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2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 教案



教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能: 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向 量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和 共线向量。 2、过程与方法: 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。 3、情感态度与价值观: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

2.

教学重点/难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示 向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

3.

教学用具
多媒体

4.

标签
平面向量的实际背景及基本概念

教学过程 (一)导入新课 思路 1.(情境导入)如图 1,在同一时刻,老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃 窜,猫在 B 处向正东方向的 D 处追去,猫能否追到老鼠呢?学生马上得出结论:追 不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来 揭示这个问题的本质?由此展开新课.

(二)推进新课、新知探究、提出问题 ①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么?还有哪些量 和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么?怎样利用你所学的数学中的知 识抽象这些具有共同特征的量呢? ②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢? ③数量与向量的区别在哪里? 活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举 与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的 重力越大;物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大 它受到的浮力就越大;速度与加速度都是既有大小,又有方向的量;物理中的动 量与冲量都有方向,且有大小;物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量. 教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这 些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没 有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称 为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果: ①略. ②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量. ③略. 提出问题 ①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?怎样定义平行向 量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,它们是不是平行向量?这时各向 量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别?

⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别? 活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是 有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向 量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大 小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起 点的位置有关.如图 2,在线段 AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设 A 为起点、 B 为终点,我们就说线段 AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有 向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 .起点要写在终点的前面. 已知 ,线段 AB 的长度也叫做有向线段 的长度,记作 .有向线段

包含三个要素:起点、方向、长度

.

知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是 A,终点是 B 的有向线段,对应的向量记作 :.

这里要提醒学生注意的方向是由点 A 指向点 B,点 A 是向量的起点. 2°用字母 a,b,c,?表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体 a,书写用) 3°向量(或 a)的大小,就是向量(或 a)的长度(或称模),记作| |(或|a|).

教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大 小有正、负和 0 之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或 0,也可以 比较大小.由于方向不能比较大小,像 a>b 就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母 a,b,c,?表示(印刷用粗黑体表示),手写用来表示, 或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如 、 . 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和 方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要 素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图3 ③长度为 0 的向量叫零向量,长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意, 零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0,规定零向量的方向是任意的.长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量. ④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑤对平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二, 我们规定 0 与任一向量平行即 0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义; 向量 a,b,c 平行,记作 a∥b∥c.如图 3.

图4 又如图 4,a,b,c 是一组平行向量,任作一条与 a 所在直线 0 平行的直线 l,在 l 上任取一点 O,则可在 l 上分别作出=a,=b,=c.这就是说,任一组平行向 量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任 一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同 一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在 同一直线上的线段的位置关系. ⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、 大小双重性质,不能比较大小. ⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来 的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关. (三)应用示例

例 1 如图 5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示 A 地至 B、C 两地的位移.(精确到 1 km)

分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向 量概念及其几何表示. 解: 表示 A 地至 B 地的位移,且| 100 000) 表示 A 地至 C 地的位移,且||≈296 100 000) |≈232 km;(AB 长度×8 000 000÷

km.(AC 长度×8

000

000÷

点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一 点的位置确定另外一点的位置.如图 5,由 A 点确定 B 点、C 点的位置. 例2 (1) 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ABCD 中, 与 是共线向量;

(2)单位向量都相等. 活动:教师引导学生画出平行四边形,如图 7. 因为 AB//CD,所以 ∥ .由于上面已经明确,单位向量只限制了大 小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为 1,但方向 不确定. 解:(1)正确; (2)不正确. 课堂小结 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的 两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基 础,字母表示则利于向量的运算;然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、

相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的 基础上把握好. 课后习题 1.判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)

2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ( ) A.一条线段 弧 答案:D B.一段圆 C.两个点 D.一个圆

3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所 构成的图形是( ) A.一个 点 B.两个点 C.一个 圆 D.一条线段 答案:B

板书 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量



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