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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第1章 3 组合]



第一章

§3

一、选择题 1.甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学.若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A.150 种 C.300 种 [答案] D [解析] 由已知 4 人中恰有 1 名女同学分为两类:甲组中一女一男,乙组中两男,有
1

1 2 C3 · C5· C6=225(种)选法;甲组中两男,乙组中一女一男,有 C1 C1 C2 2· 6· 5=120(种)选法;由分类

)

B.180 种 D.345 种

计数原理,可知共有 225+120=345(种)选法. 2.某班级要从 4 名男生,2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名女 生参加,那么不同的选派方案种数为( A.14 C.120 [答案] A [解析] 方法一:至少有 1 名女生,可分为两种情况:1 名女生 3 名男生;2 名女生 2
3 2 2 名男生,所以不同的选派方案种数为 C1 2C4+C2C4=14.

) B.15 D.119

方法二:6 人中选 4 人的方案共有 C4 6=15 种,没有女生的方案只有 1 种,所以满足要 求的选派方案种数为 15-1=14. 3.(2014· 全国大纲理,5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医 生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 C.75 种 [答案] C [解析] 本题考查了分步计数原量和组合的运算,从 6 名男医生选 2 人有 C2 6=15 种选 法, 从 5 名女医生选 1 人有 C1 所以由分步计数原理可知共有 15×5=75 种不同 5=5 种选法, 的选法.解决排列组合问题要首先确定是排列问题还是组合问题,是分步还是分类.然后解 决问题. 二、填空题 4.有 3 张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的种数是________(用数字作 答). [答案] 10 ) B.70 种 D.150 种

[解析] 由于选出的人无角色差异,所以是组合问题,不同方法种数为 C3 5= 10.

5×4×3 = 3×2×1

5. 从 1,3,5,7 中任取 2 个数字, 从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字组成没有重复数字的四位数, 其中能被 5 整除的四位数共有________个(用数字作答). [答案] 300 [解析] 能被 5 整除,个位数字只能是 0 或 5,共分三种情况: (1)只含有数字 5,则 5 一定位于个位上,从 1,3,7 中选一个,有 C1 3种选法,再从 2,4,6,8
3 1 2 3 中选两个,有 C2 C4· A3=108 4种选法,然后将这三个数进行全排列,有 A3种方法,故共有 C3·

个数;
2 1 3 (2)同理只含有数字 0,有 C3 · C4· A3=72 个数; 1 (3)既有 5 又有 0,则有两种情况; 0 位于个位共有 C1 C4 · A3 3· 3 个数; 5 位于个位共有 1 1 1 2 3 1 1 1 2 C3 · C4· C2· A2个数.故共有 C1 C1 A3 +C3 · C4· C2· A2=120 个数. 3· 4·

所以符合题意的四位数共有 108+72+120=300(个). 三、解答题 6.(2013· 景德镇市高二质检)7 名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多 少种不同的排法? (1)7 人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减; (2)任取 6 名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮. [解析] (1)第一步,将最高的安排在中间只有 1 种方法;第二步,从剩下的 6 人中选取
3 3 人安排在一侧有 C6 种选法,对于每一种选法只有一种安排方法,第三步,将剩下 3 人安排

在另一侧,只有一种安排方法,∴共有不同安排方案 C3 6=20 种. (2)第一步从 7 人中选取 6 人, 有 C6 第二步从 6 人中选 2 人排一列有 C2 7种选法; 6种排法, 第三步,从剩下的 4 人中选 2 人排第二列有 C2 4种排法,最后将剩下 2 人排在第三列,只有 一种排法,故共有不同排法 C6 C4 C2 7· 6· 4=630 种.

一、选择题 1. (2014· 合肥八中联考)将 4 个颜色互不相同的球全部收入编号为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( A.10 种 C.36 种 [答案] A [解析] 根据 2 号盒子里放球的个数分类: 第一类, 2 号盒子里放 2 个球, 有 C2 4种放法, 第二类,2 号盒子里放 3 个球,有 C3 4种放法,剩下的小球放入 1 号盒中,共有不同放球方法 B.20 种 D.52 种 )

2 3 C4 +C4 =10 种.

2.如图,用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不 同的涂色方法共有( A.288 种 C.240 种 [答案] B [解析] 当涂四色时,先涂 A、E、D 为 A3 4,再从 B、F、C 三点选一个涂第四种颜色,
1 如 B,再 F,若 F 与 D 同色,则涂 C 有 2 种方法,若 F 与 D 异色则只有一种方法,故 A3 4A3

) B.264 种 D.168 种

(2+1)=216 种.
3 3 3 当涂三色时,先涂 A、E、D 为 C3 4A3,再涂 B 有 2 种,F、C 各为一种,故 C4A3×2=

48, 故共有 216+48=264 种,故选 B. 3.把 4 个苹果分给两个人,每人至少一个,不同分法种数有( A.6 C.14 [答案] C
1 2 2 2 [解析] 有两类分法①一人 3 个,一个 1 个有 C3 4C1A2种分法,②每人各 2 个有 C4C2种 2 2 2 分法.所以共有 C3 4A2+C4C2=14 种不同的分法,选 C.

)

B.12 D.16

4.某城市街道如图,某人要走最短路程从 A 地前往 B 地,则不同走法有( A.8 种 C.12 种 [答案] B B.10 种 D.32 种

)

[解析] 因为从 A 地到 B 地路程最短,我们可以在地面画出模型,实地实验探究一下走 法可得出:①要走的路程最短必须走 5 步,且不能重复.②向东的走法定出后,向南的走法 随之确定. 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可. 故有不同走法
2 有 C3 5=C5=10 种.选 B.

5.(2012· 陕西理,8)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可 能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( A.10 种 C.20 种 [答案] C [解析] 本题考查了排列组合知识与分类讨论的思想.
1 2 由题意知,打三局,有两种情形;打四局 2C1 3种情形,打五局有 2(C3+C3)种情形,故

)

B.15 种 D.30 种

共有 2+6+12=20 种不同情形,本题隐含两人最少打三局,最多打五局比赛终止,因此要 进行合理分类. 二、填空题 6.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个 孔,但相邻的两孔不能同时显示,则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种. [答案] 80 [解析] 显示的孔不相邻,用插空法,4 个不显示孔形成 5 个空当. ∴有 C3 5种选法.每个孔有 2 种显示方法. ∴共有 23C3 5=80 种. 7.把 3 名辅导老师与 6 名学生分成 3 个小组(每组 1 名教师,2 名学生)开展实验活动, 但学生甲必须与教师 A 在一起,这样的分组方法有________种.(用数字作答) [答案] 30 [解析] 分别给 A,B,C 三位老师各安排 2 名学生(学生甲必须与教师 A 在一组),一共
1 2 2 有 C1 1C5C4C2=30(种)不同的分组方法.

三、解答题
x 6 4x 2 8.(1)解方程 C3 18 =C18 ;
+ -

1 1 7 (2)已知 m- m= ,求 Cm 8; C5 C6 10Cm 7
4 5 6 (3)计算 C3 7+C7+C8+C9. x 6 4x 2 [解析] (1)由 C3 18 =C18 及组合数的性质得,
+ -

3x+6=4x-2 或 3x+6=18-(4x-2), 解得 x=8 或 x=2, 经检验 x=8 不符合题意,舍去.故 x=2. m!?5-m?! m!?6-m?! 7×m!?7-m?! (2)原方程变形为 - = 5! 6! 10×7! 即 60-10(6-m)=(7-m)(6-m), 即 m2-23m+42=0, 解得 m=21 或 m=2, 又∵0≤m≤5 且 m∈N+,
2 ∴m=2,∴Cm 8 =C8=28. 5 6 5 6 6 4 (3)原式=C4 8+C8+C9=C9+C9=C10=C10=210.

[点评] 解有关组合数的不等式或方程,应注意合组数本身有意义时的未知数的取值范 围. 9.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法?

(2)恰有一个盒不放球,有多少种放法? (3)恰有一盒内有 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? [分析] (1)可直接用分步乘法计数原理. (2)问题转化为“4 个球,三个盒子,每个盒子都要放球,共有几种放法?” (3)该问题事实上与问题(2)是同一个问题. (4)问题转化为:“4 个球,两个盒,每个盒必放入球,有几种放法?” [解析] (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法 计数原理,放法共有:44=256(种). (2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,然后将 4 个球
1 2 分成 2,1,1 的三组,有 C4 · C4种分法;再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒

子,全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法:C1 C2 C1 A2 4· 4· 3· 2=144(种). (3)“恰有一个盒内放 2 个球”,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此,“恰有一个 盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法. (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C2 4种,问题转化为:“4 个球,两个盒子,每盒必 放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选
2 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C3 C1 4· 2种放法;第二类:有 C4种放法.因此共有 3 1 2 C4 · C2 +C2 14 = 4 = 14( 种 ).由分步乘法计数原理得 “ 恰有两个盒子不放球 ” 的放法有: C 4 ·

84(种). 10.6 个人进 2 间屋子: (1)每屋内至少进 1 人; (2)每屋都进 3 人,问各有多少种分配方法? [解析] (1)方法一:按第 1 间屋子内进人的数目可分为 5 类:进 1 人,2 人,3 人,4 人,5 人.因此,要把这 5 类分配进屋的方法数加起来,对于每一类而言,如“第 1 间屋内 进 4 人,第 2 间进 2 人”这类分配方式,又可看成先派 4 人进入第 1 间屋,再派余下的 2 人进入第 2 间屋.这样得到 C4 C2 6· 2种进屋方法,于是总共方法为:
1 5 4 3 3 4 2 5 1 C6 C5+C2 6C4+C6C3+C6C2+C6C1=62(种).

方法二: 从 6 人进 2 间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算. 不 合题意的分配方法只有 2 种, 即 6 人全进第 1 间或全进第 2 间. 即间接法解得: 26-2=62(种). (2)方法一:先派 3 人进第 1 间屋,再让其余 3 人进第 2 间屋,得分配方法为:C3 C3 6· 3= 20(种). 方法二:先把 6 人平均分成两组,方法有: 然后再分配到房间,共有 C3 6 2 · A2=20(种). A2 2 C3 6 (种), A2 2

[点评] (1)平均分组问题:一般来说,km 个不同的元素分成 k 组,每组 m 个,则不同 的分法有: Cm Cm ?· Cm km· ?k-1?m· m (种). k Ak (2)不平均分组问题:一般来说,把 n 个不同元素分成 k 组,每组分别有 m1,m2,?, mk 个,m1,m2,?,mk 互不相等,且 m1+m2+?+mk=n,则有不同的分法为: Cm1n· Cm2n-m1· Cm3n-(m1+m2)· ?· Cmkmk 种.如果 m1,m2,?,mk 中有且仅有 i 个相 等,则不同的分法为: Cm1n· Cm2n-m1· Cm3n-?m1+m2?· ?· Cmkmk (种). Aii 上面的组合问题给出两个解法模型,处理此类问题的关键是充分考虑到是否与顺序有 关,避免产生重复计数.



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