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北京市密云二中2011-2012学年高一数学上学期期中考试试题新人教A版



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北京市密云二中 2011-2012 学年高一上学期期中考试数学试题
考生注意: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分 150 分,考试时间 120 分 钟,请将第Ⅰ卷选择题的答案填涂在机读卡上,将第Ⅱ卷(非选择题)的答案答在答题纸上。 第Ⅰ卷 一.选择题:本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题意的,请将符合题目要求的选项填涂在答题卡上。 1.如果集合 A ? ?x | x ? 22?, a ? 2 5 ,则 A. a ? A
2

B. a ? A

C. a ? A

D. ?a? ? A

2.已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞) 3.在下列各组函数中, f ( x ) 与 g ( x) 表示同一函数的是( ) . A.

f ( x) =1, g ( x) ? x

B. f ( x ) = x , g ( x) ?

x2

[

C. f ( x) ? x2 , g ( x) ?

x

D. f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x3

4. 给出三个等式: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 下列函数中不满足任何一个等式的是( A. y ? x2 B. y ? 2x ) C. y ? 3x D. y ? log5 x

5.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1]
2

B. [0,1)

f (2 x ) 的定义域是 x ?1 C. [0,1) (1,4] D. (0,1)
f(x) -1

6.已知函数 y ? x ? 2?a ? 2?x ? 5 在区间 ?4,??? 上是增函数,则 a 的取值 范围是 A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 7.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则 函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是

y o
1

x

(第 7 题图)

-1-

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8.函数 f ( x) ? ?

?? x ? 3a, x ? 0, (a ? 0,a ? 1) 是 R 上的减函数,则 a 的取值范是 x x ? 0, ?a ,
B. [ ,1)

A. (0,1)

1 3

1 C . ( 0, ] 3

D.

2 (0, ] 3

第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.函数 y ? f ( x) 是定义在[2a+1,a+5]上的偶函数,则 a 的值为 10.函数 y ? 2 x
2
2

?4 x ?5

的增区间是 · log 2

,减区间是

11.计算: 27 3 - 2 12.函数 f(x)=(

log 2 3

1 +lg4+2lg5= 8

1 x 2 ) -x 的零点个数是_____ 2

13.设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), 则 f ( x ) 的值域是 ? g ( x) ? x, x ? g ( x).

14 .设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D,且 f(x+l)≥f(x),则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数.
如果定义域是 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取
2

值范围是____________.
2 2 如果定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x≥0 时, f ( x ) ? x ? a ? a ,且 f ( x ) 为 R

上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是____________. 密云二中 2011-2012 学年度高一第一学期期中考试数学试卷 总分栏 题号 分 数 阅卷人 答题纸 填空题号 答案 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知 U=R,且 A={x│-4<x<4}, B ? {x x ? 1, 或x ? 3}, 求(I) A ? B ; (II)(CUA)∩B; (III) CU ( A ? B) . 9 10 11 12 13 14 一 二 15 16 17 18 19 20 总分

-2-

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16.(本小题满分 13 分) 求下列函数的定义域和值域
x x x (I) y ? x ?2 ; (II) f ? x ? ? log 2 3 ? 1 ; (III) y ? ( ) ? ( ) ? 1 .

?

?

1 4

1 2

17. (本小题满分 14 分)某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品,规定试销时销售 单价不低于成本单价,又不高于 800 元.经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x(元)之 间的关系可近似看作一次函数 y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示. (1)根据图象,求一次函数 y=kx+b(k≠0)的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元.试问销售单价定为多少 时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是 多少?

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18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) , a ? 0 且 a ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

2x ? 1 ,试证明 f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数, x?2

并求出该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.

20 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 R , 对 于 任 意 实 数 m, n , 恒 有 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . f ( m? n) ? f ( m)? f ( ,且当 n)
f 2 (1) ? f (2) 1 ,求 的值; (Ⅱ)求证: f (0) ? 1,且当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ; f (1) 2 (Ⅲ)判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并加以证明.

(Ⅰ)若 f (1) ?

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密云二中 2011-2012 学年度高一第一学期期中考试数学试卷答案 考生注意: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分 150 分,考试时间 120 分 钟,请将第Ⅰ卷选择题的答案填涂在机读卡上,将第Ⅱ卷(非选择题)的答案答在答题纸上。 第Ⅰ卷 一.选择题:本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题意的,请将符合题目要求的选项填涂在答题卡上。 1.如果集合 A ? ?x | x ? 22?, a ? 2 5 ,则 A. a ? A
2

( C ) C. a ? A D. ?a? ? A

B. a ? A

2.已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ( C ) A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞) 3.在下列各组函数中, f ( x ) 与 g ( x) 表示同一函数的是 ( D ) A.

f ( x) =1, g ( x) ? x

B. f ( x ) = x , g ( x) ?

x2

C. f ( x) ? x2 , g ( x) ?

x

D. f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x3

4. 给出三个等式: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 下列函数中不满足任何一个等式的是 A. y ? x2 B. y ? 2x ( A ) C. y ? 3x D. y ? log5 x ( B )

5.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? A.[0,1]
2

B.[0,1)

f (2 x ) 的定义域是 x ?1 C. [0,1) (1,4] D.(0,1)

6.已知函数 y ? x ? 2?a ? 2?x ? 5 在区间 ?4,??? 上是增函数,则 a 的取值范 围是 ( B ) a ? ? 2 A. B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6 7.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函 数 g ( x) ? a x ? b 的图象是(A)

f(x) -1

y o
1

x

(第 7 题图)

y
1

y
1

y
1

y
1

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

-5-

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8.函数 f ( x) ? ?

?? x ? 3a, x ? 0, (a ? 0,a ? 1) 是 R 上的减函数,则 a 的取值范是(B) x x ? 0, ?a ,
B. [ ,1)

A. (0,1)

1 3

1 C . ( 0, ] 3

D.

2 (0, ] 3

第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.函数 y ? f ( x) 是定义在[2a+1,a+5]上的偶函数,则 a 的值为-2 10.函数 y ? 2 x
2
2

?4 x ?5

的增区间是 [2,+∞) ,减区间是 (-∞,2] · log 2

11.计算: 27 3 - 2 12.函数 f(x)=(

log 2 3

1 +lg4+2lg5= 20 8

1 x 2 ) -x 的零点个数是__3___ 2

13.设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), 则 f ( x ) 的值域 ? g ( x) ? x, x ? g ( x).

是 [?

9 ,0] ? (2,?? ) 4

14 .设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D,且 f(x+l)≥f(x),则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数.
如果定义域是 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取
2

值范围是___[2,+∞)_________.
2 2 如果定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x≥0 时, f ( x ) ? x ? a ? a ,且 f ( x ) 为 R

上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是__[-1,1]__________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知 U=R,且 A={x│-4<x<4}, B ? {x x ? 1, 或x ? 3}, 求(I) A ? B ; (II)(CUA)∩B; (III) CU ( A ? B) . 解: (I) A ? B ={x|-4<x≤1,或 3≤x<4} (II)∵A={x│-4<x<4},∴CUA={x|x≤-4,或 x≥4} ∴(CUA)∩B={x|x≤-4,或 x≥4} (III)∵A={x│-4<x<4}, B ? {x x ? 1, 或x ? 3}, ∴A∪B=R ∴ CU ( A ? B) = ? 10 分 12 分 4分 6分 8分

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17. (本小题满分 14 分)某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品,规定试销时销售 单价不低于成本单价,又不高于 800 元.经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单 价 x(元)之间的关系可近似看作一次函数 y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示. (1)根据图象,求一次函数 y=kx+b(k≠0)的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元. 试问销售单价 定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多 少? 解:(1)由图象知, 当 x=600 时,y=400;当 x=700 时,y=300,代入 y=kx+b(k≠0)中, ? ?400=600k+b, 得? 2分 ?300=700k+b, ? 解得?
? ?k=-1, ?b=1000. ?

4分 6分

所以,y=-x+1000(500≤x≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy,
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成本总价=成本单价×销售量=500y, 代入求毛利润的公式,得 S=xy-500y =x(-x+1000)-500(-x+1000) 2 =-x +1500x-500000 2 =-(x-750) +62500(500≤x≤800). 所以,当销售单价定为 750 元时, 可获得最大毛利润 62500 元,此时销售量为 250 件.

8分 10 分 12 分 13 分 14 分

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

2x ? 1 ,试证明 f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数, x?2
1分 2分 4分

并求出该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值. 解:∵ f ( x) ?

2 x ? 1 2( x ? 2) ? 3 3 ? ? 2? x?2 x?2 x?2

(1)在(-2,+∞)上任取 x1,x2,使得-2<x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 ?

3 3 ) ? (2 ? ) x1 ? 2 x2 ? 2

=

3( x1 ? x2 ) 3 3 ? ? x2 ? 2 x1 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

5分

∵-2<x1<x2, ∴0<x1+2<x2+2,且 x1-x2<0

8分

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∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数. (2) ∵f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数, ∴f(x)在区间[1,4]上也是增函数, 当 x=1 时,f(x)有最小值,且最小值为 f(1)=1 当 x=4 时,f(x)有最大值,且最大值为 f(4)= 9分 10 分 11 分 12 分 14 分

3 . 2

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