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一元二次方程复习课教案


精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 年 级: 辅导科目: 数学 课 时 数: 学科教师:

授课类型 授课日期及时段

T 一元二次方程基本概念

C 一元二次方程的解

T 一元二次方程的应用

2014 年 5 月 1 日 12:50-14:50 教学内容

一、同步知识梳理
1. 一元二次方程的概念及一般形式: ax ? bx ? c ? 0 (其中 x 是未知数,a、b、c 是已知数,a≠0)
2

2. 一元二次方程的解法: 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

3.求根公式:当 b -4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
2

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2a
2

4.根的判别式: 当 b -4ac>0 时,方程有 2 当 b -4ac=0 时, 方程有 2 当 b -4ac<0 时,方程 5. 一元二次方程根与系数的关系: (韦达定理)

实数根. 实数根. 实数根.

2 若 x1 , x 2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,那么: x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 ? x 2 ? a a

思想方法: 1. 常用解题方法——换元法 2. 常用思想方法——整体思想 转化思想,从特殊到一般的思想,分类讨论的思想

二、同步题型分析
考点 1、一元二次方程的概念及相关问题。 1:下列方程中,关于 x 的一元二次方程 是( )

A.3( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) C.ax 2 ? bx ? c ? 0

B.

1 1 ? ?2?0 2 x y

D.x 2 ? 2 x ? x 2 ? 1
2 2 ④ k x ? 5x ? 6 ? 0

变式训练:1、下列是关于 x 的一元二次方程的有
1 2 2 2 ① x ? 3 x ? 2 ? 0 ② x ? 1 ? 0 ③ (2x ?1) ? ( x ? 1)( 4x ? 3)

⑤ 2 x2 ?

1 3 x? ?0 4 2

⑥ 3 x 2 ? 2 ? 2x ? 0
2

2、已知关于 x 的方程 ?m ? 3?x m

?m?4

? ?2m ? 1?x ? m ? 0 是一元二次方程,则 m =

(m ? 1 )x 2 ? 7mx ? m 2 ? 3m ? 4 ? 0 有一个根为零,求 m 的值. 3、已知一元二次方程

考点 2、一元二次方程的解法(重点) 。 2:选用合适的方法解下列方程: (1) (x-15)2-225=0; (2) 3x2-4x -1=0(用公式法) ;

(3) 4x2-8x+1=0(用配方法) ; .

(4) x ? x ? 6 ? 0 (因式分解法)
2

考点 3、一元二次方程根的判别式。 3:如果关于 x 的一元二次方程 k x ? (2k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围?
2 2

变式训练、已知 a、b、c 分别是三角形的三边,则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)=0 的根的情况是( ) A.没有实数。 根。 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 。 D.有两个不相等的实数

考点 4、一元二次方程的应用(难点) 。 4:⑴、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81%,则平均每次降价( A.10% B.19% C.9.5% D.20%
2 ⑵、三角形的每条边的长都是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的根,则三角形的周长是





(3)如图,利用一面墙(墙的长度不超过 45m) ,用 80m 长的篱笆围一个矩形场地. 2 ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为 750m ? ⑵能否使所围矩形场地的面积为 810m2,为什么?


D C

A 第21题图

B

三、知识收获
1. 一元二次方程的概念及一般形式: ax ? bx ? c ? 0 (其中 x 是未知数,a、b、c 是已知数,a≠0)
2

2. 一元二次方程的解法: 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 3.求根公式:当 b -4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
2

? b ? b 2 ? 4ac 2a 4.根的判别式: x?

5. 根与系数的关系(韦达定理) :

一、专题精讲
一、根与方程的关系

1、已知 x ? 1 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的一个根,则方程的 a 的值为
2 2

。 )

变式训练:1、已知方程 x ? bx ? a ? 0 有一个根是 ?a ? a ? 0? ,则下列代数式的值恒为常数的是( A、 ab B、
2

a b

C、 a ? b

D、 a ? b

2、 已知方程 5x +kx-10=0 一个根是-5,求 k 的值及它的另一个根. 2 答:方程的另一根是 ,k 的值是 23. 5 二、根与系数的关系

2、 (2011.南通)已知 3 是关于 x 的方程 x ? 5 x ? c ? 0 的一个根,则这个方程的另外一个根是__________.
2

变式训练:1、 (2010.南通)设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x-3=0 的两个根,2x1(x22+5x2-3)+a =2,则 a= ▲ .

2、 (2012.南通)设α 、β 是一元二次方程 x? +3x-7=0 的两个根,则α ? +4α +β =



三、根的判别式 3、关于 x 的一元二次方程 kx2+2x-1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围是__________.

变式训练: 已知关于 x 的方程 x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0 (1) (2) 求证:不论 k 取什么实数值,这个方程总有实数根; 若等腰三角形 ABC 的一边长为 a=4, 另两边的长 b. c 恰好是这个方程的两个根, 求△ ABC 的周长.

二、专题过关:
1.一元二次方程 3x2=2x 的解是 . . .

2.已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根,那么代数式 m2-m =
4a ? c 3.一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一根-2,则 的值为 b
2 4. 已知 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,求 (x ? 1 ) ? 2(1 ? x) 的值为_________.
2

5. 一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0 有一解为 0,则 m 的值是



6. 如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 的 两 根 分 别 为 3 和 4 , 那 么 这 个 一 元 二 次 方 程 可 以 是 . 7.若等腰三角形底边长为 8,腰长是方程 x2-9x+20=0 的一个根,则这个三角形的周长是( ) A.16 B.18
2

C.16 或 18

D.21
2

8.设 a, b 是方程 x ? x ? 2010 ? 0 的两个实数根,则 a ? 2a ? b 的值为 9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则 m2+n2 的值是( A.3 B.3 或-2 C.2 或-3 )

D. 2

三、方法总结
1、根与系数的关系(韦达定理)是中考的热点 2、一元二次方程的根的情况与系数的关系 2 b -4ac 叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在 不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况; 2 反过来由方程的根的情况也可以得知 b -4ac 的符号,进而得出方程中未知字母的 取值情况。

一、能力培养
一元二次方程的应用
1. 列方程解应用题的一般步骤 设未知数、找等量关系、列出方程、解方程、检验并写出答案。 2. 问题中方程的解要符合实际情况.

1、 例为执行“两免一补”政策, 某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元, 预计 2008 年投入 3600 万元. 求 这两年投入教育经费的年平均增长百分率 x 。

2、某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出,平均每月能售出 600 个.调查表明:这种台灯的 售价每上涨 1 元,其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10000?元的销售利润,这种台灯的售价应 定为多少?这时应进台灯多少个?

变式训练:某批发商以每件 50 元的价格购进 80 0 件 T 恤,第一个月以单价 80 元销售,售出了 200 件;第二个月如果 单价不变,预计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 10 件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的 T 恤一 次性清仓销售,清仓是单价为 40 元,设第二个月单价降低 x 元。 (1)填表(不需化简) 时间 单价(元) 销售量(件) 第一个月 80 200 第二个月 清仓时 40
[来源:学。科。网 Z。X。X。K] [来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元?

3、关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 ? 0(m ? 0) . (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1 , x2 (其中 x1 ? x2 ) .若 y 是关于 m 的函数,且 y ? x2 ? 2 x1 ,求这个函数的解 析式; (3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量 m 的取值范围满足什么条件时, y ≤ 2m -1.

二、学法升华
1、一元二次方程解应用题的步骤是什么?哪步最关键? 2、如何寻找等量关系 3、问题中方程的解要符合实际情况.

课后作业
2 1.关于 x 的一元二次方程 x ? nx ? m ? 0 两根中只有一个根等于 0,则下列条件正确的是(



A、 m ? 0, n ? 0

B、 m ? 0, n ? 0
2

C、 m ? 0, n ? 0
2

D、 m ? 0, n ? 0 的一个根是 0,则 m 的值是( )

2.关于 x 的一元二次方程(m-2)x +(2m-1)x+m -4=0 A、2 B、- 2
2 2

C 、2 或-2
2 2 2

D、 2
2 2

1

3.已知 a、b 实数且满足(a +b ) -(a +b )-6=0,则 a +b 的值为 4.若方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,则
2

1 1 ? 的值为 x1 x2

5.若 9a-3b+c=0,a≠ 0, 则方程 ax +bx+c=0 必有一个根是___
2
2 2

2

____

6.已知 α ,β 是方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 的两个实数根,则α +β +2α +2β 的值为_________
2 7.若 方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 中, a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 和 a ? b ? c ? 0 ,则方程的根是(



(A)1,0 (B)-1,0 8.解方程,计算:[来源:学科网] (1) x ? 4 x ? 2 ? 0 ,
2 2

(C )1,-1

(D)无法确定 (3) ( x ? 3)2 ? 2 x( x ? 3) ? 0

(2) x ? 2 x ? 3 ? 0 ,


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