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高一数列专项典型练习题及解析答案



一.选择题(共 11 小题)
*

1. (2014?天津模拟)已知函数 f(x)=

(a>0,a≠1) ,数列{an}满足 an=f(n) (n∈N ) ,

且{an}是单调递增数列,则实数 a 的取值范围( A.[7,8) B.(1,8)

) C.(4,8) D.(4,7)

/>
2. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1= ( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣

3. (2014?河南一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C .2

,则

=(

) D.

4. (2014?河东区一模)阅读图的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为(



A.5

B.6

C .7

D.8

5. (2014?河西区三模)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 B.5 C.﹣8

等于(

) D.﹣11

6. (2014?河西区二模)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( C .6 D.﹣6



7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=(



A.9

B.12

C.14

D.18 )

8. (2013?南开区一模)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S7=28,S11=66,则 S9 的值为( A.47 B.45 C.38 D.54 9. (2013?天津一模)在等比数列{an}中, A.±9 B.9 C.±3 ) ,则 a3=( D.3



10. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(

A.8

B.18

C.26

D.80 )

11. (2012?天津模拟)在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前 14 项和为( A.20 B.21 C.42 D.84

二.填空题(共 7 小题) 12. (2014?天津)设{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为 _________ . 13. (2014?红桥区二模)某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数为 an(n∈N ) , 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为 50 级需要的天数 a50= _________ . _________ .
*

14. (2014?郑州模拟)数列{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则 a5+a6+a7=

15. (2014?厦门一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前 n 项和等于 _________ . 16. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9= _________ .

17. (2014?天津模拟)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2+a4=6,S4=10.则 a10=

_________ .

18. (2014?北京模拟) 设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, S3, S9, S6 成等差数列, 且 a2+a5=2am, 则 m= _________ . 三.解答题(共 12 小题) 19. (2014?濮阳二模)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

20. (2014?天津三模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣ (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ an}的前 n 项和为 Tn,证明:n∈N 且 n≥3 时,Tn>
n n﹣1 *

+2(n∈N ) ,数列{bn}满足 bn=2 an.

*

n


* *

(3)设数列{cn}满足 an(cn﹣3 )=(﹣1) 都有 cn+1>cn.

λn(λ 为非零常数,n∈N ) ,问是否存在整数 λ,使得对任意 n∈N ,

21. (2014?天津模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12, .

(Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 22. (2009?河西区二模) 已知等差数列{an}满足 a3+a4=9, a2+a6=10; 又数列{bn}满足 nb1+ (n﹣1) b2+…+2bn﹣1+bn=Sn, 其中 Sn 是首项为 1,公比为 的等比数列的前 n 项和. (1)求 an 的表达式; (2)若 cn=﹣anbn,试问数列{cn}中是否存在整数 k,使得对任意的正整数 n 都有 cn≤ck 成立?并证明你的结论. 23.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 24.已知等差数列{an}的前 n 项和为 sn=pm ﹣2n+q(p,q∈R) ,n∈N (I)求 q 的值; (Ⅱ)若 a3=8,数列{bn}}满足 an=4log2bn,求数列{bn}的前 n 项和. 25.已知数列{an}(n∈N )是等比数列,且 an>0,a1=3,a3=27. (1)求数列{an}的通项公式 an 和前项和 Sn; (2)设 bn=2log3an+1,求数列{bn}的前项和 Tn. 26.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a2=9,S5=65. (I)求{an} 的通项公式:
* 2 *

(II)令

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

27.已知等比数列{an}满足 a2=2,且 2a3+a4=a5,an>0. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=(﹣1) 3an+2n+1,数列{bn}的前项和为 Tn,求 Tn. 28.已知等比数列{an}的公比为 q,前 n 项的和为 Sn,且 S3,S9,S6 成等差数列. 3 (1)求 q 的值; (2)求证:a2,a8,a5 成等差数列. 29.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, (I)求 an; (II)若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. , .

30.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a2=8,S10=185. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=log2bn(n=1,2,3…) ,证明{bn}是等比数列,并求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

高一数列专项典型练习题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题)
*

1. (2014?天津模拟)已知函数 f(x)=

(a>0,a≠1) ,数列{an}满足 an=f(n) (n∈N ) ,

且{an}是单调递增数列,则实数 a 的取值范围( A.[7,8) B.(1,8) 考点: 专题: 分析: 解答:

) C.(4,8) D.(4,7)

数列的函数特性. 等差数列与等比数列. 利用一次函数和指数函数的单调性即可得出.
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解:∵{an}是单调递增数列,





解得 7≤a<8. 故选:A. 点评: 本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性,属于中档题. 2. (2014?天津)设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1= ( ) A.2 B.﹣2 C. D. ﹣

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的性质;等差数列的性质. 等差数列与等比数列.

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由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求解 a1. 解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, ∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4 成等比数列,得: 即 ,解得: , .

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.

3. (2014?河南一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C .2

,则

=(

) D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 分析: 由等差数列的求和公式和性质可得
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=

,代入已知可得.

解答: 解:由题意可得 =

=

=

=1

故选 A 点评: 本题考查等差数列的求和公式,涉及等差数列的性质,属基础题. 4. (2014?河东区一模)阅读图的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为( )

A.5

B.6

C .7

D.8

考点: 等比数列的前 n 项和;循环结构. 专题: 计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序, 可知: 该程序的作用是利用循环计算变量 s, k 的值,最后输出 k 的值,列举出循环的各个情况,不难得到输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 循环前:k=0,s=0,每次循环 s,k 的值及是否循环分别如下 第一圈:S=2°<100,k=1;是 1 第二圈:S=2°+2 <100,k=2;是 1 2 第三圈:S=2°+2 +2 <100,k=3;是 1 2 3 第四圈:S=2°+2 +2 +2 <100,k=4;是 1 2 3 4 第五圈:S=2°+2 +2 +2 +2 <100,k=5;是 1 2 3 4 5 第六圈:S=2°+2 +2 +2 +2 +2 <100,k=6:是 1 2 3 4 5 6 第七圈:S=2°+2 +2 +2 +2 +2 +2 >100,k=6:否 满足 S>100,退出循环,此时 k 值为 7 故选 C 点评: 本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这
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一模块最重要的题型,

5. (2014?河西区三模)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 A.11 考点: 专题: 分析: 解答: B.5 C.﹣8

等于(

) D.﹣11

等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 由题意可得数列的公比 q,代入求和公式化简可得.
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解:设等比数列{an}的公比为 q, (q≠0) 4 由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q =0,解得 q=﹣2,



=

=

=

=﹣11

故选 D 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的求和公式,属中档题.

6. (2014?河西区二模)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( C .6 D.﹣6



考点: 数列递推式. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列{an}满足 a1=2,an= ,可得数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1,即可得出结
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论. 解答: 解:∵an= ,

∴an+1=



∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…, ∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4×503+2, ∴T2014=﹣6. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1 是关键. 7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=( A.9 B.12 C.14 D.18 )

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接由数列递推式得到数列为等差数列,再由等差数列的性质结合 a6=4﹣a4 得到 a5 的值,然后直接代入前 n 项和得答案. 解答: 解:∵an+2=2an+1﹣an,
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∴2an+1=an+an+2 ∴数列{an}是等差数列. 又 a6=4﹣a4, ∴a4+a6=4, 由等差数列的性质知:2a5=a4+a6=4, 得 a5=2. ∴S9=9a5=9×2=18. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查了等差关系得确定,考查了等差数列的性质及前 n 项和,是中档题. 8. (2013?南开区一模)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S7=28,S11=66,则 S9 的值为( A.47 B.45 C.38 D.54 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. )

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设公差为 d,利用等差数列前 n 项和列关于 a1、d 的方程组,解出 a1,d,再用前 n 项和公式可得 S9 的值. 解:设公差为 d,

由 S7=28,S11=66 得,

,即

,解得



所以 S9=9×1

=45.

故选 B. 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查方程思想,考查学生的运算能力,属基础题. 9. (2013?天津一模)在等比数列{an}中, A.±9 B.9 C.±3 ,则 a3=( D.3 )

考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出公比,利用条件,可得 结论. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,则 ∵

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=27,

=3,两式相除,可得





=27,

=3

两式相除,可得 ∴a3=±3 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 10. (2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )

A.8 考点: 专题: 分析: 解答:

B.18 数列的求和;循环结构. 计算题.

C.26

D.80

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根据框图可求得 S1=2,S2=8,S3=26,执行完后 n 已为 4,故可得答案. 1 0 解:由程序框图可知,当 n=1,S=0 时,S1=0+3 ﹣3 =2; 同理可求 n=2,S1=2 时,S2=8; n=3,S2=8 时,S3=26;执行完后 n 已为 4, 故输出的结果为 26. 故选 C. 点评: 本题考查数列的求和,看懂框图循环结构的含义是关键,考查学生推理、运算的能力,属于基础题. 11. (2012?天津模拟)在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前 14 项和为( A.20 B.21 C.42 D.84 )

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由数列为等差数列, 利用等差数列的性质得到 a3+a5=2a4, a8+a14=a6+a16=2a11, 化简已知的等式, 可得出 a4+a11 的值,再根据等差数列的性质得到 a1+a14=a4+a11,由 a4+a11 的值得到 a1+a14 的值,然后利用等差数列的前 n 项和公式表示出该数列的前 14 项之和,将 a1+a14 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a5=2a4,a8+a14=a6+a16=2a11, 又 4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36, ∴12a4+12a11=36,即 a4+a11=3, ∵a1+a14=a4+a11=3,
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则该数列的前 14 项和 S14=

=21.

故选 B 点评: 此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键. 二.填空题(共 7 小题) 12. (2014?天津)设{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为 ﹣ .

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析:
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由条件求得,Sn= 解答:

,再根据 S1,S2,S4 成等比数列,可得

=S1?S4,由此求得 a1 的值.

解:由题意可得,an=a1+(n﹣1) (﹣1)=a1+1﹣n,Sn= 再根据若 S1,S2,S4 成等比数列,可得 解得 a1=﹣ , 故答案为:﹣ . =S1?S4,即

=

, =a1?(4a1﹣6) ,

点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题. 13. (2014?红桥区二模)某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数为 an(n∈N ) , 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为 50 级需要的天数 a50= 2700 .
*

考点: 数列的概念及简单表示法;归纳推理. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由表格可知:an=5+7+…+(2n+3) ,利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:由表格可知:an=5+7+…+(2n+3)= =n(n+4) ,
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∴a50=50×54=2700. 故答案为:2700. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法,属于基础题. 14. (2014?郑州模拟)数列{an}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则 a5+a6+a7= 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 24 .

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由题意,联立两方程 a2+a3=1,a3+a4=﹣2 解出等比数列的首项与公比,即可求出 a5+a6+a7 的值. 解:由 a2+a3=1,a3+a4=﹣2,两式作商得 q=﹣2.

代入 a2+a3=1,得 a1(q+q )=1. 解得 a1= . 所以 a5+a6+a7= (2 ﹣2 +2 )=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查对数计算与等比数列性质的运用,属于基本计算题
4 5 6

2

15. (2014?厦门一模)已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前 n 项和等于



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出{a }是首项和公比都是 2 的等比数列,从而得到 n
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,log2an=n,由此能求出数列

{log2an}的前 n 项和. 解答: 解:∵数列{an}中,an+1=2an, ∴ =2,∴{an}是公比为 2 的等比数列, ,解得 a1=2,

∵a3=8,∴ ∴

,∴log2an=n,

∴数列{log2an}的前 n 项和: Sn=1+2+3+…+n= 故答案为: . .

点评: 本题考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数函数的性质的灵活运用. 16. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9= 18 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的求和. 等差数列与等比数列.
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由已知条件推导出数列{an}是等差数列,由此利用等差数列性质能求出结果. 解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,并满足 an+2=2an+1﹣an, ∴数列{an}是等差数列, ∵a6=4﹣a4,∴a6+a4=4, ∴ = .

故答案为:18. 点评: 本题考查数列的前 9 项和的求法,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用. 17. (2014?天津模拟)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2+a4=6,S4=10.则 a10= 10 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件,利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,建立方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
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解答: 解:等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∵a2+a4=6,S4=10,设公差为 d, ∴ ,

解得 a1=1,d=1, ∴a10=1+9=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查等差数列中第 10 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,要熟练掌握等差数列的性质. 18. (2014?北京模拟)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+a5=2am,则 m= 8 .

考点: 等差数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 S3,S9,S6 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前 n 项和公式化简,得到关 于 q 的关系式,再利用等比数列的性质化简 a2+a5=2am 的左右两边,将得到的关于 q 的关系式整理后代入, 即可得出 m 的值. 解答: 解:∵Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 S3,S9,S6 成等差数列,
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∴2S9=S3+S6,即
9 3 6

=
3 6

+



整理得:2(1﹣q )=1﹣q +1﹣q ,即 1+q =2q , 4 3 7 m﹣1 又 a2+a5=a1q+a1q =a1q(1+q )=2a1q ,2am=2a1q ,且 a2+a5=2am, 7 m﹣1 ∴2a1q =2a1q ,即 m﹣1=7, 则 m=8. 故答案为:8 点评: 此题考查了等差数列的性质,等比数列的通项公式及求和公式,熟练掌握性质及公式是解本题的关键. 三.解答题(共 12 小题) 19. (2014?濮阳二模)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Sn.

考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得 d 和 q, 进而可得{an}、{bn}的通项公式.
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(Ⅱ)数列 解答:

的通项公式由等差和等比数列构成,进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn.

解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 解得 d=2,q=2. 所以 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1,bn=q
n﹣1

=2

n﹣1



(Ⅱ)



,①

,②

②﹣①得



=

=

=



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和. +2(n∈N ) ,数列{bn}满足 bn=2 an.
* n

20. (2014?天津三模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣an﹣ (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ an}的前 n 项和为 Tn,证明:n∈N 且 n≥3 时,Tn>
n n﹣1 *


* *

(3)设数列{cn}满足 an(cn﹣3 )=(﹣1) 都有 cn+1>cn.

λn(λ 为非零常数,n∈N ) ,问是否存在整数 λ,使得对任意 n∈N ,

考点: 等差数列的性质;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. ﹣ 分析: (1)由已知条件推导出 2nan=2n 1an﹣1+1.由此能证明{数列 bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.从而求出
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an=

. =(n+1)?( ) ,利用错位相减法能求出 Tn=3﹣ .
n n﹣1 n

(2)由(1)知 且 n≥3 时,Tn>

.再用数学归纳法能证明 n∈N

*

(3)由 an(cn﹣3 )=(﹣1) 可得(﹣1) 解答:
n﹣1

λn 可求得 cn,对任意 n∈N ,都有 cn+1>cn 即 cn+1﹣cn>0 恒成立,整理

+

?λ<( )

n﹣1

,分 n 为奇数、偶数两种情况讨论,分离出参数 λ 后转化为函数最值即可解决. +2(n∈N )中,
*

(1)证明:在 Sn=﹣an﹣

令 n=1,得 S1=﹣a1﹣1+2=a1,解得 a1= , 当 n≥2 时,Sn﹣1=﹣an﹣1﹣( )
n﹣2

+2, , an﹣1+1.

∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+( ) ∴2an=an﹣1+( )
n n﹣1 n

n﹣1

,即 2 an=2

n﹣1

∵bn=2 an,∴bn=bn﹣1+1,即当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=1, 又 b1=2a1=1,∴{数列 bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. n 于是 bn=1+(n﹣1)?1=n=2 an, ∴an= . ,∴ =(n+1)?( ) ,
n

(2)证明:∵

∴Tn=2× +3×( ) +…+(n+1)×( ) ,① =2×( ) +3×( ) +…+(n+1)×( ) ①﹣②,得: =1+
2 3 n+1

2

n

,②

=1+

﹣(n+1)?( )

n+1

= ∴Tn=3﹣

, .

∴Tn﹣

=3﹣

=
n



∴确定 Tn 与

的大小关系等价于比较 2 与 2n+1 的大小.
*

下面用数学归纳法证明 n∈N 且 n≥3 时,Tn> ①当 n=3 时,2 >2×3+1,成立 k ②假设当 n=k(k≥3)时,2 >2k+1 成立, k+1 k 则当 n=k+1 时,2 =2?2 >2(2k+1) =4k+2=2(k+1)+1+(2k﹣1)>2(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,也成立. 于是,当 n≥3,n∈N 时,2 >2n+1 成立 ∴n∈N 且 n≥3 时,Tn> (3)由
* * n 3



. ,

得 =3 +(﹣1) ?λ?2 , n+1 n n+1 n n﹣1 n ∴cn+1﹣cn=[3 +(﹣1) ?λ?2 ]﹣[3 +(﹣1) ?λ?2 ] ﹣ n n 1 n =2?3 ﹣3λ(﹣1) ?2 >0, ∴ ,① , ②
n n﹣1 n

当 n=2k﹣1,k=1,2,3,…时,①式即为 λ< 依题意,②式对 k=1,2,3…都成立,∴λ<1, 当 n=2k,k=1,2,3,…时,①式即为 依题意,③式对 k=1,2,3…都成立, ∴ ,∴ ,又 λ≠0,
*

③,

∴存在整数 λ=﹣1,使得对任意 n∈N 有 cn+1>cn. 点评: 本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识,考查恒成立问题,考查转化思想,错位相

减法对数列求和是高考考查的重点内容,要熟练掌握. 21. (2014?天津模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12, .

(Ⅰ)求 an 与 bn; (Ⅱ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据 b2+S2=12,{bn}的公比 ,建立方程组,即可求出 an 与 bn;
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(2)由 an=3n,bn=3n﹣1,知 cn=an?bn=n?3 ,由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为 q,且 b2+S2=12, .

n

∴b2=b1q=q,

, (3 分)

解方程组得,q=3 或 q=﹣4(舍去) ,a2=6(5 分) ∴an=3+3(n﹣1)=3n,bn=3n﹣1. (7 分) (2)∵an=3n,bn=3n﹣1, n ∴cn=an?bn=n?3 , ∴数列{cn}的前 n 项和 2 3 n Tn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 4 n+1 ∴3Tn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 , 2 3 n n+1 ∴﹣2Tn=3+3 +3 +…+3 ﹣n×3 = = ∴Tn= ×3
n+1

﹣n×3

n+1

﹣n×3 ﹣

n+1

, .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质和 错位相减法的合理运用. 22. (2009?河西区二模) 已知等差数列{an}满足 a3+a4=9, a2+a6=10; 又数列{bn}满足 nb1+ (n﹣1) b2+…+2bn﹣1+bn=Sn, 其中 Sn 是首项为 1,公比为 的等比数列的前 n 项和. (1)求 an 的表达式; (2)若 cn=﹣anbn,试问数列{cn}中是否存在整数 k,使得对任意的正整数 n 都有 cn≤ck 成立?并证明你的结论. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: (1)利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用等比数列的通项公式、 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a3+a4=9,a2+a6=10, ∴ ,解得 , 、分类讨论的思想方法即可得出.

∴an=2+1×(n﹣1)=n+1. (2)∵Sn 是首项为 1,公比为 的等比数列的前 n 项和, ∴nb1+(n﹣1)b2+…+2bn﹣1+bn= (n﹣1)b1+(n﹣2)b2+…+2bn﹣2+bn﹣1= ①﹣②得 b1+b2+…+bn= 当 n=1 时,b1=Tn=1, 当 n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1= = . ,即 ,① …+ ,② .



. .

于是 cn=﹣anbn 设存在正整数 k,使得对?n∈N ,都有 cn≤ck 恒成立. 当 n=1 时, 当 n≥2 时, = = ,即 c2>c1.
*





∴当 n<7 时,cn+1>cn; 当 n=7 时,c8=c7; 当 n>7 时,cn+1<cn. * ∴存在正整数 k=7 或 8,使得对?n∈N ,都有 cn≤ck 恒成立. 点评: 熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、 、分类讨论的思想方法是解题的关键.

23.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .

(Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: (I)根据数列{an}是等比数列,a1= ,公比 q= ,求出通项公式 an 和前 n 项和 Sn,然后经过运算即可证明.
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(II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式. 解答: 证明: (I)∵数列{an}为等比数列,a1= ,q=

∴an= ×

=



Sn=

又∵

=

=Sn

∴Sn= (II)∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…﹣nlog33 =﹣(1+2+…+n) =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣ 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质. 24.已知等差数列{an}的前 n 项和为 sn=pm ﹣2n+q(p,q∈R) ,n∈N (I)求 q 的值; (Ⅱ)若 a3=8,数列{bn}}满足 an=4log2bn,求数列{bn}的前 n 项和. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (I)根据前 n 项和与通项间的关系
2 *

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,得到 an=2pn﹣p﹣2,再根据{an}是等差数

列,a1 满足 an,列出方程 p﹣2+q=2p﹣p﹣2,即可求解 n﹣1 (Ⅱ)由(I)知 an=4n﹣4,再根据 an=4log2bn,得 bn=2 ,故{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 即可求解 解答: 解: (I)当 n=1 时,a1=s1=p﹣2+q 2 2 当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=pn ﹣2n+q﹣p(n﹣1) +2(n﹣1)﹣q=2pn﹣p﹣2 由{an}是等差数列,得 p﹣2+q=2p﹣p﹣2,解得 q=0. (Ⅱ)由 a3=8,a3=6p﹣p﹣2,于是 6p﹣p﹣2=8,解得 p=2 所以 an=4n﹣4 n﹣1 又 an=4log2bn,得 bn=2 ,故{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=



点评: 本题考查了数列的前 n 项和与通项间的关系及等比数列的求和问题,在解题中需注意前 n 项和与通项间的 关系是个分段函数的关系,但最后要验证 n=1 是否满足 n≥2 时的情况,属于基础题. 25.已知数列{an}(n∈N )是等比数列,且 an>0,a1=3,a3=27. (1)求数列{an}的通项公式 an 和前项和 Sn; (2)设 bn=2log3an+1,求数列{bn}的前项和 Tn. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)先根据 a3=a1?q =27 求出 q ,然后根据 an>0,求出 q 的值,再由等比数列的公式求出数列{an}的通项 公式 an 和前项和 Sn; (2)由(1)得出数列{bn}是等差数列,然后根据等差数列的前 n 项和公式得出结果. 2 2 2 解答: 解: (1)设公比为 q,则 a3=a1?q ,∴27=3q ,即 q =9∵an>0,
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*

∴ (2)由(1)可知 bn=2log33 +1=2n+1,∴b1=3, 又 bn+1﹣bn=2(n+1)+1﹣(2n+1)=2, 故数列{bn}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ .
n

点评: 本题考查了等差数列和等比数列的前 n 项和,此题比较容易,只要认真作答就可以保障正确,属于基础题. 26.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a2=9,S5=65. (I)求{an} 的通项公式: (II)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (I)利用等差数列的首项 a1 及公差 d 表示已知条件,解出 a1,d 代入等差数列的通项公式可求
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(II)由(I)可求 比数列的前 n 项和公式可求 解答: 解: (I)

,从而可得数列{bn} 是首项为 b1=32,公比 q=16 的等比数列,代入等

(2 分)

解得:

(4 分) ,

所以 an=4n+1(6 分) (II)由(I)知 (7 分)

因为

, (8 分)

所以{bn} 是首项为 b1=32,公比 q=16 的等比数列(9 分) , 所以 . (12 分)

点评: 在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式,具备一定的计算能力,本题属于基础试题. 27.已知等比数列{an}满足 a2=2,且 2a3+a4=a5,an>0. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=(﹣1) 3an+2n+1,数列{bn}的前项和为 Tn,求 Tn. 考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则
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,解方程可求 a1,q 结合等比数

列的通项公式即可求解 (Ⅱ)由 bn=(﹣1) 3an+2n+1=﹣3?(﹣2) 可求解 解答: (本小题满分 12 分)
n n﹣1

+2n+1,利用分组求和,结合等比与等差数列的求和公式即

解: (Ⅰ)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则 整理得 q ﹣q﹣2=0,即 q=﹣1 或 q=2, ∵an>0, ∴q=2.代入可得 a1=1 ∴ .…(6 分)
n n﹣1 2

…(2 分)

(Ⅱ)∵bn=(﹣1) 3an+2n+1=﹣3?(﹣2) +2n+1,…(9 分) n﹣1 ∴Tn=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+(﹣2) ]+(3+5+…+2n+1) =﹣3× =(﹣2) +n ++2n﹣1.…(12 分)
n 2

点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,分组求和方法的应用,属于数列知识的简单综合 28.已知等比数列{an}的公比为 q,前 n 项的和为 Sn,且 S3,S9,S6 成等差数列. 3 (1)求 q 的值; (2)求证:a2,a8,a5 成等差数列. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1)由 S3,S9,S6 成等差数列,得 S3+S6=2S9,然后考虑当 q=1 时关系式不成立,所以当 q 不等于 1 时, 3 利用等比数列的前 n 项和的公式化简此等式,根据 q 不等于 1,利用换元法即可求出 q 的值; 3 (2)由 q 的值分别表示出 a8 和 a5,然后分别求出 a8﹣a2 和 a5﹣a8 的值,得到两者的值相等即可得证. 解答: 解: (1)由 S3,S9,S6 成等差数列,得 S3+S6=2S9, 若 q=1,则 S3+S6=9a1,2S9=18a1, 由 a1≠0 得 S3+S6≠2S9,与题意不符,所以 q≠1.
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由 S3+S6=2S9,得 整理,得 q +q =2q ,由 q≠0,1,
3 6 9



设 t=q ,则 2t ﹣t﹣1=0,解得 t=1(舍去)或 t=﹣ , 所以 ; ,

3

2

(2)由(1)知:

则 a8﹣a2=a5﹣a8, 所以 a2,a8,a5 成等差数列. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,灵活运用等比数列的前 n 项和的公式化简求值,是一道 中档题.

29.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, (I)求 an; (II)若





,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (I)由题意可得,公比 q≠1,则

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②,相除可得公比 q,

求得首项和公比,即可求出通项公式. (II)首先根据(1)求出数列{bn}的通项公式,然后利用分组法求出前 n 项和. 解答: 解: (I)若 q=1,则 S6=2S3,这与已知矛盾,所以 q≠1, (1 分) 则 ②式除以①式,得 代入①得 a1=2, 所以 . (7 分) ① ,所以 , ②(3 分)

(II)因为

, (9 分)

所以 Tn=(2 +2 +2 ++2

﹣1

0

1

n﹣2

)+(1+2+3++n)=

(12 分)

=

=

. (14 分)

点评: 本题考查等比数列的前 n 项和公式和通项公式, (2)问中数列{bn}是等差数列和等比数列和的形式,采取分 组法求解.属于中档题. 30.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a2=8,S10=185. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=log2bn(n=1,2,3…) ,证明{bn}是等比数列,并求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意等差数列{an}中 a2=8,S10=185,利用通项公式及前 n 项和公式建立首项与公差的方程求出即可 得到数列{an}的通项公式 an;
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(2)把(1)中求出的 an 的通项公式代入 an=log2bn 中,确定出 bn 的通项公式,利用

等于常数得到数

列{bn}是等比数列,求出等比数列的首项和公比,根据首项和公比写出等比数列的前 n 项和即可. 解答: 解: (1)

解得:d=3,a1=5,∴an=3n+2 (2)bn= ∴ = = =2 =8(n=1,2,3,…)
3

∴{bn}是公比为 8 的等比数列 ∵b1= ∴Tn= =32
n

=

(8 ﹣1) .

点评: 本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前 n 项和公式化简求值,是一道中档 题.



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