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任意角的三角函数及其诱导公式


任意角的三角函数及其诱导公式

一、 任意角的 的三角函数.
角?的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n? ? ? b 1
P(a,b)

b 称为角 ? 的正弦函数; 记作 b=sin? ;

?

一般用x表示自变量,y表示函数; 所以正弦函数表示:y=sin x (x ? R) 相类似余弦函数是y=cos x;正弦函数是y=tan x

思考问题
1、用任意角的正弦值的定义判断下列各对角的 正弦值的关系.

?

7? 和 3 3

2? 14? - 和- 3 3

2、与角 x 终边相同的角怎么表示?x ? 它们的正弦值有什么关系?

2 k?

sin x ? sin(x ? 2k? )

练习:600与4200,(-π/4)与(-9π/4)的三角 函数值相等吗?为什么? 4200 600
y

P(a,b)
x

y
x

P(a,b)
Sin(2kπ+α)= Sinα

-π/4
-9π/4

小结:正弦函数是周期函数,周期是 2k? 其中最小正周期为 2?

余弦函数是周期函数,周期是 2k? 其中最小正周期为 2?

你记住了吗?

弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 120 0 1350 150 0 180 0 270 0 3600

? ? 2? 3? 5? ? ? 0
6
1 2
3 2 3 3

4 3
1 2
3 2

2

3 4 6

?

3? 2

2?

cos ?
tan ? cot ?

0 1 0

2 2 2 2

1 0
0

3

1 1

3
3 3

3 2 ?1 ? ? 2 2 2 1 2 3 ? ? ? 2 2 2 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 3

?1 ?1

0 ?1 0 ?1 0 1 0 0 0

2)同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα

cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期 诱导公式1

练习:确定下列函数值的符号
1)sin1900的符号是——?

2)cos(-3920)的符号是——?
3)tan(-16500)的符号是——?

3)sin(-21π/5)的符号是——?

练习:求值 19? 23? 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan ( ? 1110 )

二、三角函数的诱导公式

1、若α是一个正锐角,怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.









2kπ+α π-α

π+α

2π-α或α

与α终 与α终边 与α终边 与α终边 边相同 关于y轴 互为反向 关于x轴对 对称 延长线 称

2、角2kπ+α π-α π+α 2π-α或-α与角α的正 弦函数值的关系
Sin(2kπ+α)__?____sin α Sin(-α)___?__sin α Sin(2π-α)_?____sin α Sin(π-α)__?____sin α Sin(π+α)__?____sin α

方法一、利用单位圆研究

关于x轴对称的角 的正弦线互为相反数 关于y轴对称的角 的正弦线 相等
Sin(2kπ+α)=sin α Sin(-α)=- sin α Sin(2π-α)=-sin α Sin(π-α)=sin α Sin(π+α)=sin α

π- α

α

正 弦 诱 导 公 式
π+α

函数名不变,符号 看象限



余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变,符号看象限

2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中,画出角α和角 π/2+α的终边, 由终边的位置关系可得

Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON Rt△OP1M≌Rt△P2ON
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα

π/2+α

P2 P1 α

∴ NP2=OM, ON=-MP1

N

O

M

函数名称变,符号看象限

思考:公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα的证明方法 所有的诱导公式中的角α的取值范围是使 公式有意义的任意角,记忆公式时可将α看成 锐角,从而确定符号. π/2-α P2 P1 α

O NM



正弦、余弦诱导公式 =>正切诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α => tan(2kπ+α)=tan α cos(2kπ+α)=cosα Sin(-α)=- sin α => tan(-α)= - tan α cos(-α)=cos α Sin(2πα)=-sin α => tan(2π-α)= - tan α cos(2π-α)=cos α Sin(π-α)=sin α => tan(π-α)= - tan α cos(π-α)= - cosα Sin(π+α)=sin α => tan(π+α)= tan α cos(π+α)= - cosα

Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα

=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα

常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α

4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cosα tan(π+α)= tan α 视α为锐角,函数名不 变,符号看象限

6、锐角互余诱导公式 7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2-α)=cotα tan(π/2+α)= -cotα 视α为锐角,函数名称变互余,符号看象限

1、熟记诱导公式的规律;
2、注意符号

例:求值 1)sin(-16500)
2) sin(-150015/) 3) sin(-7π/4) 方法步骤:负角化为正角,正角化为锐角. 例:化简

sin(2? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )

例 化简 cos(2? ? ? ) cos(3? ? ? ) () 1 cos(?? ? ? ) cos(3? ? ? ) cos(?? ? ? )
tan(2? ? ? ) tan(3? ? ? ) (2) tan(?? ? ? ) tan(3? ? ? ) tan(?? ? ? )

课外练习
1 (1)已知 cos ?? ? ? ? ? ? ,求 tan?? ? 9?? 的值. 2
(2)已知

3 ?? ? ? 5? ? cos? ? ? ? ? ,求 cos? ? ? ? 的值. ?6 ? 3 ? 6 ?

? 3? ? ? 3? ? (3)已知 cos? 的值. ? ? ? ? ,求 3 cos? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?



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是在‘割虎皮被子’啊,尽是说一些没有可能的事情!你们耿伯伯要是知道自己的老家在哪里,还会把你们兄妹三个认成了他自己的娃儿们, 还会一直住在咱们家吗?”听爹这么一说,尚武反而显得万分不舍了,有些难过地说:“我可不想让耿伯伯走,我要他永远住在咱们家里!” 李妻却幽忧地说:“唉,也不知道他除了已经没了的三个娃儿之外,家里可还有些什么人。倘若家里还有妻子儿女,这天各一方不得团圆,可 怜了啊!”李长善重重地叹了一口气,说:“唉,这是没有法子的事情啊!看来,这个耿大哥也只能认命了!”李妻探头望望依然还在院子南 面认真做拐杖的耿老爹,说:“你们看,他尽管忘记了那么多既往的事情,但眼下在咱们家里过得还满安逸呢!我只是当心,他哪一天忽然提 出来要带‘他的三个娃儿’再出去创业可怎么办啊?”李长善却说:“这倒好办,就说‘他们父子四人’在咱们家白住了这么多年,他们不能 一走了之不就得了!”尚文也说:“爹说得对!我相信,只要爹和娘这么说了,耿伯伯他自然就不会再坚持带我们走的。他是一个很知道感恩 的人呢!”尚武心疼地轻轻说:“唉,我那可怜的‘爹’啊!”李长善看看该吩咐的都吩咐完了,就对三个娃儿说:“你们都去打个盹儿吧, 起晌了还得下地干活儿呢!唉,我这腰腿啊,什么时候才能好呢!”又怜爱地摸摸小儿子的头,说:“武儿,你去告诉“爹”一声,叫他也去 歇息一会儿。拐杖不着急,以后慢慢做吧!”71第七十一回 辛苦经营喜成功|(兄妹三人忙不转,雇佣邻人做帮工;没日没夜苦经营,“南北 小饭庄”利润丰。)随着来“南北小饭庄”吃饭买饭的人越来越多,尽管净收入也在翻着倍儿增长,但耿正兄妹三人却实在是有些忙不过来了。 他们已经把所有的闲暇时间几乎全都用在了包饺子上,并且每日里都是起早睡晚的,但浓香四溢的大水饺还是每每供不应求。此外,推猫耳朵 也成了一个很大的负担。于是,兄妹三人商议,必须得聘请几个会干活儿,也能够帮得上忙的人了。聘请谁呢?兄妹三人有点儿犯难了。那日 中午送走最后一名来吃饭的客人后,兄妹三人开始自己拾掇着吃午饭了。当他们有些疲惫地各自端起饭碗时,耿正又提起雇佣帮工的事情来。 耿直对姐姐说:“姐,咱哥说得对,必须得雇几个人了。再这么下去,咱们就是累死了,也没有用啊!”耿正说:“不光是累死了也没有用! 更重要的是,如果客人们觉得咱们不能满足他们的要求,以后就不会再那么踊跃地来吃饭和买饭了!”耿英放下饭碗认真想一想,说:“我有 主意了!咱们只要聘请几个能在每天的固定时间段儿来咱们饭店的作坊里做帮工的人就行了,比如说,帮咱包饺子和推猫耳朵。这些活计很容 易学会的,只是做起来比较费时间罢了。”略一


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