9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

必修4第一章三角函数



北师大版必修 4

周期现象、任意角的推广(1)
【教学目标】 通过实例使得学生了解自然界中的周期现象、 数据中的周期现象, 要求学生掌握用 “旋 转”定义角的概念,并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义, 掌握终边相同角的表示方法. 【教学重点】周期现象的刻画,角的概念,象限角、终边相同角. 【教学难点】周期现象的刻画,终

边相同角的表示. 【教学过程】 一、周期现象与周期函数 自然界中的周期现象. 1、周期现象: (1)钱塘江潮,波浪每间隔一段时间出现;地 生活中的周期现象. 球绕着太阳转,地球与太阳的距离. (2)星期、一年四季、钟摆. 2、周期函数 (1)收集数据→画出散点图→分析散点图的特征→理解周期现象→产生周期函数. 二、例题选讲 例 1、地球绕着太阳转,地球与太阳的距离 y 与时间 t . 例 2、摆心 A 到铅垂线 MN 的距离为 y ,钟摆偏离铅垂线的角记 为 ? ,据物理知识 y 与 ? 的关系. 例 3、水车上点到水面的距离为,假设水车转一圈,那么的值每 经过就会重复出现,因此,距离随着时间的变化的变换规律具有 周期性. 三、角概念推广 1、回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的. 2、锐角、直角、钝角(研究 0 ~ 360 ) . 3、 【初中角的定义】平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转至 另一个位置所形成的图形. 4、生活中的角:拧螺丝:逆时针越拧越松,顺时针越拧越紧, 得出旋转方向的必要性. 5、 【规定】按逆时针方向旋转所成的角叫作正角;按逆时针方向 旋转所成的角叫作负角;若没有作任何的旋转则称为零度角. 【备注】 “顶点”与原点重合, “始边”与 x 轴非负半轴重合. 6、例:跳水:旋转两周、旋转三周. 四、象限角定义 为了研究方便,我们常在直角坐标系内讨论,为此使角的顶点 与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合.那么角的终边(除端点 外)在第几象限,则称这个叫是第几象限角. 例、第一象限角: 30 , 390 , 750 , ? 330 ;
0 0 0 0
0 0

【备注】这种概念的优点是形象、 直观、容易理解,但它的弊端在 于“狭隘” .

零角:一条射线,没有旋转 从 0 ~ 360 推广到更大的范围. 【备注】当角的终边落在两轴上 时,这些角不是象限角;如 0 ,
0
0 0

2700 , 3600 , ? 900 900 , 1800 ,
等等. 【问题一】第二象限角一定比第 一象限角大吗? 【问题二】锐角与第一象限角的

第二象限角: 120 , 495 , ? 220 ;
0 0 0

第三象限角: 300 , ? 60 , ? 420 .
0 0 0

第 1 页 共 48 页

北师大版必修 4

关系. 五、终边相同角 1、如: 30 、 390 、 750 , ? 330 均为第一象限角,它们 的终边相同.
0 0 0 0

【分析】 390 ? 30 ? 1 ? 360 ; 750 ? 30 ? 2 ? 360 ;
0 0 0 0 0 0

? 3300 ? 300 ? (?1) ? 3600 .
2、一般的,所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可以 构成一个集合: S ? {? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? z} .
0

【备注】任何一个与角 ? 终边相 同的角,都可以表示成角 ? 与周 角的整数倍得和. 【 备 注 一 】 将 角 转 换 到

3、例题选讲 例 1、判断下列角所在的象限

? ? 45 ? k ? 180 ,k ? z (1)? 60 ,606 ,? 950 12 ; (2)
0 0 0 / 0 0

? 3600 ~ 3600 范围之内有利于分

6060 ? 2460 ? 1? 3600 , 析象限角. 【解】 (1) ? 600 ? 3000 ? (?1) ? 3600 , 【备注二】注意终边相同角的表 ? 950012/ ? (?2) ? 3600 ? 230012/ ; 示形式中为周角的整数倍. (2)当 k ? 2n(n ? z ) 时,角 ? 为第一象限角;
当 k ? 2n ? 1(n ? z ) 时,角 ? 为第三象限角. 例 2、利用集合形式分别表示终边落在两轴上的角. 【解】当终边落在 x 轴正半轴时: S1 ? {? | ? ? 00 ? k ? 3600 , k ? z}, 当终边落在 x 轴负半轴时: S1 ? {? | ? ? 1800 ? k ? 3600 , k ? z} , 终边落在 x 轴上: S ? S1 ? S 2 ? {? | ? ? 0 ? k ?180 , k ? z} ;
0 0

当终边落在 y 轴正半轴时: S3 ? {? | ? ? 900 ? k ? 3600 , k ? z} , 当终边落在 y 轴负半轴时: S 4 ? {? | ? ? 270 ? k ? 360 , k ? z} ,
0 0

终边落在 y 轴上: S ? S3 ? S 4 ? {? | ? ? 900 ? k ?1800 , k ? z} . 三、小结 1、角的概念的推广:用“旋转”定义角 2、 “象限角”与“终边相同的角” . 1 ? 2 作业:习题 2 角的范围的扩大.

【课外反思与补充】 1、已知半径为 1 的圆的圆心与坐标系的原点重合,点 P 从 A(1,0) 出发,按逆时针方向旋转,1 秒中 所旋转得角度为 ? (0 ? ? ? 360 ) ,2 秒钟到达第三象限,14 秒钟后恰好回到起点 A(1,0) ,求 ?
0 0

第 2 页 共 48 页

北师大版必修 4

周期现象、任意角的推广(2)
【教学目标】要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边 相同的角”的含义,掌握终边相同角的表示方法. 【教学重点】象限角、终边相同角. 【教学难点】终边相同角的表示. 【教学过程】 一、复习 1、 周期函数; 2、 正角、 负角、 零角; 3、 象限角 4、 终边相同角 S ? {? | ? ? ? ? k ? 3600 , k ? z} . 二、象限角 例 1、已知角 ? 为第一象限角,求 【解】因为角 ? 为第一象限角,
0 0
0 所以 k ? 180 ?

? 、 2? 所在的象限. 2
0

【备注】

? 所在的象限为第一、 2

第三象限,而且是象限中的一半, 【练习】 已知角 ? 为第二象限角, 求

所以 k ? 360 ? ? ? 90 ? k ? 360 (k ? z ) ,

?

2 0 2k ? 360 ? 2? ? 1800 ? 2k ? 3600 (k ? z ) .
第一象限角 第一、第三 第一、第二
0

? 45 0 ? k ? 180 0 (k ? z ) ;

? 、 2? 所在的象限. 2

?
? 2 2?

第二象限角 第一、第三 第三、第四

第三象限角 第二、第四 第一、第二

第四象限角 第二、第四 第三、第四
0 0

三、终边相同角 例 1、 已知 ? ? 60 , , 写出与角 ? 终边相同的角的集合 S , 并把 S 中适合不等式 ? 720 ? ? ? 720 的元素 ? 写出来. 【解】 S ? {? | ? ? 60 ? k ? 360 , k ? z} ,
0 0

22 11 ? k ? ,因为 k ? z ,所有 k ? ?2,?2,0,1 , 9 6 0 0 0 0 所有元素 ? 为 ? 660 , ? 300 , 60 , 420 .

? 7200 ? 600 ? k ? 3600 ? 7200 解得: ?
0 0 0

例 2、已知角 ? 1030 ,它和 0 ~ 360 中那个角终边相同的. 【解】 ? 1030 ? 50 ? (?3) ? 360 ,所有 ? 1030 与 50 的角终边相同.
0 0 0
0 0

【备注】通常会将角转化到 0 ~ 360 . 例 3、角 ? 终边与角 ? 的终边关于原点对称,则有( ) A. ? ? ? B. ? ? ? ? 180
0

0

0

C. ? ? ? ? k ? 360
0

0

D. ? ? ? ? 180 ? k ? 360
0
0 0

0

【解】因为角 ? 终边与角 ? 的终边关于原点对称,所有它们角之间相差 180 ? k ? 360 . 【备注】平时练习时容易忽视 k ? 360 . 例 4、如图,利用集合形式写出阴影部分对应角的范围. 【解】第一象限部分角的范围: 0 ? k ? 360 ? ? ? 45 ? k ? 360
0 0 0 0 0 0 0 0

第四象限部分角的范围: ? 30 ? k ? 360 ? ? ? 0 ? k ? 360 所以 ? 30 ? k ? 360 ? ? ? 45 ? k ? 360 (k ? z ) .
0 0 0 0

第 3 页 共 48 页

北师大版必修 4

三、小结 1、在平时处理角方面,通常会将角转化到 0 ~ 360 上来处理. 2、注意在表示终边相同角时,不要忽视 k ? 360 . 作业:习题 1 ? 2 3 【课外反思与补充】
0 0 0

1、已知角 ? 和角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? ? ? ? 2、已知角 ? 和角 ? 的终边关于 x 轴对称,则 ? ? ? ? 3、已知角 ? 和角 ? 的终边关于原点对称,则 ? ? ? ?

. ? ? ? ? 1800 ? k ? 3600 . ? ? ? ? 00 ? k ? 3600 . ? ? ? ? (2k ? 1) ?1800

4、已知 A ? {x | 600 ? k ? 3600 ? x ? 3000 ? k ? 3600 , k ? z} , B ? {x | ?2100 ? k ? 3600 ? x ?

0 0 ? k ? 3600 , k ? z},求 A ? B , A ? B .

第 4 页 共 48 页

北师大版必修 4

弧度制
【教学目标】要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数 集 R 一一对应关系的概念,逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决弧长、扇形面积具 体的问题. 【教学重点】弧度制的定义、角度值与弧度制的互化,利用弧度制解决弧长、扇形面积问题. 【教学难点】弧度的概念. 【教学过程】 一、复习 1、度量角的大小第一种单位制——角度制的定义; 1 :周角的
0

1 ; 360

n? ? r n? ? r 2 2、弧长公式: l ? ;扇形面积公式 S 扇 ? ( r ——圆的半径, n ——角的度数) ; 180 360 3、 l 与圆心角构成一一对应关系.
二、弧度 1、 【1 弧度定义】 以单位长为半径的圆 (单位圆) 【备注】大小不同的角,对应的弧度数不一样, 中,单位长度的弧长所对应的圆心角为 1 弧度. 弧度数可以度量角的大小. 符号: rad ;读:弧度. 2、角度与弧度的互换 (1)单位圆中,当圆心角为周角时,其弧度为 平角的弧度数为 ? 2? ,则周角的弧度数为 2? . (2)角度制与弧度制的互化 (1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负 0 0 ① 360 ? 2?rad ; ② 180 ? ?rad ; 数,零角的弧度数是 0, (2 ) 用角度制和弧度制来度量零角, 单位不同, ? 0 rad ? 0.01745 rad ; ③ 1 ? 但数量相同(都是 0) , 180 (3)用角度制和弧度制来度量任一非零角, 180 0 单位不同,量数也不同. ) ? 57.30 . ④ 1rad ? (

?

例 1、 把 67 30' 、 1210 , ? 315 化成弧度.
? 0 ?

【解】 67? 30' ? ? 67 ? ∴ 67 30' ?
?

1 3 ? ?rad . 180 2 8 0 0 0 因为 1210 ? 3 ? 360 ? 30 ? 37? 1210 0 ? 3 ? 2? ? ? . 6 6 rad ? 67 ? 315 ? ? 45 ? ? 360 ? ?

?

? ?

1? 2?

?

【注意几点】1、度数与弧度数的换算也可借助 “计 算器” 《中学数学用表》进行; 2、今后在具体 运算时, “弧度”二字和单位符号“ rad ”可以 省略;

?

【备注】不能写成 1080 ?
0

?

4

? 2? .


如:3 表示 3rad , sin ? 表示 ?rad 角 的正弦.3、一些特殊角的度数与弧度数的对应 值应该记住(见课本 P9 表) 4、应确立如下的概念:角的概念推广之后,无 论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数 的集合之间建立一种一一对应的关系. 正角 零角 负角 任意角的集合 正实数 零 负实数 实数集

6

例 2、把 ?rad 化成度.

3 5

第 5 页 共 48 页

北师大版必修 4

【解】 ?rad ?

3 5

3 ? 180 ? ? 108 ? . 5

3、特殊角的弧度 度数 00 300

450 600 900 1200 ? ? ? ? 2? 弧度 0 数 3 6 4 3 2 0 0 【备注】注意记住 0 到 180 这些特殊角的弧度.

1350 3? 4

1500 5? 6

1800

?

2700 3? 2

3600
2?

三、弧度制 1、弧度制定义:一般的,任一正角的弧度数都是一个正数,任一负角的弧度数都是一个负数, 零角的弧度数为零,这种以弧度作为单位的度量角的单位制,角弧度制. 2、有关公式: 【备注】长度等于半径长的弧所对的 (1) 弧长公式:l ?| ? | ?r( ? 弧长对应的圆心角,r 为 圆心角称为 1 弧度的角. 它与圆的半径的大小无关. 圆的半径) . 【备注】弧长等于弧所对应的圆心角的弧度数的绝对值 与半径之积. (2)扇形面积公式: S ? 【 证 明 】 因 为 l?

1 1 | ? | r 2 ? lr . 2 2

n? ? r , 180 n? n? ? r 2 S扇 ? ,所以 ? ? 180 360 1 2 所以 S ? | ? | r . 2

3、例题选讲

1 lR ,其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径。 2 1 l ?R 2 ,弧长为 l 的扇形圆心角为 rad 【证明】如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为: 2? R l 1 1 ? ?R 2 ? lR . ∴ S? ? R 2? 2 例 2、已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 ? ?2r ? l ? 6 ?r ? 2 【解】设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有 ? l ?? ?1 ?l ? 2 ? ?r 1 2 ∴ 扇形的面积 S ? rl ? 2(cm ) . 2 例 3、求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1 m )图中长度单位为: m
例 1、 利用弧度制证明扇形面积公式 S ? 【解】 ∵ 60 ?
?

?

∴ l ? ? ?R ?

?

3
? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m) .


例 4、已知扇形面积 S ? 4 ,周长为 10,则其对应的圆心角为 【解】设圆的半径为 r ,圆心角为 ? ,弧长为 l ,

3

S ?4?
作业: P 12

1 l 1 lr , 10 ? 2r ? l ,解得: r ? 1 或 r ? 4 , l ? 8 或 2 ,所以 ? ? ? 8 或 . 2 r 2
4、6、7、8、
第 6 页 共 48 页

北师大版必修 4

【课外反思与补充】 1、直径为 1.4 m 的飞轮,每小时按逆时针旋转 24000 转,求: (1)飞轮每秒转过的弧度数; (2)飞轮上某点 P 每秒转过的弧长. 【解】 (1)

2、一个扇形的周长为 20,求扇形面积最大时,扇形圆心角的大小. ? ? 2 , S max ? 25 . 3、已知某圆中,1 弧度圆心角所对应的弦长为 2,求该圆心角对应弧长的大小. 4、已知集合 A ? {x | x ? k ? 900 ? 450 , k ? z} , B ? {x | x ? A. A ? B B. A ? ? B C. B ? ? A
0

40 28 ?; ? (m) (2) 3 3

k? ? ? , k ? z} ,则 A, B 关系( B) 4 2 D. A ? B ? ?

1 . sin 0.5

5、已知一长为 4 cm ,宽为 3cm 的长方体块在桌面上无滑动的翻滚,翻滚 到第四面时被一个小木板挡住,使得木块底面与桌面成 30 角,求点 A 走 过的路程以及弧长所在扇形的总面积. 【解】弧长

4? 67? (cm 3 ) (cm) ,面积 3 6

第 7 页 共 48 页

北师大版必修 4

正余弦函数的定义
【教学目标】借助单位圆认识和理解正余弦函数的定义,并能根据定义确定正余弦函数值的符号. 【教学重点】正余弦函数的定义. 【教学难点】理解正余弦函数的定义. 【教学过程】 一、复习 1、初中的正余弦函数:直角三角形中, sin ? ? 2、 sin

h s , cos ? ? ; r r

?
6

?

1 ? 3 ? 2 , sin ? , sin ? . 2 3 2 4 2

二、锐角的正余弦函数 1、定义:在直角坐标系中,单位圆的圆心与坐标系的原点 重合,锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位 圆交于点 P (a, b) .则有 sin ? ? b, cos? ? a . 当 ? ? 0 时, sin ? ? 0, cos? ? 1 ; 当? ?

?
2

时 sin ? ? 1, cos? ? 0 . 时,点 P (a, b) 对于的坐标是什么?

2、当 ? ?

?
4

3、当 ? ? [0,

?
2

] 时, y ? sin ? 的值有什么变化?

三、任意角的正余弦函数 1、定义:在直角坐标系中,对于任意角 ? ,单位圆的圆 心与坐标系的原点重合,任意角 ? 的始边与 x 轴的非负半 轴重合,终边与单位圆交于点 P (a, b) .我们可以唯一确定 点 P (a, b) ,所以点 P 的纵坐标 b 是角 ? 的函数,称为正 弦函数,记 b ? sin ? ;点 P 的横坐标 a 是角 ? 的函数,称 为余弦函数,记 a ? cos? . 2、 推广: 角 ? 终边上任取一点 P (a, b) (非原点) , 点 P ( a, b) 到原点的距离为 r ?

a 2 ? b 2 ,则 sin ? ?

b a2 ? b2



(1)角是“任意角” ,当 ? ? 2k? ? ?

该是相等的,即凡是终边相同的角的三角 【备注】正余弦函数的值与点 P (a, b) 到原点的位置无关. 函数值相等; (2)三角函数是以“比值”为函数值的 函数. 0 0 0 0 例、求 sin 45 , cos120 , sin 210 , cos(?30 ) 的值.
2 2

cos? ?

a a ?b

(利用勾股定理) .

(k ? z ) 时, ? 与 ? 的同名三角函数值应

3、任意角的三角函数: y ? sin x , y ? cos x . x 为自变量, y 为函数值. 4、三角函数值的符号与象限 (1)正弦函数值的符号:第一、第二象限角→正; 第三、第四象限角→负.
第 8 页 共 48 页

【备注】定义域为 R , 值域为 [ ?1,1] . 【备注】 r ? 0 ,而 x, y 的正负是随象限 的变化而不同,故三角函数的符号应由象

北师大版必修 4

(2)正弦函数值的符号:第一、第四象限角→正; 第二、第三象限角→负. 四、例题选讲 例 1、判断下列值的符号: (1) sin(cos2300 ) ; (2) sin 4 ? cos

限确定.

5 ? ? cos( ?6) . 3 0 0 【解】 (1)因为 230 为第三象限角,所以 ? 1 ? ? ? cos 230 ? 0 ,所以 ? 为第四象限角,所以 sin ? ? 0 ,即 sin(cos2300 ) ? 0 . 5 1 0 0 (2)因为 4 ? 4 ? 57.3 ? 236.2 为第三象限角,所以 sin 4 ? 0 ; cos ? ? ? ? 0 ; 3 2 5 0 0 0 因为 ? 6 ? ?6 ? 57.3 ? ?343.8 ,所以 cos(?6) ? 0 ,所以 sin 4 ? cos ? ? cos( ?339 ) ? 0 . 3
例 2、已知 ? 为第三象限角,判断 sin

?

2

? cos

?

2

得符号.

【解】因为 ? 为第三象限角,即 ? ? 2k? ? ? ? 所以

3 ? ? ? ? ? k? ,为第二或第四象限角, 所以 sin ? cos ? 0 . 2 2 4 2 2 例 3、已知点 P(sin? , cos? ) 在第二象限,判断角 ? 所在的象限. ?sin ? ? 0 【解】因为点 P(sin? , cos? ) 在第二象限,所以 ? ,所以角 ? 为第二或第四象限角. ?cos? ? 0 3 例 4、已知 ? 的终边经过点 P(? ,2) ,求 sin ? , cos? 的值. 2 4 3 3 9 5 【解】 x ? ? , y ? 2, r ? ? 4 ? , sin ? ? , cos ? ? ? . 5 5 2 4 2 例 5、已知角 ? 的终边经过 P(4a,?3a)(a ? 0) ,求 2 sin ? ? cos ? 的值. 3 4 2 【解】若 a ? 0 r ? 5a 则 sin ? ? ? , cos ? ? ∴ 2 sin ? ? cos ? ? ? ; 5 5 5 3 4 2 若 a ? 0 r ? ?5a 则 sin ? ? , cos ? ? ? ∴ 2 sin ? ? cos ? ? . 5 5 5 x 例 6、已知角 ? 的终边经过 P( x,? 2 ) ,且 cos ? ? ( x ? 0) ,求 sin ? 的值以及 ? . 2 x x 【解】 r ? x 2 ? 2 , cos ? ? ? ,所以 r ? 2 ,则 2 ? x 2 ? 2 ,解得: x ? ? 2 r 2 ? ? 2 (k ? z ) . 所以 sin ? ? ? , ? ? 2k? ? 或 ? ? (2k ? 1)? ? 4 4 2 ? k? ?
五、小结 1、任意角的三角函数;2、任意角的三角函数值的符号是由角所在的象限确定的. 作业: P21 习题 1—4 A 组 1,2( (2) (5) (6) ) ,3,6、7 【课外反思与补充】 1、 角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边所在的射线方程为 y ? ?3x( x ? 0) ,求 sin ? 的值.
第 9 页 共 48 页

?

?

3 ? ? 2k? (k ? z ) , 2

北师大版必修 4

2、已知角 ? 的终边经过 P(a,2a)(a ? 0) ,求 sin ? , cos? 的值. 3、已知 sin ? ? cos ? ,试确定角 ? 的范围. 4、 P(?3, y ) 为角 ? 终边上一点, sin ? ? ?

2 ,求 cos? 的值. 3 5、已知 ? 终边上的一点 P 坐标是 (sin 2, ? cos 2) ,则 ? 的一个弧度数为( A ) ? ? 3? ?2 A. 2 ? B. ? 2 C. D. ? ? 2 2 2 2
【解】因为 sin 2 ? 0 , ? cos 2 ? 0 ,所以点 (sin 2, ? cos 2) 在第一象限, sin 2 ? cos(

?
2

? 2)

2 2 2 6、在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( C ) ? ? ? ? ? 5? ? ?? ? ? ? 5? ? ? ? ? ? 5? 3? ? A. ? , ? ? ? ? , C. ? , D. ? , ? ? ? ? , ? ? B. ? , ? ? ? ?4 2? ? 4 ? ?4 ? ? 4 2 ? ?4 ? ?4 4 ?
【解】利用“米”字形或利用特殊值法. 7、如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P 0 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

? cos( 2 ?

?

) , ? cos 2 ? sin( 2 ?

?

) ,所以 ? ? 2 ?

?



?

2, ? 2 ,

?

3 x 重合,求 sin ? , cos? 的值. 2 3 3 2 13 3 3 2 13 【解】第一象限: sin ? ? ;第三象限: sin ? ? ? , cos? ? , cos? ? ? 13 13 13 13 4 1 0 9、已知角 ? 的终边经过点 P(?8m,?6 cos60 ) ,且 cos ? ? ? ,则 m ? .m ? 5 2 10、已知 lg(sin? ? cos? ) ? ? cos? 有意义,则 ? 为第 象限角. 第三象限角
8、已知角 ? 的终边与直线 y ?

2 2 12 、 已 知角 ? 的 终 边 与 直线 y ? 3x 重 合 ,且 sin ? ? 0 , 点 P(m, n) 为 角 ? 的 终 边 上 一点 , 且
11、已知角 ? 的终边落在函数 y ? ? | x | 图像上,求 cos? 的值.

?

| OP |? 10 ,求 m ? n 的值. m ? n ? 2
13 、点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P 0 (1,0) 开始沿单位圆按逆时针方向运动角 ? (0 ?? ?

?

2

)到达点 P 1 ,然后继续沿单位圆逆时针方向运动

? 4 到达点 P , 2 ,若点 P 2 的横坐 标为 ? 5 3

则 cos ? 的值等于

3 3?4 10

第 10 页 共 48 页

北师大版必修 4

单位圆与周期性(1)
【教学目标】了解周期函数的定义,掌握 2k? ? ? , ? ? ? ,

?
2

? ? , 2? ? ? , ? ? 角的三角函

数诱导公式,能正确运用公式进行化简求值. 【教学重点】诱导公式的推导与理解. 【教学难点】诱导公式的运用. 【教学过程】 一、复习 1、任意角三角函数的正余弦;2、三角函数值的符号判断;3、终边相同角的表示 2k? ? ? 与 ? . 二、关于 2k? ? ? 与 ? 的诱导公式 1、引例:

? 7? 和 的终边与单位圆交点 P 纵坐标有什么 3 3

关系?横坐标有什么关系? 2、

2? 8? ? 5? 2? 14? 和 、? 和 、? 和? 呢? 3 3 3 3 3 3

sin(2k? ? ? ) ? sin ? . (k ? z) cos(2k? ? ? ) ? cos? . (k ? z) 【意义】脱去周期转到 0 ~ 2? 的角(脱周) .
三、周期函数的定义 1、对应一个任意角 x ,每增加 2? 的整数倍,函数值不 变,正余弦值是随着角的变化而周期性变化.我们把这样 的函数叫作周期函数. 2、一般的,对应函数 f ( x) ,如果存在非零实数 T ,对于 定义域内的任意一个 x 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 称 f ( x) 为周期函数, T 为它的周期. 三、关于 ? ? 与 ? 的诱导公式 1、 ? ? 与 ? 所在的终边有什么关系?它们对应的函数值 有什么关系? 2、诱导公式 sin(?? ) ? ? sin ? ( k ? z )

3、诱导公式:

终边相同角的正弦值相等;终边相同角 的余弦值相等. 【备注】 1、正余弦函数为周期是 2k? 的周期函 数, 2? 为它的最小正周期. 2、周期函数的定义域是无边界的. 3、 sin(

?

2

?

?

4

) ? sin

?

4

,能否说

? 是 4

它的周期?为什么? 【备注】关于 x 对称,正弦值互为相反 数,余弦值相等.

cos(?? ) ? cos? ( k ? z )
【意义】可以将负角变成正角(去负) . 四、关于 ? ? ? 与 ? 的诱导公式 1、 角 ? ? ? 与 ? 的终边有什么关系?它们对应的函数值 有什么关系? 2、诱导公式 【备注】关于原点对称,函数值互为相 反数.

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos?

五、关于 ? ? ? 与 ? 的诱导公式 1、 角 ? ? ? 与 ? 的终边有什么关系?它们对应的函数值
第 11 页 共 48 页

【备注】关于 y 对称,正弦值相等,余

北师大版必修 4

有什么关系? 2、诱导公式

弦值互为相反数.

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos?

【小结】 (1)抓住角的终边关系分析它们的值; (2)视 ? 为锐角,则 sin ? , cos? 的值均为正数, 分析 2k? ? ? , ? ? ,? ? ? 所在的象限,利用象限角对应三角函数值的符号确定对应 sin ? , cos? 前面的符号(如公式 cos(? ? ? ) ? ? cos? 中, cos? 前面的负号则是角 ? ? ? (第三象限角)对应 的三角函数值的符号(符号看象限) . 2k? ? ? , 2k? ? ? , ? ? , ? ? ? , ? ? ? 分别为第一、第四、第四、第二、第三象限角 六、例题选讲 例 1、求下列函数值 (1) sin(?16500 ) ; (2) sin( ? ? ) , (3) cos

7 4

2? . 3

0 0 0 【解】 (1) sin(?1650 ) ? ? sin(4 ? 360 ? 210 ) ? ? sin(180 ? 30 ) ? sin 30 ?
0 0 0

1 ; 2

1 7 ? ? 2 , (3) ? . ? ) ? sin(?2? ? ) ? sin ? 2 4 4 4 2 25 26 7 5 7 ? ? cos ? ? sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? ? cos 3? ? sin ? . 例 2、求值: sin 6 3 3 4 2 25 26 1 2 1 2 1 ? ? cos ? ? sin( 4? ? ? ) ? cos( 8? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? ? 【解】 sin 6 3 6 3 6 3 4 7 5 7 7 5 7 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? 3 4 2 3 4 2 1 1 1 1 1 1 6 ? ? sin( 2? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? sin( 4? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? sin(? ? ) ? ? 3 4 2 3 4 2 4 1 6 6 ?1 所以原式 ? ? ? . ?? 4 4 4 sin(2? ? ? ) ? sin(3? ? ? ) 例 3、化简: (1) ; sin(?? ? ? ) ? cos(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin[? ? (2n ? 1)? ] ? 2 sin[? ? (2n ? 1)? ] (2) . sin(? ? 2n? ) ? cos(2n? ? ? ) sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 1 ? ?? 【解】 (1)原式 ? ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )(? sin(? ? ? )) ? sin ? ? (? cos? ) ? sin ? sin ? 3 sin(? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ) ? sin ? ? 2 sin ? ? ?? (2)原式 ? . sin ? ? cos ? cos ? ? sin(2n? ? ? ) ? cos?
(2) sin(?

1 7? 11 ? x) ? sin 2 ( ? ? x) 的值. ,求 sin( 6 4 6 6 7? ? 11? ? ? x ? ? ? (x ? ) , ? x ? 2? ? ( x ? ) (角的变换) 【解】分析角 6 6 6 6
例 4、已知 sin( x ?

?

)?

第 12 页 共 48 页

北师大版必修 4

7? 11 1 1 3 ? x) ? sin 2 ( ? ? x) ? ? ? ?? . 6 6 4 16 16 n? 例 5、已知函数 f ( n) ? sin (n ? z ) ,求 f (1) ? f (3) ? f (5)?? f (2013 ) 的值. 6 (2n ? 1)? n? ? n? ? ? sin( ? ) ; f [2(n ? 6) ? 1] ? sin( ? ) 【解】 f ( 2n ? 1) ? sin 6 3 6 3 6 f (2n ? 1) ? f [2(n ? 6) ? 1] ,所以函数的周期为 6 k ,1 到 2013 共有 1007 个奇数, 1 4 168 1 672 1 1 671 所以 f (1) ? f (3) ? f (5) ? ? f ( 2013 ) ? [( ? ) ] ? f (11) ? ( ) ? ( ? ) ? ?( ) . 2 2 2 2 sin(
五、小结 1、诱导公式的记忆理解:抓住对称性→圆的对称性及角终边的对称性→对称点的数量关系及角之 间的数量关系→诱导公式 2、看住象限角对应的符号. 3、化简求值步骤:脱周→去负→转到 0 ~ 2? 的角→锐角(廋身减肥) . 作业: P21 习题 1—4 A 组 8 B组 1 推导出:角 2k? ? ? 与 ? ( k ? z )的诱导公式.

【课外反思与补充】
0 1、化简: (1) (sin1970 ? sin 19900 )(sin19700 ? sin 19900 ) ;

2 ? ? ) cos( k? ? ) (k ? z ) . 3 6 5 ? 11 5 2、求值: sin ? ? cos( ? ) ? sin ? ? cos ? ; 6 4 6 4
(2) sin( k? ?

23 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ) 的值. ,求 f ( ? 2 6 2 sin (2? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin ? ? cos ? ? cos ? cos ? 23 ? ?) ? 3. 【解】 f (? ) ? ,所以 f ( ? 2 sin ? 6 2 sin ? ? sin ? ) ? 1 ,求 4、已知函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ,其中 a, b,? 为非零实数,若 f (2008 f (2009) 的值. ) ? ? f (2008 ) ? ?1. 【解】 f (2009 ? 2? 3? 4? ? cos ? cos 5、求值: cos ? cos . 原式 ? 0 . 5 5 5 5 5? ? 11 5 ) cos( ? ) ? sin ? ? cos ? ; 6、求值: (1) sin( 6 4 6 4 0 0 0 0 (2) sin(?1200 ) ? cos(?1290 ) ? cos1020 sin(?1050 ) . n? (n ? z ) , 7、已知函数 f ( n) ? sin 4 (1)求证 f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? f (9) ? f (10) ? ? ? f (16) ; ) 的值. (2)求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2013
3、化简求值:已知 f (? ) ?

第 13 页 共 48 页

北师大版必修 4

单位圆与周期性(2)
【教学目标】在掌握 2k? ? ? , ? ? ? , , 2? ? ? , ? ? 角的三角函数诱导公式的基础上,进一步 掌握

?

2

? ? 诱导公式的推导,能正确运用公式进行化简求值.

【教学重点】诱导公式的推导与理解. 【教学难点】诱导公式的运用. 【教学过程】 一、复习

sin(2k? ? ? ) ? sin ?

cos(2k? ? ? ) ? cos?

sin(?? ) ? ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ?

cos(?? ) ? cos?
cos(? ? ? ) ? ? cos?

sin(? ? ? ) ? ? sin ?
sin(2k? ? ? ) ? ? sin ?

cos(? ? ? ) ? ? cos?
cos(2k? ? ? ) ? cos?

(k ? z)

(1)抓住角的终边关系分析它们的值; (2)视 ? 为锐角,则 sin ? , cos? 的值均为正数,

分析 2k? ? ? , ? ? ,? ? ? 所在的象限,利用象限角对应三角函数值的符号确定对应 sin ? , cos?

前面的符号(如公式 cos(? ? ? ) ? ? cos? 中, cos? 前面的负号则是角 ? ? ? (第三象限角)对应 的三角函数值的符号(符号看象限) . 二、关于

? ? 与 ? 的诱导公式 2 1、 Rt ?OMP 与 Rt?OP 1 M 1 有什么关系?
2、诱导公式:

?

sin(

?

2

? ? ) ? cos ? ,

cos(

?
2

? ? ) ? ? sin ?
sin(

?
2

? ? ) ? M 1 P1 , cos ? ? OM ,

三、关于

?
2

由全等知 M 1 P 1 ? OM .

? ? 与 ? 的诱导公式 cos(

利用象限确定符号方法,能否推出关于

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ,

?
2



? ? ) ? sin ?

3? 3? ? ? , ? ? 与 ? 的诱导公式? 2 2

【小结】视 ? 为锐角,角 四、例题选讲 例 1、求下列函数的值: (1) sin(

k? ? ? ( k ? z )对应的诱导公式记忆:奇变偶不变,符号看象限. 2

5? ? 11? ? ? ? ? ) , (2) cos( ? ) ? cos( ? ) . 2 4 2 3 2 6 5? ? ? ? ? ? ? 2 ? ) ? sin[ 2? ? ( ? )] ? sin( ? ) ? cos ? 【解】 (1) sin( ; 2 4 2 4 2 4 4 2 11? ? ? ? 3? ? ? ? ? 1? 3 ? ) ? cos( ? ) ? cos( ? ) ? sin ? ? sin ? sin ? (2) cos( . 2 3 2 6 2 3 6 3 6 2
第 14 页 共 48 页

北师大版必修 4

例 2、化简:

sin(? ? ? ) cos( ? ? ? ) cos(
(1)

?
2

??)

sin( 2? ? ? ) cos( 2? ? ? )

3? ??) 2 ; (2) . cos( ? ? ? ) cos( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) cos(

(? sin ? )( ? cos ? )( ? sin ? ) ? ? sin ? ; sin( 2? ? ? ) cos( 2? ? ? ) sin ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos? ? sin ? sin ? ? cos? ? (? sin ? ) ?? (2)原式 ? ? cos ? (? cos? ) cos(? ? ? )(? sin(? ? ? ) (? cos? )(? cos? ) ? sin ? 3 sin(? ? 3? ) cos( 4? ? ? ) sin( ?? ? ? ) 2 ,求 f ( ? 31 ? ) 的值. 例 3、已知 f (? ) ? cos( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) 6 ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? (? cos ? ) 【解】 f (? ) ? ? ? ? cos? , ? cos ? ? sin ? 31 31 7? 7? ? ? 3 f (? ? ) ? ? cos( ? ? ) ? ? cos( 4? ? ) ? ? cos . ? ? cos(? ? ) ? cos ? 6 6 6 6 6 6 2 3 ? sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin( ? ? ? ) cos(? ? ) 2 2 . 例 4、已知 ? 为第三象限角,且函数 f (? ) ? 3 sin( ? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin(7? ? ? ) 2 ? 1 0 (1)化简 f (? ) ; (2)若 sin(? ? ) ? ,求 f (? ) ; (3)若 ? ? ?1860 ,求 f (? ) . 2 5 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos? ? (? cos? ) ? sin ? ?? ? ? cos ? ; 【解】 (1) f (? ) ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? 1 1 1 (2)因为 sin(? ? ) ? ,所以 cos ? ? ? ,所以 f (? ) ? ; 2 5 5 5 1 0 (3) f (? ) ? ? cos(?18600 ) ? ? cos18600 ? ? cos(5 ? 3600 ? 600 ) ? ? cos 60 ? ? . 2 0 例 5、 (1)已知函数 f (cos x) ? cos 2 x ,求 f (sin15 ) 的值; (2)已知函数 f (sin x) ? cos 2 x ,求 f (cos x) 的值.
【解】 (1)原式 ?

sin(? ? ? ) cos( ? ? ? ) cos(

?

2

??)

?

【解】 (1) f (sin15 ) ? f (cos75 ) ? cos150 ? ?
0
0 0

? x) ? cos( ? ? 2 x) ? ? cos 2 x . 2 2 sin(450 ? ? ) cos(? ? 600 ) 例 6、求值: (1) ; ? cos(450 ? ? sin(? ? 300 ) ? 1 5? ) 的值. (2) 已知函数 sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? 6 3 3 0 0 0 0 0 0 【解】 (1)分析 45 ? ? ? 90 ? (45 ? ? ) , ? ? 60 ? 90 ? ? ? 30 ,原式 ? 1 ? 1 ? 0 .
(2) f (cos x) ? f (sin(

?

? x)) ? cos 2(

?

3 ; 2

第 15 页 共 48 页

北师大版必修 4

(2) cos( ? ?

5? ? ? ? ? ) ? cos[ ? ? (? ? )] ? ? cos( ? ? ) ? ? cos[ ? ( ? ? )] 3 3 3 2 3 ? 1 ? ? sin( ? ? ) ? ? . 3 3

五、小结

sin(2k? ? ? ) ? sin ?

cos(2k? ? ? ) ? cos?

sin(?? ) ? ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ?

cos(?? ) ? cos?
cos(? ? ? ) ? ? cos?

sin(? ? ? ) ? ? sin ?
sin(2k? ? ? ) ? ? sin ?

cos(? ? ? ) ? ? cos?
cos(2k? ? ? ) ? cos?

sin(

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

? ? ) ? ? sin ? 2 2 3? 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 cos(

?

? ? ) ? cos ?

?

视 ? 为锐角,角 作业: P20

k? ? ? ( k ? z )对应的诱导公式记忆:奇变偶不变,符号看象限. 2 练习 4 P39 习题 1—7 7、8、9

【课外反思与补充】 1、已知 f (cos x) ? cos17x ,求 f (sin x) 【解】 f (sin x) ? f [cos(90? ? x)] ? cos[ 17(90? ? x)]

? cos(4 ? 360? ? 90? ?17x) ? cos(90? ?17) ? sin 17x 2、已知 f (sin x) ? sin(4n ? 1) x, (n ? Z , x ? R) ,求 f (cos x) 1 3、已知 sin ? ? , sin(? ? ? ) ? 1,求 sin(2? ? ? ) 3 ? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 【解】? sin(? ? ? ) ? 1 2 ? 1 从而: sin( 2? ? ? ) ? sin[ 2(2k? ? ) ? ? ] ? sin( 4k? ? ? ? ? ) ? sin ? ? 2 3 sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) ? ?1, k ? Z 4、求证: sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ] ? n? ? ? ) 的值. 5、设 ? ? (0, ) , sin ? ? m ,求 sin( 2 2 n? n? ? ? ) ? sin ? ? m ;当 n ? 4k ? 1 时, sin( ? ? ) ? 1 ? m2 ; 【解】当 n ? 4k 时, sin( 2 2 n? n? ? ? ) ? ? sin ? ? ?m ;当 n ? 4k ? 3 时, sin( ? ? ) ? ? 1? m2 . 当 n ? 4k ? 2 时, sin( 2 2 3 4 6、已知 cos( ? ? ? ) ? ? , ? 为第四象限角,则 sin(?2? ? ? ) ? .? 5 5 4 4 7、已知函数 sin(? ? ? ) ? ,则 sin(? ? 2? ) ? .? 5 5
第 16 页 共 48 页

北师大版必修 4

正弦函数图像与性质(1)
【教学目标】了解正弦曲线的画法,能利用五点描图法画正弦函数的图像,会利用正弦函数图像进 一步研究正弦函数的性质. 【教学重点】正弦函数的图像与性质理解. 【教学难点】正弦函数图像的画法. 【教学过程】 一、复习 1、正弦函数的定义;2、正弦函数的定义域、值域、周期. 二、正弦函数 y ? sin x 的图像 1、 【正弦线】设任意角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 MP 为角 ? 的正弦线;余弦线是什么? 2、利用正弦线作出 y ? sin x 在 x ? [0,2? ] 的函数图像;

x
sin x

0 0

? 6 1 2
7? 6

? 4 2 2
5? 4

? 3
3 2 4?
3

? 2
1
3? 2

2? 3
3 2 5?
3

3? 4
2 2 7? 4 ? 2 2

5? 6 1 2
11? 6

?
0
2?

?

1 2

?

2 2

?

3 2

?1

?

3 2

?

1 2

0

【备注】 1 、因为正弦函数的周期为 2k? ,所以它在区间 [2k? , (2k ? 1)? ] (k ? z ) 上的图像与在

[0,2? ] 上的图像完全一样. 因此只要将 y ? sin x ,x ? [0,2? ] 的图像向左、 向右平移 (每次平移 2? 个单位)就得到正弦函数 y ? sin x 在 x ? R 的图像.

2、一般利用五点描图法描绘正弦函数的图像:

? 3? (0,0) , ( ,1) , (? ,0) , ( ,?1) , (2? ,0) 2 2

3、五点描图基本步骤: (1)列表; (2)描点; (3)画图 三、例题选讲 例 1、利用五点描图法画出函数在区间 [0,2? ] 上的简图. (1) y ? ? sin x , (2) y ? sin x ? 1 .
第 17 页 共 48 页

北师大版必修 4

【解】 (1) 【列表】

x
y ? sin x y ? ? sin x y ? sin x ? 1

0 0 0 1

? 2
1 ?1 2

?
0 0 1

3? 2 ?1 1 0

2?

0 0 1

(2) 【描点】 y ? ? sin x :

? 3? (0,0) , ( ,?1) , (? ,0) , ( ,1) , (2? ,0) 2 2 ? 3? y ? sin x ? 1 : (0,1) , ( ,2) , (? ,1) , ( ,0) , (2? ,1) 2 2

(3) 【画图】

【备注】函数 y ? sin x 图像与函数 y ? ? sin x 图像关于 x 轴对称;将函数 y ? sin x 图像向上平移一 个单位得到函数 y ? sin x ? 1 图像. 五、小结 1、正弦函数图像; 2、利用五点法描图:列表——描点——画图. 作业: P29 习题 1—5 A 组 2 B 组 1. 【课外反思与补充】 1、函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的 取值范围是__________.

1 的根的个数为_______. 7 个 x ? 5? ) 与函数 y ? 2 围成图像的面积. S ? 4? . 3、求函数 y ? 2 sin x( ? x ? 2 2 3?m 4、已知 sin x ? ,求 m 的范围. 3m ? 2 ? ? 1 2 2 2 5、已知 ? ? ? ? , 3sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? ,求 sin ? ? sin ? 的最小值. 6 4 2
2、方程 sin x ? 【解】因为 ?

?

6

?? ? 1 3

?

4

,所以 0 ? 2 sin

2

? ? 1 ,所以 3sin 2 ? ? 2 sin ? ? 2 sin 2 ? ?[0,1] ,

所以 sin ? ? (? ,0] ? [ ,1) , sin ? ?
2

2 3

1 3 1 3 1 sin ? ? (sin ? ? ) 2 ? ,最小值为 ? 2 2 2 8 3

第 18 页 共 48 页

北师大版必修 4

正弦函数图像与性质(2)
【教学目标】在理掌握正弦曲线的基础上,利用正弦函数图像进一步研究正弦函数的定义域、值域、 单调性、周期性、奇偶性等性质. 【教学重点】正弦函数的图像与性质理解. 【教学难点】正弦函数性质运用. 【教学过程】 一、复习 1、 正弦函数的图像, 2、 正弦函数图像画法. 五点描图法:列表——描点——画图 二、正弦函数 y ? sin x 的性质

1、 【定义域】 R ;2、 【值域】

[ ?1,1] ;

3、 【周期性】周期为 2k? (k ? z, k ? 0) , 最小正周期为 2?

4、 【最大值与最小值】当 x ? 2k? ?

?

2 5、 【奇偶性】奇函数 sin(? x) ? ? sin x (诱导公式之一) 6、 【单调性】 k ? z 【备注】易忽视
(1)单调递增区间 [2k? ? 7、 【对称轴】 x ? k? ?

时取得最大值;当 x ? 2k? ?

3? 时取得最小值; 2

?

?
2

2

,2k? ?

?

2

]

(2)单调递减区间 [2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

(k ? z)

8、 【对称中心】 (k? ,0) ( k ? z )

【备注】熟悉正弦函数图像有利于分析正弦函数的性质 三、例题选讲 例 1、利用五点描图法画出函数 y ? sin x ? 1的简 【定义域】 R ; 【值域】 [?2,0] ; 图,并根据图像和解析式讨论它的性质. 【解】 (1) 【列表】 最小正周期为 2?

【周期性】周期 2k? , (k ? z, k ? 0) , 【最大值与最小值】当 x ? 2k? ? 大值 0;当 x ? 2k? ?

x
y ? sin x y ? sin x ? 1

0
0 ?1

? 2
1 0

?
0 ?1

3? 2 ?1 ?2

2?

?
2

时取得最

0 ?1

3? 时取得最小值 ? 2 ; 2

(2) 【描点】(0,?1) ,(

?
2

,0) ,(? ,?1) ,(

(2? ,?1)
(3) 【画图】

【奇偶性】非奇非偶函数 3? ,?2) , 【单调性】单调递增区间 2 ? ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? z ) ;单调递增区间

2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ] ( k ? z ) ; 2 2

2

【对称轴】 x ? k? ? 【备注】 由函数 y ? sin x 图像向下平移一个单位得
第 19 页 共 48 页

(k ? z ) 2 【对称中心】 (k? ,?1) ( k ? z ) .

?

北师大版必修 4

到函数 y ? sin x ? 1图像. 例 2、求下列函数的定义域 (1) f ( x) ? 1 ? 2 sin x , (2) f ( x) ? lg sin x 【解】 (1) 1 ? 2 sin x ? 0 得 sin x ? 所 以 函 数 的 定 义 域 为 [ 2k? ?

【备注】不要函数周期及 k ? z (k ? z) . (2) 由 sin x ? 0 得:x ? (2k? ,2k? ? ? ) (k ? z) . 例 3、求下列函数的单调区间以及值域 (1) y ? sin(? x) 【解】增区间 [2k? ? 减区间 [2k? ? (2) y ?| sin x | 【解】增区间 [ k? , k? ? 减区间 [k?

7? ? ,2k? ? ] 6 6

1 , 2

?

?

2 2

,2k? ? ,2k? ?

?

3? ]( k ? z ) ; 2 2 ]( k ? z ) .

?
2

]( k ? z )

?
2

, k? ? ? ] ( k ? z )

(3) y ? log 1 sin x .
2

【解】 sin x ? 0 ,增区间 ( 2k? 例 4、比较下列大小

?
2

减区间 (2k? ,2k? ?

?
2

) (k ? z )

,2k? ? ? )

? 21? 3? 18? sin( ) 与 sin 与 sin ; (2) . 4 5 5 7 21? ? ? 21? ? sin , sin ? sin 【解】 (1) sin ; 5 5 4 5
sin (1)

【备注】利用诱导公式、周期将自变量转化到 同一个单调区间上,利用正弦函数的单调性进 行大小比较(同名——同单调区间——化锐) . (2)sin

18? 4? 3? 18? ? sin ) ? sin ,sin( . 7 7 5 7

四、小结 1、正弦函数图像性质; 2、利用函数的图像理解记忆正弦函数的性质 作业: P29 习题 1—5 A 组 4、5 B 组 2. 【课外反思与补充】

1 ) sin x 的单调区间. 2、求函数 y ? log2 (sin x ? ) 定义域. 5 2 sin x ? 2 2 3、求函数的值域: (1) y ? ; (2) y ? sin x ? 4 sin ? 5 . sin x ? 1 ? 1 4、方程 sin x ? k 在 x ? [ , ? ] 上有两个不等的实数根,求 k 的范围. ? k ? 1 6 2 sin(? ? x) 3 5 ? 5、判断函数的奇偶性: (1) y ? ; (2) y ? sin(? ? x) ? x ? cos ( ? x) . x 2 2 6、已知 f ( x) ? ? sin x ? 2a sin x ? 1 ? a 最大值为 h(a) ,求 h(a) . 2 【解】 a ? 1 , h(a) ? ?3a ; 1 ? a ? 1 , h(a) ? a ? a ? 1 ; a ? 1 , h(a) ? a .
1、求 f ( x ) ? (sin 7、求函数的定义域: (1) f ( x) ? lg(4 ? 3 sin x) , (2) f ( x) ? sin 3x .
2

?

第 20 页 共 48 页

北师大版必修 4

余弦函数图像与性质
【教学目标】在理掌握正弦曲线的基础上,利用正弦函数图像性质进一步探讨余弦函数的定义域、 值域、单调性、周期性、奇偶性等性质. 【教学重点】余弦函数的图像与性质理解. 【教学难点】余弦函数性质运用. 【教学过程】 一、复习 1、正弦函数的图像与性质; 二、余弦曲线 【备注】余弦函数图像可以由正弦函数图像向左 平移 2、诱导公式 sin(

?
2

? x) ? cos x ; (3)正弦线

? 个单位得到. 2

三、余弦函数图像与性质 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 周期性

y ? sin x

y ? cos x

R [ ?1,1]
奇函数 周期为 2k? (k ? z, k ? 0) , 最小正周期为 2? . 增区间 [2k? ?

R [ ?1,1]
偶函数 周期为 2k? (k ? z, k ? 0) , 最小正周期为 2? . 增区间 [2k? ? ? ,2k? ] 递减区间 [2k? ,2k? ? ? ] ( k ? z ) .

单调性

] 2 ? 3? ]( k ? z ) 减区间 [2k? ? ,2k? ? 2 2 2 2 3? 当 x ? 2k? ? 时取得最小值 ? 1 . 2
当 x ? 2k? ?

?

,2k? ?

?

?

最大值与 最小值

时取得最大值 1;

当 x ? 2k? 时取得最大值; 当 x ? 2k? ? ? 时取得最小值( k ? z )

对称中心 对称轴

(k? ,0) ( k ? z )
x ? k? ?

(k? ?

?
2

,0)

(k ? z )

?
2

(k ? z)
第 21 页 共 48 页

x ? k? ( k ? z )

北师大版必修 4

四、例题选讲 例 1、画出函数 y ? cos x ? 1 的简图,并根据图像讨论性质. 【解】列表——描点——画图

x
y ? cos x

0
1

? 2
0

?
?1

3? 2 0

2?
1

0 y ? cos x ? 1 0 ? 1 ? 2 ? 1 定义域 R ;值域 [?2,0] ;偶函数;T ? 2? ;增区间 [(2k ? 1)? ,2k? ] ,递减区间 [2k? , (2k ? 1)? ] (k ? z) , 当 x ? 2k? 时, 最大值为 0, 当 x ? (2k ? 1)? 时最小值为 ? 2 , 对称轴 x ? k? ( k ? z ) ,

,?1) ( k ? z ) . 2 例 2、已知 sin x ? cos x ,利用函数图像求 x 的范围. ? 3 【解】 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ( k ? z ) . 4 4
例 3、求下列函数值域:

对称中心 ( k? ?

?

【备注】 若 sin x ? cos x , 求x的 范围.

cos x ? 5 . cos x ? 3 【解】 (1) 设 t ? cos x ? [?1,1] , 则 y ? t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 2) 2 ? 1 由单调性得 y ? [0,8] . cos x ? 5 8 ? 1? ? [?3,?1] . (2) y ? cos x ? 3 cos x ? 3 ? 5 ? 3y ? 5 ? 3y ( y ? 1) ?| |? 1 . 【另解】 cos x ? y ?1 y ?1
2 (1) y ? cos x ? 4 cos x ? 3 ; (2) y ?

【备注】 (1)换元法的运用; (2)分式中常数分离手段.

| 3 y ? 5 |?| y ? 1 |

?| 3 y ? 5 | 2 ?| y ? 1 |2 ? (4 y ? 4)(2 y ? 6) ? 0 ? ?3 ? y ? ?1 .
cos x ? 3 的值域. 2 cos x ? 3

五、小结 作业: P33

1、正弦函数与余弦函数图像与性质;2、注意正弦余弦函数的有界性. 习题 A 组 2 (2) 4 、5 B组 2 补充:求函数 y ?

【课外反思与补充】 1、判断下列函数的奇偶性:

sin 2 x ? sin x ? cos x 1 ? cos x (1) y ? ; (2) y ? ; (3) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) ; 2 sin x cos x ? sin x ? cos x (4) f ( x) ? cos(sin x) . 【解】 (1)奇函数; (2)非奇非偶函数; (3)奇函数. 5? 7? ? 2、比较大小: (1) cos 4 , cos , , sin ; (2) sin(cos? ) , cos(sin? ) (0 ? ? ? ) . 4 6 2
3、求函数 f ( x) ?

? 2 cos2 x ? 3 cos x ? 1 ? lg(36 ? x 2 ) 定义域. 5 ? ? 5 【解】 (?6,? ? ) ? [? , ] ? [ ? ,6) . 3 3 3 3 1 1 2 2 4、已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0, ] ,求下列函数定义域: (1) f (sin x) ; (2) f (cos x ? ) . 4 2 ? ? 5? 3? ? ? ,2k? ? ] ? [2k? ? ,2k? ? ] 【解】 [ k? ? , k? ? ] [2k? ? 6 6 6 4 4 6
第 22 页 共 48 页

北师大版必修 4

正切函数图像与性质(1)
【教学目标】理解正切函数的定义,明确正切与正弦、余弦的关系,理解正切函数诱导公式. 【教学重点】正切函数的定义,正切函数诱导公式. 【教学难点】正切函数的定义、正切函数的诱导公式. 【教学过程】 一、复习 1、正弦函数、余弦函数的诱导公式; 2、正弦函数、余弦函数线. 二、正切函数 1、定义:在直角坐标系中,如果角 ? 满足:? ? R ,? ?

?
2

? k?

( k ? z )那么角 ? 的终边与单位圆角点 P (a, b) ,唯一确定比值

b b .根据函数的定义,比值 是角 ? 的函数,我们把它叫作角 ? 的 a a
正切函数,记作: y ? tan x ,其中 ? ? R ,? ?

?

2

? k? ( k ? z ) .

2、正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3、 tan x ?

sin x ? ( ? ? ? k? , k ? z ) . cos x 2

4、正切函数值的符号:第一、第三象限角——正数; 第二、第四象限角——负数. 【备注】余切函数 y ? cot ? 5、正切函数线 在直角坐标系中,设单位圆与 x 轴的正半轴的交点为 A(1,0) ,任意 角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过点 A(1,0) 作 x 轴的垂线,与角的 终边或终边的延长线相交于点 T ,当角 ? 位于第一、第三象限时, 点 T 位于 x 轴上方,当角 ? 位于第二、第四象限时,点 T 位于 x 轴 下方, ?AOT ? ?MOP .线段 AT 叫作正切线. 角 45 与 225 的正切线相同,则有 tan45 ? tan225 .
0 0 0 0

倒数关系: tan ? ?

1 cot ?

例 1、若 tan ? ? 【解】 tan ? ?

2 ,求 sin ? , cos? . 3

2 ? 0 ,所以 ? 为第一或第三象限角,当 ? 为第一 3 3 13 2 13 象限角时,取点 P(3,2) ,得 sin ? ? , cos? ? . 13 13
例 2、已知角 ? 为锐角,证明: (1) sin ? ? cos ? ? 1 ; (2) sin ? ? ? ? tan ? 【证明】 (1) Rt ?MOP 中, OM ? MP ? OP 由三角函数线知识得: sin ? ? cos ? ? 1 (2) sin ? ? MP , ? ?弧长 AP ,弧长 AP ? PA ? PM , 所以 sin ? ? ? ;
第 23 页 共 48 页

当 ? 为第三象限角时,取点 P(?2,?3) ,得:

sin ? ? ?

2 13 , 13 3 13 cos? ? ? . 13

北师大版必修 4

1 1 ? OM ? AT ? ? ? ? OM 2 2 则 AT ? ? ,而 tan ? ? AT ,所以 ? ? tan ? .
因为 S ?AOT ? 扇形 S OAP ,所以 三、正切函数的诱导公式

tan(2? ? ? ) ?

sin(2? ? ? ) sin ? ? ? tan ? ; cos(2? ? ? ) cos ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? tan ? ; tan( ? ??) ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(2? ? ? ) ? sin ? ? ? ? tan ? ; tan(2? ? ? ) ? cos ? cos(2? ? ? )

【备注】视 ? 为锐角,角

k? ? ? ( k ? z )对应的诱 2

导公式记忆:奇变偶不变,符 号看象限. tan(?? ) ? ? tan? ,

sin( ? ? ) cos ? ? 2 ? ? cot ? . tan( ? ? ) ? ? sin ? 2 cos( ? ? ) 2 0 tan315 ? tan5700 例 1、求值 的值. tan(?600 ) ? tan6750

?

tan( ? ? ? ) ? ? tan? ,
tan(

?
2

? ? ) ? ? cot ? .

tan( 3600 ? 450 ) ? tan( 3600 ? 2100 ) ? tan 450 ? tan 2100 ? 【解】原式 ? ? tan600 ? tan3150 ? tan600 ? tan( 3600 ? 3150 )
3 ? tan450 ? tan( 1800 ? 300 ) ? tan450 ? tan300 ? ? . 0 0 0 0 0 3 ? tan60 ? tan( 360 ? 45 ) ? tan60 ? tan45 【备注】三角函数中利用诱导公式化简:任意角的三角函数→0 到 2? 的角的三角函数→锐角的三角

?

函数(脱周→去负→化锐) 例 2、化简:

? tan( ? ? ? ) tan( ? ? ) sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) 2 (1) ; (2) ? 3 3? cos(2? ? ? ) cos( ? ? ) tan( ? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan( 3? ? ? ) tan(? ??) 2 2 2 sin ? ? cos ? ? tan ? ? cot ? cos ? ? tan ? . 【解】原式 ? 【解】 (1)原式 ? ? . cos ? ? sin ? ? cot ? ? tan ? ? tan ? ? cot ? sin ? sin x ? 四、小结: 1、正切函数定义: tan x ? ( ? ? ? k? , k ? z ) ,注意定义域;2、正切函数 cos x 2 k? ? ? ( k ? z )对应的 线,正弦函数线,余弦函数线;3、正切函数的诱导公式视 ? 为锐角,角 2 ? 诱导公式记忆:奇变偶不变,符号看象限;4、结论:当 ? ? (0, ) 时,有: (1) sin ? ? ? ? tan ? ; 2 (2) 1 ? sin ? ? cos? ? 2 . 作业: P39 习题 1 ? 7 A 组 1、3 、7 、8、10
【课外反思与补充】 1、已知 f ( x) ? a sin(? ? x ? ? ) ? b cos(? ? x ? ? ) (其中 a,b,?,? 均为常数) ,若

f (2009) ? 2010 , f (2010 )? . ) ? a sin(2009 ? ? ? ) ? b cos(2009 ? ? ? ) ? ?a sin ? ? b cos ? ? 2010, 【解】 f (2009
第 24 页 共 48 页

北师大版必修 4

f (2010 ) ? a sin(2010 ? ? ? ) ? b cos(2010 ? ? ? ) ? a sin ? ? b cos ? ? ?2010.
2、在 ? , ? ? 450 的终边上各有一个点 (3 , t ) , ( 2t , 4) ,则 t 的值为( C ) A. ? 6 或 1 B. 6 或 1 C. 1 D. ? 3 或 ? 2 【解】 tan ? ?

t 4 2 1 ? tan ? 0 ? ? , tan( ? ? 45 ) ? 解得: t ? ?6 或 t ? 1 3 2t t 1 ? tan ? 3、已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( ) A.若 ? 、 ? 是第一象限角,则 cos? ? cos ? B.若 ? 、 ? 是第二象限角,则 tan? ? tan ? C.若 ? 、 ? 是第三象限角,则 cos? ? cos ? D.若 ? 、 ? 是第四象限角,则 tan? ? tan ?
【解】利用三角函数线或利用特殊值法可 4、若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? A. (0,

?
2

) ,则 ? ? ( C )
C. (

? ? , ) 3 2 6 ? ? ? 【解】 因为 0 ? ? ? ,所以 sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ,所以 ? ? ( , ) . 2 4 3
)
B. ( D. (

?

? ? , ) 6 4

? ? , ) 4 3

(0, ? ?) 5 、 已 知 函 数 f ( x) 为 定 义 在 上 的 偶 函 数 , 且 在 上 是 增 函 数 , 令 a ? f (sin

5? 5? 2? ) , c ? f (tan ) , d ? f ( ) 则 a, b, c 的大小关系是 . 7 7 7 5? 2? 5? 2? 2? 2? ) ? f (cos ) , c ? f (tan ) ,因为 sin ? ? tan 【解】 b ? f (cos ,由三角函数 7 7 7 7 7 7 线得 b ? a ? d ? c . b ? f (cos
6、已知 ? ? (0 , 2? ) 且 sin ? ? cos ? ? cot ? ? tan ? ,则有 ? ?( A. ( 0 , )

2? ), 7

?
4

)

B .(

? ?

, ) 4 2

C. (

? 5?
4 , 4

)

D. (

5? 3? , ) 4 2

【解】利用三角函数线或利用特殊值法可得. 7、比较大小: (1) cos 1 , sin 1 , tan 1 ; (2) tan1, tan2, tan3 .

第 25 页 共 48 页

北师大版必修 4

正切函数图像与性质(2)
【教学目标】理解正切函数的定义,明确正切与正弦、余弦的关系,能利用五点描图法描 y ? tan x 的图像,理解正切函数的图像与性质. 【教学重点】正切函数的图像与性质. 【教学难点】正切函数的图像与性质. 【教学过程】 一、复习 1、正弦函数、余弦函数的诱导公式; 2、正弦函数、余弦函数线. 二、正切函数图像性质 定义域 当x ?

{ x | x ? R, x ?

?
2

? k? , k ? z}

?
2

值域 周期性 奇偶性 单调性 对称中心 对称轴

? k? 时, y ? ?? ;当 x ? ?
时, y ? ?? ; y ? R 周期 k? ;最小正周期 ? 奇函数

?
2

? k?

增区间 (?

?
2

? k? ,
(

?
2

? k? ) (k ? z ) ,无减区间

k? ,0) (k ? z ) 2
无对称轴

【备注】 1、正切函数的定义域中 x ?

?
2

? k? , k ? z ;2、奇函数, tan(? x) ? ? tan x ; k? ,0) (k ? z ) ,不是 (k? ,0) (k ? z ) . 2
【备注】 1、注意限制定义域的条件, 利用好函数的图像处理; 2、不要函数周期.

3、正切函数的周期是 k? ,不是 2k? ;4、对称中心为 ( 三、例题选讲 例 1、求下列函数的定义域

? x)) tan x ? 1 ; (2) y ? log2 (tan( ? ? 【解】 (1) tan x ? ?1 得: x ? [ ? ? k? , ? k? ) (k ? z ) ; 4 2 ? (2) ? tan x ? 0 ? tan x ? 0 得: x ? (? ? k? , k? ) (k ? z ) . 2
(1) y ?

4? 12? ) 与 tan( ? ). 3 5 0 【解】 (1) tan 400 ? tan( 2 ?1800 ? 400 ) ? tan400 ,
(1) tan30 与 tan 400 ; (2) tan( ?
0 0

例 2、比较下列函数值的大小

因为函数 y ? tan x 在区间 ( ? 所以 tan30 ? tan 400 .
0 0

??
2 2

) 上单调递增, 400 ? 300 ,

【备注】 利用诱导公式和周期 性将自变量转化到同一个单 调区间上, 利用函数的单调性 进行大小比较.

第 26 页 共 48 页

北师大版必修 4

(2) tan( ?

4? ? ? ) ? ? tan( ? ? ) ? ? tan , 3 3 3 12? 2? 2? tan( ? ) ? ? tan( 2? ? ) ? ? tan , 5 5 5 4? 12? tan( ? ) ? tan( ? ). 3 5 tan x ? 2 . tan x ? tan x ? 2
2

例 3、求下列函数的值域 (1) y ? 2 tan x ? 1 ? tan x , (2) y ? 【问题】 1、用什么方法化简函数? 2、求值域的方法有哪些?本 两例可以使用什么方法? 3、判别式法要注意什么?

【解】 (1)利用单调性或利用换元法转化为二次函数处理;

y ? [?2,??)

(2)利用换元法、判别式法进行处理,设 t ? tan x ? R 则有 y ?

t?2 ? yt 2 ? (2 y ? 1)t ? 2 y ? 2 ? 0 t ?t ?2 当 y ? 0 时, t ? ?2 成立;
2

当 y ? 0 时, ? ? (2 y ? 1) 2 ? 8 y( y ? 1) ? 0 ,

1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 , 所以函数的值域为 [ ?y? , ]. 2 2 2 2 例 4、已知函数 f ( x) ? sin 3 x ? 5 tan x ? 3 , x ? [?1,1] . 【问题】 (1)若 f (?a) ? 2 ,求 f ( a ) ; 函 数 g ( x) ? sin 3 x ? 5 tan x (2)若函数 f ( x) max ? M , f ( x) min ? m ,求 M ? m 的值.
得 【解】 (1) f (?a) ? 2 ? sin a ? 5 tan a ? 1,
3

奇偶性是什么?

f (a) ? sin 3 a ? 5 tana ? 3 ? 4 ; (2) M ? m ? 6 .
四、小结 1、正切函数的图像与性质;2、三角函数定义域、值域求解的基本方法;3、换元法在三角函数中 的运用. 作业: P39 习题 1 ? 7 B 组 2、3 (3) 15 P67 复习题一 7 (1) 【课外反思与补充】 1、函数 f ? x ? ? lg(tan x ? 1 ? tan x ) 是(
2



A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

1 ? ? tan2 x ? tan x ? 1 (? ? x ? ) ; (2) y ? . tan x 4 4 tan2 x ? tan x ? 1 1 【解】 (1) (??,?1[?[1,??) ; (2) y ? [ ,3] . 3 ? 2? ? , k? ? ) 3、解不等式 tan( x ? ) ? ? 3 . 【解】 [k? ? 3 3 6 4、函数 y ? tan x 与直线 y ? m 图像相邻两交点间距离为 .
2、求函数值域: (1) y ?

第 27 页 共 48 页

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(1)
【教学目标】 了解 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义, 会画 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像, 体会参数 A , ?,

? 对图像的影响,理解 A ,? ,? 的物理意义,理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的
图像关系. 【教学重点】了解 A , ? 的物理意义,画函数 y ? A sin x , y ? sin(x ? ? ) 的图像. 【教学难点】理解函数图像的变换. 【教学过程】 一、复习 1、三角函数的图像与性质:定义域、值域、周期性、单调性、对称性; 2、三角函数图像的画法; 3、在简谐振动中位移与时间的函数关系: y ? A sin(?x ? ? ) . 二、函数 y ? A sin x ( A ? 0) 与函数 y ? sin x 图像关系 例 1、作函数 y ? 2 sin x 与 y ?

与函数 y ? sin x 的关系. 【解】 (1)列表(注意五个特殊点)

1 sin x 的简图,并说明它们 (2)画图 2 3? 2 ?2 1 ? 2 ?1

x
y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y ? sin x

0 0 0 0

? 2
2 1 2 1

?
0 0 0

2?

0 0 0

【备注】周期不变、定义域不变,函数的值域改变; 【小结】 1、 【振幅】在函数 y ? A sin x ( A ? 0) 中, A 决定了函数的值 域以及最大值与最小值, A 称为振幅(物理意义下) . 2、 【函数的伸缩变换(纵坐标) 】 将函数 y ? sin x 的图像上每一个点的纵坐标伸长为原来 的 A ,横坐标不变,得函数 y ? A sin x ( A ? 1) ; 将函数 y ? sin x 的图像上每一个点的纵坐标缩短为原来的

A ,横坐标不变,得函数 y ? A sin x (0 ? A ? 1) . 【备注】 y ? f ( x) 与 y ? Af ( x) 图像关系.
三、函数 y ? sin(x ? ? ) 与函数 y ? sin x 图像关系 例 2、 画出函数 y ? sin( x ?

?

4 并说明它们与函数 y ? sin x 的关系.
【解】 (1)列表(注意五个特殊点)

) 与函数 y ? sin( x ?

?
6

) 的图像,

x?

?

4

0

? 2

?

3? 2

2?
【备注】 1、注意最最终描点 ( x, y ) ,而不是

第 28 页 共 48 页

北师大版必修 4

x
y ? sin( x ?

?

?
4

?
4

? 4
1

3? 4
0

5? 4
?1

7? 4
0

描点 ( x ? ? , y) ;体会换元思想 2、三角函数图像画图方法:五点描 图法的理解; 注意换元思想的渗透; 3、周期不变、值域不变,定义域发 生变化(在具体给定某指定区间情 况下) ; 4、 【初相】—— ? ; 【相位】—— x ? ? . 5、 【思考】 函数的单调区间是什么?

)

0

x?

?
6

0

x
y ? sin( x ?

?
6

? 6
)
0

? 2 2?
3
1

?
7? 6
0

3? 2 5? 3
?1

2?

13? 6
0

【小结】 将 函 数 y ? sin x 的 图 像 向 右 平 移 | ? | 个 单 位 , 得 函 数

y ? sin(x ? ? ) (? ? 0) ; 将 函 数 y ? sin x 的 图 像 向 左 平 移 ? 个 单 位 , 得 函 数 y ? sin(x ? ? ) (? ? 0) . 【备注】函数图像的平移变换:函数 y ? f ( x) 图像与函数 y ? f ( x ? h) 图像的关系.
四、小结 1、伸缩变换:函数 y ? A sin x ( A ? 0) 与函数 y ? sin x 图像关系; 2、平移变换:函数 y ? sin(x ? ? ) 与函数 y ? sin x 图像关系; 3、注意五点描图法的基本步骤. 作业:画出函数 y ?

1 ? ? sin x , y ? 4 sin x , y ? sin( x ? ) , y ? sin( x ? ) 的图像. (注意基本步 3 4 6

骤,利用直规作图) (1)说明它们与函数 y ? sin x 的关系. (2)指出它们的周期和单调区间. 【课外反思与补充】

第 29 页 共 48 页

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(2)
【教学目标】 了解 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义, 会画 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像, 体会参数 A , ?,

? 对图像的影响,理解 A ,? ,? 的物理意义,理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的
图像关系. 【教学重点】了解 ? 的物理意义,画函数 y ? sin ?x 的图像. 【教学难点】对于函数图像伸缩变换的理解. 【教学过程】 一、复习 1、函数 y ? A sin x ( A ? 0) 与函数 y ? sin x 图像关系; 2、函数 y ? sin(x ? ? ) 与函数 y ? sin x 图像关系. 二、函数 y ? sin ?x (? ? 0) 与函数 y ? sin x 图像关系 例 1、作函数 y ? sin 2 x 与 y ? sin 与函数 y ? sin x 的关系. 【解】 (1)列表(注意五个特殊点) (2)画图 1 x 的简图,并说明它们 2

2x

0 0 0 0 0

x
y ? sin 2 x
x 2

? 2 ? 4
1

?
? 2
0

3? 2 3? 4 ?1

2?

?
0
2? 4?

【备注】 1、注意最最终描点 ( x, y ) ,而不是 描点 (?x, y ) ; 2、三角函数图像画图方法:五点描 图法的理解; 注意换元思想的渗透; 3、值域不变,周期变化,定义域变 化;

x
x 2

? 2 ?
1

?
2?

3? 2 3?
?1

4、 【思考】周期为多少?单调区间 是什么? 1、关于周期性: f1 ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin(2 x ? 2? ) ? sin 2 x ? f1 ( x) ,所以 T ? ? ;

y ? sin

0

0

0

1 1 1 f 2 ( x ? 4? ) ? sin ( x ? 4? ) ? sin( x ? 2? ) ? sin x ? f 2 ( x) ,所以 T ? 4? . 2 2 2 2? 2、 ? 与函数的周期有什么关系? T ?
3、通过图像观察,函数的单调区间与 ? 有什么关系?其中包含了什么知识?

?

3? ? 3? ? 2k? ? ? k? ? x ? ? k? ; 2 2 4 4 1 ? 1 3? y ? sin x 的减区间: ? 2k? ? x ? ? 2k? ? ? ? 4k? ? x ? 3? ? 4k? . 2 2 2 2

y ? sin 2 x 的减区间:

?

? 2k? ? 2 x ?

5、利用复合函数知识求函数的单调区间,它们的增区间是什么? 6、 【频率】在函数 y ? sin ?x (? ? 0) 中,? 决定了函数的周 【备注】函数 y ? A sin(?x ? ? ) 2? 1 ? ? 期T ? ,通常称周期的倒数 f ? 为频率. ( A ? 0, ? ? 0) 中 A , ? , ? 的物

?

T

2?

第 30 页 共 48 页

北师大版必修 4

7、 【伸缩变换(横坐标) 】 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点的横坐标伸出为原来的

理意义:振幅—— A ,频率——

1

?
1

(纵坐标不变) ,得函数 y ? sin ?x (0 ? ? ? 1) ; 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点的横坐标伸出为原来的 (纵坐标不变) ,得函数 y ? sin ?x (? ? 1) .

相位—— ?x ? ? ;初相—— ? . (1)必须是正弦; (2) A ? 0, ? ? 0 .

1 T

【备注】 (1)函数图像的伸缩变换变换:函数 y ? f ( x) 图像与 函数 y ? f (?x) 图像的关系; (2)比较分析函数在纵坐标上的伸缩变换. 四、小结 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 中 A , ? , ? 的物理意义:振幅—— A ,频率—— 相位—— ?x ? ? ;初相—— ? . 2、函数 y ? sin ?x 的周期以及其单调性. 3、思想方法:利用整体代换. 作业: : P54 习题 1—8 2 (1) (2) . (1)说明它们与函数 y ? sin x 的关系; (2)求出它们的周期、值域、单调区间. 【课外反思与补充】 1、设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小 值是

?

1 T

T?

2?

?



? ,则 f ( x) 的最小正周期是( B ) 4
B.π C.

A.2π

? 2

D.

2、设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 像重合,则 ? 的最小值等于( C ) (A)

? 个单位长度后,所得的图像与原图 3

? 4

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

【解析】选 C. 由题

?
3

?

2?

?

? k (k ? Z ) ,解得 ? ? 6k ,令 k ? 1 ,即得 ?min ? 6 .

第 31 页 共 48 页

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(3)
【教学目标】 了解 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义, 会画 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像, 体会参数 A , ?,

? 对图像的影响,理解 A ,? ,? 的物理意义,理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的
图像关系. 【教学重点】画函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像. 【教学难点】理解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像变换. 【教学过程】 一、复习 1、函数 y ? A sin x ( A ? 0) , y ? sin(x ? ? ) , y ? sin ?x 与函数 y ? sin x 图像关系; 2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中 A , ? , ? 的物理意义; 3、周期的求解,单调区间的区间. 二、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 与函数 y ? sin x 图像关系 例 1、画出函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 的简图,并说明它们与函数

y ? sin x 的关系.
2x ?

【解】 (1)列表(注意五个特殊点)

? 6
?

0

x
y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

? 12
0

? 2 ? 6
3

?
5? 12
0

3? 2 2? 3
?3

2?

11? 12
0

) ?1

(1) y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin( 2 x ? (2) y ? sin x ? y ? sin( x ?

?
6

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

?
6

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ?1 .

【备注】 1 、第一种变换(先伸缩后平移)中,函数 y ? sin 2 x 图像向左平移

y ? sin 2( x ?

? . 12 6 6 ? ? 2、 第二种变换 (先平移后伸缩) 中, 由函数 y ? sin x 图像向左平移 易错成函数图像向左平移 . 12 6
) ? sin( 2 x ? ) 图像,易错成函数图像向左平移

?

?

? 个单位得函数 12

第 32 页 共 48 页

北师大版必修 4

3、 【图像变换基本步骤(第一种) 】 第一步:指出函数 y ? sin x 图像; 第二步:由函数 y ? sin x 图像(横坐标)伸缩变换到函数 y ? sin ?x 图像;

? ? | 个单位, 得到 y ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? ? ) ; ? ? 第四步:由函数 y ? sin(?x ? ? ) 图像(纵坐标)伸缩变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像; 第五步:由函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像向上(或下)平移 | b | 个单位得 y ? A sin(?x ? ? ) ? b .
第三步: 由函数 y ? sin ?x 图像向左 (或右) 平移 | 4、 【图像变换基本步骤(第二种) 第一步:指出函数 y ? sin x 图像; 第二步:由函数 y ? sin x 图像向左(或右)平移 | ? | 个单位得函数 y ? sin(x ? ? ) 图像; 第三步:由函数 y ? sin(x ? ? ) 图像(横坐标)伸缩变换到函数 y ? sin(?x ? ? ) 图像; 第四步:由函数 y ? sin(?x ? ? ) 图像(纵坐标)伸缩变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像; 第五步:由函数 y ? A sin(?x ? ? ) 图像向上(或下)平移 | b | 个单位得 y ? A sin(?x ? ? ) ? b . 5、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 中: (1) ? 决定函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的周期; (2) ? 决定函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的初相(初相 ? ,相位 ?x ? ? ) ; (3) A, b 决定函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的值域与最值. [? A ? b, A ? b] . 四、小结 1、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 中 A ,? ,? 的物理意义: 振幅—— A , 频率—— 相位—— ?x ? ? ;初相—— ? . T ?

2?

1 T

2、 、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 的图像变换;函数 y ? sin ?x 的周期以及其单调性. 作业: P54 习题 1—8 2 (3) (4) 3 (3) (4) 4.

?

【课外反思与补充】

第 33 页 共 48 页

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(4)
【教学目标】在了解 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义以及 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换基础上,体会 参数 A , ? , ? 对图像的影响,理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像关系. 【教学重点】了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像. 【教学难点】求函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像. 【教学过程】 一、复习 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 的图像变换. 2、利用五点描图法画三角函数的图像. 3、正弦余弦函数的图像与性质. 二、关于 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 在局部区间上的图像画法 例、 (1)利用五点描图法描出函数 y ? cos( 2 x ?

? 4? ) ? 2, x ? [ , ] 的图像. 3 3 3 ? ? 7? (2)求函数 y ? cos( 2 x ? ) ? 2 与直线 x ? , x ? 以及 x 轴围成的封闭图像面积. 3 6 6
2x ?

?

【解】

? 3

x
y ? cos( 2 x ?
【基本步骤】 第一步:由 x ?

?
3

)?2

? 3 ? 3 5 2

? 2 5? 12
2

?
2? 3
1

3? 2 11? 12
2

2?

7? 6
3

7? 3 4? 3 5 2

?
3

,x ?

y ? cos( 2 x ?
第二步:找到介于 第三步:由 2 x ?

?
3

4? ? 求出 2 x ? 对应的值以及 3 3

) ? 2 的值;

? 对应的特殊点求出对应 x 的值以及 3 ? y ? cos( 2 x ? ) ? 2 的值; 3 第四步:利用五点描图法描出 ( x, y ) 对应的点;
第五步:画出函数图像. 封闭图形面积 S ? 2 ?

? 7? ? 和 之间 2 x ? 对应的特殊点; 3 3 3

? 1 ? ? ? 2? . 2 三、求 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的解析式 1、利用最值点求 A ; 2、利用零点,最值点求 ? ,3、注意分析 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 与原函数 y ? sin x 相对应的点.
第 34 页 共 48 页

?

北师大版必修 4

例 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, | ? |? 【解】

?
2

) 的部分图象如图所示,求函数表达式.

T 2? ? ? 6 ? 2 ? T ? 16 , ? 16 ? ? ? , 2 ? 8 ? 3? ? ? ? 2 k? 由 4 sin( ? 6 ? ? ) ? 0 得: 8 4 3? k ?Z , ? ? ? 2k? ? 4 ? 3? ? ? ) y ? ?4 sin( x ? ) . 所以 y ? 4 sin( x ? 8 4 8 4

例 2、将函数 y ? A cos?x, (? ? (0,1)) 的图象向左平移 图象所对应函数的解析式.

? 个单位后的图象如左图所示,求平移后的 6 ? ? 个单位后得 y ? cos ? ( x ? ) 的图 6 6

【解】易知 A ? 1 ,将函数 y ? cos?x(? ? 0) 的图象向左平移 象.因为点 (

7 ? ,?1) 与原函数 y ? cos x 中的点 (? ? 2k? ,?1) 对于, 12 7 ? 4 8 所以 ? ( ? ) ? ? ? 2k? ,则 ? ? ? k ( k ? z ) ,取 k ? 0 , 12 6 3 3 4 4 ? 得 ? ? ,所以平移后的图象所对应函数的解析式为 y ? cos ( x ? ) . 3 3 6
四、小结 1、关于 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 在局部区间上的图像画法:注意列表的顺序; 2、求 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的解析式时,注意分析 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 与原函数 y ? sin x 相对 应的点,这是这类题的易错点. 作业: P55 习题 1—8 B 组 1、2、 5 【补充练习】已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)在给出的 ).

直角坐标系中,画出函数 y ? f ( x) 在区间 [ ? (3)根据图像求函数 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

? ?
0

, ] 上的图象; 2 2

2x ?

? 4

? ?

5? 4

??
? 3? 8
1

? ?

? ?
2

, ] 的单调区间及最值. 2 2

x
y

?

2

8

? 8
1

1? 2

? 2 3? 8 1? 2

?
5? 8
1

3? 4

? 2

第 35 页 共 48 页

北师大版必修 4

【课外反思与补充】 1、已知函数 f ( x) ? A tan( ?x ? ? ) ( ? ? 0, | ? |? 如图,则 f (

?
2

) , y ? f ( x) 的部分图像

?
24

)?( C )
B. 3 C.

A.2+ 3

3 3

D. 2 ? 3

2、已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? A.

?
2

) 的部分图象如图所示,则( D )

? ? ??? B. ? =1 6 6 ? ? C. ? =2 ? = D. ? =2 ? ? ? 6 6 3、已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( D ) ...

? =1 ? =

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

4、已知函数 f ( x) ? cos(?x ? ? ) 的图象如图所示, f ( ) ? ? (A) ?

2 1 (C) ? 3 2 5、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0,? ? ? ? < ? )的图像如图所示, 9? 则 ? =______ 10
(B)
w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

2 3

2 ,则 f (0) ? ( C ) 2 3 1 (D) 2

?

6、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 相邻两个交点之间的距离为

?

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2 ? 【解】 (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ; (2) [?1,2] . 6 ? 7、已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? 时取得最大值 4. 12 2 ? 12 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)若 f ( ? ? ) ? ,求 sin ? . 3 12 5 ? 8、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? )最小值为 ? 2 ,图像相邻 2 最高点与最低点横坐标差为 3? ,图像经过点 (0,1) ,求 f ( x) .

2

)的图象与 x 轴的交点中,

第 36 页 共 48 页

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(5)
【教学目标】在理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像关系基础上, 进一步利用换元方法求函数

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的周期、最值、单调区间、对称性等. 【教学重点】求 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的周期、最值、单调区间、对称性等. .
【教学难点】三角中复合函数的理解. 【教学过程】 一、复习 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 的图像变换. 2、正弦余弦函数的图像与性质. 二、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b y ? A cos(?x ? ? ) ? b 【解题步骤】 的图像与性质 例 1、求下列函数的最小正周期、最值以及相应的 x 、 第一步:换元 t ? ?x ? ? ; 单调区间、对称轴、对称中心: 第 二 步 : 转 换 成 y ? A sin t ? b 1 ? 1 ? (1)y ? cos( 3x ? ) ; (2)y ? 2 sin( x ? ) ? 1 ; y ? A cost ? b 形式;



2

4

(3) y ? 2 tan( 2 x ? 【解】 (1)① T ?

?
6
?

2

3

)
2? ? ,设 t ? 3 x ? , 3 4

2?

第三步:利用正弦函数 y ? sin t 或余 弦函数 y ? cos t 的图像与性质求解; 第四步: 将所得转换为 x 的形式得出结论. 【备注】不要忽视了周期 【解】 (2)① 最小正周期 T ? 4? ; ② 当 x ? 4k? ?

?

1 得 y ? cos t 2
② 当 t ? 3x ?

?

1 ? ;当 t ? 3 x ? ? ? ? 2k? 2 4 2 ? 1 (k ? z ) 时,取得最大值 ? ; 即 x ? k? ? 3 4 2 1 ③ 因为 y ? cos t 的减区间 [2k? ,2k? ? ? ] 2 所以有 2k? ? t ? 2k? ? ?
时,取得最大值 即 2k? ? 3 x ? 解得:

4

? 2k? 即 x ?

2 ? k? ? (k ? z ) 3 12

x ? 4 k? ?

?
3

5? 时取最大值 3;当 3

时取最大值 ? 3 ;

?

2 ? 2 3? k? ? ? x ? k? ? , 3 12 3 12 5? ④ 函数的对称轴为 x ? 2k? ? 2 ? 2 3? 3 , k? ? ) ; 所以函数的减区间为 ( k? ? 3 12 3 12 2? ,1) , 对称中心为 (2k? ? 注意不要写成 1 3 因为 y ? cos t 的增区间 [2k? ? ? ,2k? ] ( k ? z ) 2 2? ( 2k? ? ,0 ) ( k ? z ) . 所以有 2k? ? ? ? t ? 2k? 3
第 37 页 共 48 页

4

? 2k? ? ?

5? , k? ? ) 减区 3 3 3 5? 2 11? , k? ? ) 间为 (4k? ? 3 3 3 (k ? z) ;
③增区间为 (4k? ?

? 2

北师大版必修 4

即 2k? ? ? ? 3 x ?

?
4

? 2k?

2 5? 2 ? ? x ? k? ? , 解得: k? ? 3 12 3 12 2 5? 所 以 函 数 的 增 区 间 为 ( k? ? 3 12 (k ? z) ; 1 ④ 因 为 y ? cos t 的 对 称 轴 为 t ? k? 2 (k? ?

(3) T ?

?
2



2 ? , k? ? ) 3 12
,对称中心

增区间 ( k? ?

, k? ? ) ( k ? z ) ; 6 2 3 ? k? 对称中心, 2 x ? ? 6 2 ? k? ,0 ) 则( ? 12 4
【备注】单调区间,对称中心对应的形式 不唯一,若(2)的对称中心也可以写成

1 2

? 1

?

?

2 ? k? ? 1 ? ( ? ? , 0) (k ? z) ;3 x ? ? k? 得:x ? k? ? , (k ? z) , 4 3 4 3 12 1 ? 所以函数的对称轴为 x ? k? ? (k ? z) , 3 12 1 ? ,0 ) ( k ? z ) 对称中心为 ( k? ? . 3 12 5? ? ) ? 1 在区间 ( ?? , ) 例 2、求函数 y ? ?2 sin( 4 x ? 6 2
上的单调区间. 【解】设 t ? 4 x ?

2

,0) , 所以 3 x ?

?

4

? k? ?

?

x? 得:

1 ? k? ? 3 12

5? ,则得 y ? ?2 sin t ? 1, 6

【解题步骤】 第一步:换元 t ? ?x ? ? ; 第 二 步 : 转 换 成 y ? A sin t ? b 或

函数 y ? ?2 sin t 的减区间为 [2k? ? 即 2k? ?

?

5 ? 第三步:利用正弦函数 y ? sin t 的图 ? 4 x ? ? ? 2k? ? , 2 6 2 像与性质函数的单调区间; 1 ? 1 ? 解得: k? ? ? x ? k? ? , 第四步:将所得转换为 x 的形式得出函数 2 3 2 12 在 R 上的单调区间; 1 ? 1 ? 所以函数减区间为 ( k? ? , k? ? ) . 2 3 2 12 ? 第五步:讨论 k 得出函数在区间 ( ?? , ) 5 7? ) ,当 k ?0 时 取 k ? ?1 得 区 间 ( ? ? , ? 2 6 12 上的单调区间. ? ? ? 5? (? ,? ) ,取 k ? 1 得 ( , ) ; 3 12 6 12 5 7? ? ? ) , ( ? ,? ) , 所以函数的减区间为 (? ? ,? 6 12 3 12 ? 5? 5 7? ? ( , ) ,增区间为 (?? ,? ? ) , (? ? ), 6 12 6 12 3 ? ? 5? ? (? , ) , ( , ) 12 6 12 2

?

2

,2k? ?

?
2

]

y ? A cost ? k 形式;

第 38 页 共 48 页

北师大版必修 4

例 3、已知函数 y ? a sin( 2 x ? 的值域为 [?5,1] ,求 a , b 的值. 【解】因为 x ? [0,

?

) ? b 在 x ? [0, ] 上 【解题步骤】 6 2

?

?
2

] ,所以 t ? 2 x ?

?

1 所以 sin( 2 x ? ) ? [ ? ,1] , 6 2 ?a ? b ? 1 ?a ? 4 ? 当 a ? 0 时, ? a 解得: ? , b ? ? 3 ? ? b ? ? 5 ? ? ? 2
三、小结

?

? 7? ?[ , ], 6 6 6 第二步:求出 sin( 2 x ?

第一步:求出 2 x ?

) 的范围; 6 第三步:分情况讨论 a ? 0 与 a ? 0 时,函 数的值域,利用对等关系求 a , b 的值.
当 a ? 0 时, ? a

? 的范围; 6 ?

?a ? b ? ?5 ?a ? ?4 ? 解得: . ? b ? ? 1 ? ? b ? 1 ? ? ? 2

?x ? ? ) ? b 的图像与性质 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b , y ? A cos(?x ? ? ) ? b , y ? A tan(
主要是通过利用换元法,将问题转化为函数 y ? A sin t 或 y ? A cost , y ? A tant ? b 形式后,再 利用正弦余弦函数的图像性质来处理. 2、整体代换是三角函数中的一种常用的手段. 作业:1、求下列函数的最小正周期、最值以及相应的 x 、单调区间、对称轴、对称中心:

P55

习题 1—8 5 (2) (4) (3)求函数在区间 ( ?? ,

?

2

) 的增区间

【课外反思与补充】 1、已知 f ( x) ? sin ? ? x ? 值,则 ? =______. 【解】 f ( x) ? sin(? x ?

? ?

?? ? (? ? 0),f 3?

? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大 ?6? ?3? ?6 3?

?

? ? ? ? ? 6 3 ? ? 对称, ∴区间 ( , ) 为 f ( x ) 的一个周期的子区间,且知 f ( x ) 的图像关于 x ? 6 3 2 4 ? ? 3? 14 , k ? Z ,取 K ? 0 得 ? ? . ∴ ? ? ? ? 2 k? ? 4 3 2 3 ? 4? 4? ) 单调增加,在 ( , 2? ) 单调减少,则 ? ? 2、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0) 在 (0, 6 3 3 4 4 ? 4 ? ? 3 1 【解】由题意 f ( ? ) ? sin( ?? ? ) ? 1 ? ?? ? ? 2k? ? ? ? ? k ? , k ? Z 3 3 6 3 6 2 2 2 1 又 ? ? 0 ,令 k ? 0 得 ? ? . (如 k ? 0 ,则 ? ? 2 , T ? ? 与已知矛盾) . 2 ? 3、函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? a ? 1 . (1)若最大值为 2 ,求实数 a 的值; (2)求函数的单调区间. 6 3? ? ,0) 对称,且在区间 [0, ] 上单调函数, 4、已知函数 f ( x) ? cos?x(? ? 0) ,其图像关于点 M ( 4 2 2 求? . 【解】 或 2 . 3
第 39 页 共 48 页

) (? ? 0), f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值,无最大值, 3 6 3 6 3

?

?

? ?

北师大版必修 4

y ? A sin(?x ? ? ) 的图像(6)
【教学目标】在理解 y ? sin x 与 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像关系基础上, 进一步利用换元方法求函数

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的周期、最值、单调区间、对称性等. 【教学重点】求 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的周期、最值、单调区间、对称性等. .
【教学难点】三角中复合函数的理解. 【教学过程】 一、复习 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 图像与性质. 二、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b y ? A cos(?x ? ? ) ? b 的图像与性质运用 例 1. 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ? A. [?1,

?a?a ? b ? 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的值域为 (A) , 例如, ?b?a ? b ?
C. [?

【解】作出函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的图象. 例 2、函数 y ? lg sin( 【解】 y ? lg sin(

2 ] 2

B. ?? 1,1?

2 ,1] 2

D. [?

2 2 , ] 2 2

?
3

? x) 的增区间是



?
3

? x) ? lg[ ? sin( x ?

?
3

)] ,则只须求出 sin( x ?

?
3

) 的减区间,且 sin( x ?

?
3

)?0

1 2? ? ? 2k? ? ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) . 3 2 3 6 ? ? 例 3 已知函数 y ? tan ?x 在( ? , )内是减函数,则 ( B ) 2 2 A .0 ? ? ?1 B. ? 1 ? ? ? 0 C. ? ? 1 D. ? ? ?1
则 ? ? ? 2k? ? x ? 【解】易知 ? ? 0 , ? 例 4、 已知函数 f ( x ) ?

?

?

2

? ?x ?

?

3 cos

?x
k

2

?

? ? ?x?? . 2? 2?

, 若经过函数图象上的一个最大值点和相邻最小值点的斜率为 3 , C. 3

则函数 f ( x) 的最小正周期为( D ) A.1 B. 2 D.4

?x 3? 3 ? k ? ?2 , f ( x) ? 3 cos . 2 ?k ? ? 例 5、函数 y ? f ( x) 的图象和 y ? sin( x ? ) 的图象关于点 M ( ,0) 对称,则 f ( x) 的表达式是(C) 4 4 ? ? ? ? A. cos( x ? ) B. cos( x ? ) C. ? cos( x ? ) D. ? cos( x ? ) 4 4 4 4 ? ? ? ? ? / / / / 【解】 x ? ? x , y ? ? y 代入得 ? y ? sin( ? x ? ) y ? ? sin( x ? ) ? ? cos( x ? ) . 2 2 4 4 4 ? ? 例 6、已知 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? b 对任意的 x 都有 f ( x ? ) ? f (? x) 成立,且 f ( ) ? ?1 ,则 4 8
【解】最大值点 (0, 3 ) ,最小值点 (k ,? 3) ,则 3 ?
第 40 页 共 48 页

北师大版必修 4

实数 b 的值为 ( B ) A. ? 1 B. ? 3 或 1 【解】函数的一根对称轴为 x ? 【课外反思与补充】 1、 若函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0, A. 3 【解】 [0, B. 2

?

8

,因为 f ( ) ? ?1 ,所以 b 的值为 ? 3 或 1 .

?

C. ? 3

D. ? 1 或 3

8

? ? ? ? ? ? 3 ,函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 3 ? 3 ? ? 3? ? ? 3 [0, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减,则 ? ,即 ? ? ,答案应选 C. 2? 2? 2? 2? 3 2 ? ? 2 k? ? 2 k? ? ? , ? ] 为增函 【另解 1】令 ? x ? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z) 得函数 f ( x ) 在 x ? [ 2 2 ? 2? ? 2? 2k? ? 2k? 3? ? ? ? , ? ] 为减函数,则当 k ? 0, ? 时符合题 数,同理可得函数 f ( x ) 在 x ? [ ? 2? ? 2? 2? 3
] 为某增区间(半周期)的子集,
意,即 ? ?

?

] 上单调递增, 在区间 [ , ] 上单调递减, 则? ? ( 3 3 2 3 2 C. D. 2 3

?

? ?



3 ,答案应选 C. 2

【另解 2】由题意可知当 x ?

?

? ? ? ? cos ? ? 0 ,即 ? ? k? ? (k ? Z) ,结合选择项即可得答案应选 C.
3 3
【另解 3】 由题意可知当 x ?

3

时,函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 取得极大值,则 f ?

?
3

) ? 0 ,即

?

2

3 3 ? ? 6k ? (k ? Z) ,结合选择项即可得答案应选 C. 2 ? 5? 2、已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 和 x ? 是函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 图像的两条相邻的 4 4 对称轴,则 ? ? ? ? ? 3? (A) (B) (C) (D) 4 4 3 2 ? 5? 5? ? T T ? ? ,即 ? ? , T ? 2? . 【解】因为 x ? 和 x ? 是函数图象中相邻的对称轴,所以 4 4 4 2 2 4 2? ? ? 2? ,所以 ? ? 1 ,所以 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,因为 x ? 是函数的对称轴所以 又T ? ? 4 ? ? ? ? 5? ? ? ? ? k? ,所以 ? ? ? k? ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? ,检验知此时 x ? 也 4 2 4 4 4
为对称轴,所以选 A. 3、已知 f ( x ) ? sin(?x ? 值,则 ? =_____.

时, 函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 取得最大值, 则

? ? ? ? 2 k? ? ( k ? Z ) , 3 2

?

? ? ? ? ?? ) (? ? 0) , f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大 3 6 3 ?6 3?
第 41 页 共 48 页

北师大版必修 4

【解】易知函数关于 x ?

?
4

对称,且在 x ?

?
4

处取得最小值,且区间长度小于半个周期,所以

? ? ? ? 24k ? 10 ? ? ? ? 2k? ? ? ? 14 ? 4 3 ?? ? 2 ,当 k ? 1 时得 ? ? . ?? 3 ? 3 ?? ? ? ? 2? ? ?? ? 12 ? ?3 6 ? ? ?? 4 、定义在区间 ? 0 , ? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图像的交点为 P ,过点 P 作 ? 2? PP 1 ? x 轴于点 P 1 与 y ? sin x 的图像交于点 P 1P 2 的长为______. 1 ,直线 PP 2 ,则线段 P 5 sin x 2 2 【解】 6 cos x ? 5 tan x ? 解得: sin x ? 或 sin x ? ?3 , | P1 P2 |? . cos x 3 3 ? 5 、 已 知 函 数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 其 中 ? 为 实 数 , 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 且 6 ? f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是( C ) 2 ? ?? ?? ? ? (A) ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) (B) ? k? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? (C) ? k? ? , k? ? (D) ? k? ? , k? ? (k ? Z ) (k ? Z ) ? 2 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解】 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立, 则 f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1, 所以 ? ? ? k? ? , k ? Z , 3 2 6 6 3 ? ? ? ? k? ? , k ? Z .由 f ( ) ? f (? ) , (k ?Z ) ,可知 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,即 sin ? ? 0 , 2 6 ? ? 所以 ? ? (2k ? 1)? ? , k ? Z ,代入 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,得 f ( x) ? ? sin(2 x ? ) ,由 6 6 ? 2? ? 3 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,故选 C. 6 3 6 2 ? 3? ) 内的图象是 6、函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 ( , 2 2
y
y
y
?
2

y

2 -

?
?
2

2 -

?
?
2

o ?2 -

?

3? 2

?
2

x

o

?
A

3? 2

x o

?
B

3? 2

x

?

o ?2 -

?

3? 2

x

?

C

D

【解】D. 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x ? ?

?2 tan x, 当 tan x ? sin x时 ? 2sin x, 当 tan x ? sin x时

第 42 页 共 48 页

北师大版必修 4

三角函数的简单运用
【教学目标】了解三角函数的简单运用,能利用三角函数刻画生活中的运用问题. 【教学重点】三角函数的运用. 【教学难点】利用三角函数建模. 【教学过程】 一、复习 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0) 的图像变换. 2、正弦余弦函数的图像与性质. 二、三角函数的简单运用 例 1、水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,如图是水车工作 的示意图,它的直径为 3 m ,其中心(即圆心) O 距离水面 1.2m ,如果 水车逆时针旋转,旋转一圈的时间为 点 P 距离水面高度为 h( m) . (1)求 h 与时间 t 的解析式,并作出函数图像; (2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些 变化,若水车的转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到哪些影响? 【解】 (1)设水面高度为 0, , ,则 R ? 1.5m , b ? 1.2m , 因为水车转一圈的时间 T ?

4 min .在水车边缘上取一点 P , 3

4 2? ? (min) ? 80( s) ,所以 ? ? ? rad / s (角速度) , 3 80 40 记点 P 位于水车与水面交汇点 Q 时开始计时( t ? 0 ) ,在 t 时刻水车转动的角度为 ? ,即

( ?QOP ? ? ) ,则 ?QOP ? ? ? ?t ?

t (rad ) , 40 过 P 作水面的垂线, 交水面于 M ,PM 的长度为点 P 的高度 h , 过水车中心 O 作 ON 垂直 PM 垂足为 N ,设 ?QON ? ? ,则 h ? PM ? PN ? NM ? R sin(? ? ? ) ? b , 1.2 ? 0 sin ? ? 得 ? ? 53.1 ? 0.295 ? ,所以 h ? 1.5 sin( t ? 0.295? ) ? 1.2 (m) 1.5 40 (2)雨季河水上涨参数 b 减小,旱季河流水量减少参数 b 增大;水车转速加快时,周期 T 减小, 参数 ? 增大,水车转速减慢时,周期 T 增大,参数 ? 减小.
例 2、某海滨浴场的海浪高度 y (米)是时间 t (0 ? t ? 24 ,单位小时)的函数,记作 y ? f (t ) ,下 表是某日各时的浪高数据: 3 6 9 12 15 y (米) 1.0 0.5 1.0 1.5 1 经长期观测, y ? f (t ) 的曲线可近似地看成函数 y ? A cos?t ? b .

?

t (时)

0 1.5

18 0.5

21 0.99

24 1.5

(1).据上述数据,求 y ? f (t ) (2).根据规定,当浪高不低于 1 米时才对冲浪爱好者开放,据(1)的结论,判断一天内对冲浪爱好者开放几 次?时间最长的一次是什么时候?时间最短的是什么时候?有多长时间? 【解】 (1) A ?

1 .5 ? 0 .5 1 ? 2 2

而 A ? b ? 1.5

? b ? 1 , T ? 12 ? ? ?

?

6

?y ?

1 ? cos t ? 1 . 2 6

第 43 页 共 48 页

北师大版必修 4

(2) y ? 1 ?

k ? Z , 12 k ? 3 ? t ? 12 k ? 3 . 6 2 当 k ? 0 时, t ? [0,3] ;当 k ? 1 时, t ? [9,15] ;当 k ? 2 时, t ? [21,24] ; 2
所以,一天内对冲浪爱好者开放三次,时间最长的一次是上午 9 时至下午 3 时,共有 6 个小时. 时间最短的一次是早晨零点到 3 点或晚上 21 时至第二天零点. 例 3、设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? (1)求函数的值域;

2k? ?

?

1 ? ? cos t ? 1 ? cos t ? 0 2 6 6 ?

?

t ? 2k? ?

?

?

) , x ? [0, ] . 6 2

?

k ?1 与 y ? f ( x) 在上有两个不等的实数根 ? , ? , 2 求 ? ? ? 以及实数 k 的取值范围. ? ? ? 7? ], 【解】因为 x ? [0, ] ,所以 t ? 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 ? ?? ? ? ? ? ? ,则 2? ? ? 2? ? ? ? , 所以 ? ? ? ? , 0 ? k ? 1 . 如图有 2 2 6 6 3
(2) y ? 【另解】因为 sin( 2? ? 所以 2? ?

?

?
6

6

) ? sin( 2? ?

?

? 2? ?

?
6

6

),

? 2k? 或 2? ?

?
6

? ? ? (2? ?

?
6

) ? 2k?

所以 ? ? ? ? k? 或 ? ? ? ?

?
3

? k? (k ? z )

作业:1、求下列函数的最小正周期、最值以及相应的 x 、单调区间、对称轴、对称中心:

P55

习题 1—8 5 (2) (4) (3)求函数在区间 ( ?? ,

?

2

) 的增区间

【课外反思与补充】

第 44 页 共 48 页

北师大版必修 4

函数的周期性与对称性(2 课时)
【教学目标】掌握周期函数的定义及最小正周期的意义,能结合函数的图像理解周期性、对称性得 关系,能利用周期性、对称性解决问题. 【教学重点】周期性的推导,方程思想、数形结合思想的运用. 【教学难点】周期性的推导以及运用. 【教学过程】 一、有关知识 1、 【周期函数的定义】对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x ) 具有周期性, T 叫做 f ( x ) 的一个周期,则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x ) 的周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期. 2、几种特殊的抽象函数 【证明】 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,

f ( x ? a ? a) ? ? f ( x ? a) , 周期函数; 所以 f ( x) ? f ( x ? 2a) . (2) f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周 k 【证明】 f ( x ? a) ? , 期函数; f ( x) k k (k ? 0) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周 (3) f ( x ? a ) ? f ( x ? 2a ) ? , f ( x) f ( x ? a) 期的周期函数. 所以 f ( x) ? f ( x ? 2a) .
3、对称性与周期性关系 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b (b ? a ) 都对称,则函数 f ( x ) 的周期为 2(| a ? b |) ; ( 2 ) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 两 点 A(a, y0 ) 、 【备注】 1、对称轴、对称中心均为相邻的; 2、知二求一; 3、 【证明】 f ( x) ? f (2a ? x) ,

(1) f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的

B(b, y0 ) (b ? a ) 对称,则函数 f ( x) 周期为 2(| a ? b |) ; f ( x) ? f (2b ? x) ,则有 (3)函数 y ? f ( x) 的图象关于 A(a, y0 ) 和直线 x ? b 都对 f (2b ? x) ? f (2a ? x) , 由 换 元 法 称,则函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4(| a ? b |) . 得: f ( x) ? f ( x ? 2b ? 2a) ; 4 、函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ( a ? 0 ) ,若 4、利用正余弦函数图像理解记忆. f ( x) 为奇函数,则其周期为 4 a ,若 f ( x) 为偶函数,则其 周期为 2 a .
二、例题选讲
2 例 1、 已知函数 f ( x ) 是周期为 2 的函数, 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 , 当 19 ? x ? 21 时, f ( x ) 的解析式是 .

例 2、函数 f ( x ) 既是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期的周期函数,若 f ( x ) 在 ? ?1,0? 上是减 函数,那么 f ( x ) 在 ? 2,3? 上是( A ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 【解】 x ? [2,3] , f ( x) ? f ( x ? 2) , x ? 2 ? [0,1] 例 3、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
第 45 页 共 48 页

【解】 f ( x) ? f ( x ? 2) ,设 19 ? x ? 21 ,则 f ( x) ? f ( x ? 20) ? ( x ? 20) ? 1 . 【备注】将自变量转化到已知的区间上
2

D.先减后增函数

1 对称,求 f (1) ? f (2) 2

北师大版必修 4

? f (3) ? ? ? f (2009 ) ? f (2010 ) 的值.
【解】易知 f ( x) ? f (1 ? x) , f (0) ? 0 ,则有 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? 0 , n ? N .
*

例 4、设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? 求 f (113.5) 的值.

1 ,且当 x ???3, ?2? 时, f ( x) ? 2 x , f ( x)

1 1 1 1 得 T ? 6 , f (113.5) ? f (5.5) ? ? ?? ? . f ( x) f (2.5) f (?2.5) 5 例 5、设 f ( x ) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x ) 在 (0,3) 内单调递减,且 y ? f ( x) 的图像关 于直线 x ? 3 对称,试比较 f (1.5), f (3.5), f (6.5) 的大小. 【解】由 f ( x) ? f (6 ? x) , f ( x) ? f ( x ? 6) 得 f (6 ? x) ? f ( x ? 6) ,所以 y ? f ( x) 的图像关 于直线 x ? 6 对称, f (3.5) ? f (6 ? 3.5) ? f (2.5) , f (6.5) ? f (6.5 ? 6) ? f (0.5) .
【解】 f ( x ? 3) ? ? 例 6、 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间 ? 0, 6 ? 内解的个数的最小值是 【解】因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,且 f ( x) ? ? f (? x) , f ( x) ? f ( x ? 3) 由 f (2) ? 0 得: f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 0 .

), 例 7、 f ( x) 是 R 上的奇函数, g ( x) 为偶函数, g ( x) ? f ( x ? 1) , g (2) ? 2014,求 f (2012 f (2013 ) 的值. 【解】由 g ( x) ? g (? x) , g ( x) ? f ( x ? 1) 得 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,则 T ? 4 f (2012 ) ? f (0) ? 0 , f (20013 ) ? f (1) ? g (2) ? 2014.

2x 例 8、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 2,且 x ? (0 , 1) 时, f ( x) ? x . 4 ?1
(1)求 f ( x) 在 x ? [?1 , 1] 上的解析式; (2)判断 f ( x) 在 x ? (0 , 1) 的单调性,并给予证明; (3)当 ? 为何值时,关于 x 的方程 f ( x) ? ? 在 x ? [?1 , 1] 上有实数解. 【解】 (1)当 x ? ( ?1 , 0) 时, ? x ? (0 , 1) ,因为 f ( x) 为奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ? 又 f (0) ? 0, f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ? f (?1) ? 0 ;

2x , 4x ?1

? 2x ?? x x ? (?1 , 0) 4 ?1 ? ? 所以 f ( x) ? ?0 x ? 0, ? 1 . ? 2x x ? (0 , 1) ? x ? ?4 ?1 (2)任取 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x 2 ,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 2 x1 2 x2 (4 x1 ? 1) ? 2 x1 (4 x1 ? 1) (2 x2 ? 2 x1 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) ? . ? ? 4 x2 ? 1 4 x1 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1) x x x ?x 因为 x1 , x2 ? (0,1) , x1 ? x 2 ,所以 2 2 ? 2 1 ? 0 , 1 ? 2 1 2 ? 0 . 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x) 在 (0,1) 上是减函数.

第 46 页 共 48 页

北师大版必修 4

(3)当 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

2x 2x ? ? 4 x ? 1 22x ? 1
1 t

1 1 2 ? x 2
x



x 设 t ? 2 ? (1 , 2) ,则 g (t ) ? t ? 在 (1 , 2) 上单调递增,所以 g (t ) ? ( , 1) ,则 f ( x ) ? ( , ) .

1 2

2 1 5 2

同理当 x ? ( ?1 , 0) 时, f ( x ) ? ( ?

1 2 , ? ) ,又因为又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 , 2 5 1 2 2 1 所以 ? ? ( ? , ? ) ? ( , ) ? {0} 2 5 5 2

【补充练习】 1、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,求 f (6) 的值. 【解】由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 T ? 4 , f ( x ) 为 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,

f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0 . 2、 已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? x , 求 f (7.5)
的值. 【解】函数周期为 4 ,则 f ( x) ? f ( x ? 4) , f (7.5) ? f (?0.5) ? ? f (0.5) ? ?0.5 . 3、 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数, 若 f ( x) 的最小正周期是 ? , 且当 x ? [0, 时, f ( x) ? sin x ,求 f ( 【解】 f (

?
2

]

5? ) 的值的值. 3

1 ? f ( x) , 当0 ? x ? 1 1 ? f ( x) 时, f ( x) ? 2 x ,求 f (11.5) 的值. 【解】 f (11.5) ? f (?0.5) ? ? f (0.5) ? ?1 . 1 5、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? ,若 f ?1? ? ?5 ,则 f ( f (5)) 的值. f ? x? 1 1 1 ? T ? 4 , f ? f ?5?? ? f ( f (1)) ? f (?5) ? f (?1) ? ?? . 【解】 f ? x ? 2 ? ? f (1) 5 f ? x? 6、设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13.若 f (1) ? 2 ,求 f (99) 的值. f ( x) ? 1 ? f ( x) ? f ( x ? 4) 【解】 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13, f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ? 13 ? f ( x ? 4) 13 13 ? . 而 f (?1) ? f (1) ? 13,所以 f (99) ? f (?1) ? f (1) 2 7、f ?x ? 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数, 对k ?Z , 用 I k 表示区间 ? 2k ? 1, 2k ? 1? , 已知当 x ? I0
4、 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 对于任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 1) ? 8、定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? f ?x ? 2? ,当 x ? ?3,5? 时 f ?x? ? 2 ? x ? 4 则( D ) A. f ? sin
2 2 时, f ? x ? ? x ,求 f ?x ? 在 I k 上的解析式. 【解】 f ?x ? ? f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k ) .

5? ? ? ? 3 ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? sin ? . 3 3 3 3 2

? ?

??

?? ? ? ? f ? cos ? ; 6? 6? ?

B. f ? sin1? ? f ? cos1? ;
第 47 页 共 48 页

北师大版必修 4

? D. f ? cos 2? ? f ?sin 2? ?; ? 3 ? 3 ? 9 、 已 知 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 点 ? ? , 0 ? 对 称 , 且 满 足 f ( x ) ? ? f ( x ? ) , 又 f (?1) ? 1 , 2 ? 4 ? f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2010) 的值. 3 3 3 3 【解】 f ( x ) ? ? f ( x ? ) 得 T ? 3 , 由 f ( x) ? ? f ( ? x) , f ( ? x ) ? f ( ? x) 2 2 2 2 ? f ( x) ? f (3 ? x) ,因为 f (?1) ? 1 得 f (2) ? f (1) ? f (4) ? f (5) ? 1,由 f (0) ? ?2 得 f (3) ? f (6) ? f (9) ? f (3k ) ? ?2 .
C. f ? cos 10、已知函数 f ( x) 定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? [?1 , 1] 时, f ( x) ? x 3 . (1)求 f ( x) 在 x ? [1 , 5] 的解析式; (2)若 A ? {x | f ( x) ? a , x ? R} 且 A ? ? ,求实数 a 的范围. 【解】 (1)由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得: T ? 4 ,当 x ? [1 , 3] 时,即 x ? 2 ? [?1 , 1] ,

? ?

2? 3

2? ? ? ? ? f ? sin 3 ? ?

f ( x) ? f ( x ? 2) ? ( x ? 2) 3 ;当 x ? (3 , 5] 时,即 x ? 4 ? [?1 , 1] , f ( x) ? f ( x ? 4) ? ( x ? 4) 3
所以 f ( x) ? ?
3 ? ?( x ? 2) x ? [1, 3] 3 ? ?( x ? 4) x ? (3 , 5]

(2)由(1)知 f ( x) ? [?1 , 1] ,要使 A ? {x | f ( x) ? a , x ? R} 且 A ? ? ,则 a ? 1 . 11、设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间

?0,7? 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 .

(1)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性;

] 上的根的个数,并证明你的结论. (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2009, 2009
【解】由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 得函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 2和x ? 7 ,

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x ) ? f ( 4 ? x ) ?? f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ? ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10 又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; ? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) (2) ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x) 又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0
从而知函数 y ? f ( x) 不是奇函数,由 ?

] 上有 402 个 故 f ( x) 在 [0 , 10] 和 [?10 , 0] 上均有有两个解,从而可知函数 y ? f ( x) 在 [0 , 2009 ] 上有 804 个解. 解,在 [ ?2009, 0) 上有 402 个解,所以函数 y ? f ( x) 在 [?2009, 2009

第 48 页 共 48 页



更多相关文章:
高一必修4第一章三角函数(预习)
高一必修4第一章三角函数(预习)_数学_高中教育_教育专区。1 对 1 个性化辅导 § 1.1.1 任意角※ 学习探究 1.角的定义:一条射线绕着___,从__位置 OA ...
必修4第一章三角函数单元测试卷(含详细解答)
必修4 第一章三角函数单元测试卷一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1.已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( ) C.第一或第三象限 B...
人教A版必修4第一章三角函数单元测试(附答案)
人教A版必修4第一章三角函数单元测试(附答案)_数学_高中教育_教育专区。人教A版必修4第一章三角函数单元测试(附答案)圆梦园教育培训中心 个性化教育 培训专家 第...
必修四第一章三角函数复习与小结(1)
必修四第一章三角函数复习与小结(1)_数学_高中教育_教育专区。年级 课程标题 ...例题 4 设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( A. 周期函数,最小...
必修4第一章三角函数提高练习
必修4第一章三角函数提高练习_数学_高中教育_教育专区。前三页是习题,后几页是参考答案及其解析 三角函数(必修 4 第一章)提高练习 一、选择题 1.化简 sin ...
高中数学必修4第一章_三角函数知识点
高中数学必修4第一章_三角函数知识点_理学_高等教育_教育专区。三角函数知识点 1 第一章 三角函数知识点 1、角的定义: ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? ?...
2014年人教版必修4高一数学第一章三角函数》测试题(...
2014年人教版必修4高一数学第一章 《三角函数》测试题(A卷)及答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 4 第一章三角函数》测试题 A 卷考试时间:100 ...
必修4数学第一章三角函数讲解课件
必修4数学第一章三角函数讲解课件_数学_高中教育_教育专区。必修 4 数学 第一章 三角函数 知识点总结复习一、基础知识点总结 ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ...
高中数学必修4第一章_三角函数知识点
高中数学必修4第一章_三角函数知识点_数学_高中教育_教育专区。1 第一章 三角函数知识点 1、角的定义: ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? ? 任意角 ?负角...
高中数学必修4第一章:三角函数的图像
高中数学必修4第一章:三角函数的图像_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4第一章:三角函数的图像同步检测训练一、选择题 1 . (2009· 安徽皖北联考一 ) 定义...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图