9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件:2-3-1 双曲线及其标准方程



第二章

圆锥曲线与方程

2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程

目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.了解双曲线的定义、标准方程. 2.掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、

c,能根据条件确定双曲线的标准方程.

新知视界
1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个

定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线
的焦距.

思考感悟 1.双曲线的定义中,常数为什么要小于 |F1F2|? 提示: ①如果定义中常数改为等于 |F1F2|,此时 动点的轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线 (包括端 点 ). ②如果定义中常数为 0,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. ③如果定义中常数改为大于 |F1F2|,此时动点轨 迹不存在.

2.平面内与两个定点 F1、F2的距离的差等于常数 (小于

|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线?
提示:不是,是双曲线的某一支.

在双曲线的定义中,P为动点,F1,F2分别为双曲
线的左、右焦点,则①|PF1|-|PF2|=2a,曲线只表示 双曲线的右支. ② | PF 1 | - | PF 2 | =- 2 a ,曲线只表示双曲线的左 支.

2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 x2 y2 - = 1(a>0,b>0) a2 b2 F1(- c,0), F2( c,0) 焦点在 y 轴上 y2 x2 - = 1(a>0,b>0) a2 b2 F1(0,- c), F2(0, c)

标准方程

焦点坐标 a, b, c 的

c2= a2+ b2 关系

思考感悟 x2 y2 y2 x2 如何判断方程 2- 2= 1(a>0, b>0)和 2- 2 = a b a b 1(a>0,b>0)所表示的双曲线的焦点的位置?

提示:在x2,y2的系数异号的前提下,如果x2项的 系数是正的,那么焦点在x轴上,如果y2项的系数是正

的,那么焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,
因此,不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上.

尝试应用
1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对 值为2,则点P的轨迹是( A.双曲线 )

B.双曲线的一支

C.两条射线
答案:C

D.一条射线

x2 y2 2.双曲线 - =1 的焦点坐标是( 3 2 A.(± 5,0) C.(± 1,0) B.(0,± 5) D.(0,± 1)

)

答案:A

3. 以 F1(-4,0)、 F2(4,0)为焦点, 且经过点 M(3, 15)的双曲线的标准方程为________.
x2 y2 解析:焦点在 x 轴上可设标准方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0).由双曲线的定义,得 ||MF1 |-|MF2|| =| 72+? 15?2- ?-1?2+? 15?2| =|8-4|=4=2a,

∴a=2. 又 c=4,∴b2=c2-a2=12. x2 y2 故双曲线的标准方程为 - =1. 4 12
x2 y2 答案: - =1 4 12

4.点(0,3)是双曲线ky2-8kx2=8的一个焦点,则k 的值为________.
解析: 双曲线 ky2- 8kx2= 8 化为标准方程 y2 x2 为 - = 1, 8 1 k k 8 1 ∵焦点在 y 轴上,∴ k>0,且 + = 9. k k ∴ k= 1.

答案:1

5.求适合下列条件的双曲线的标准方程. 4 10 (1)a= 4,且经过点 A(1, ); 3 (2)焦点在 y 轴上, 且过点(-4 2, 3 3), (4,3 2).

x2 y2 解: (1)若设所求双曲线方程为 2- 2= 1(a>0, a b x2 y2 b>0),则将 a= 4 代入,得 - 2= 1. 16 b 4 10 又∵点 A(1, )在双曲线上, 3 1 160 ∴ - 2 = 1. 16 9b 由此得 b2<0,∴不合题意,舍去.

y2 x2 若设所求双曲线方程为 2- 2= 1(a>0, b>0), a b y2 x2 4 10 则将 a= 4 代入得 - 2=1,代入点 A(1, ), 16 b 3 得 b2= 9, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - = 1. 16 9

(2)设所求双曲线方程为 mx2+ ny2= 1(mn<0). ∵点 (- 4 2, 3 3),(4,3 2)在双曲线上, 1 ? ? ?m=-16, ?32m+ 27n= 1, ∴? 解得? ? ?16m+ 18n= 1, ?n= 1. 9 ? y2 x2 ∴双曲线标准方程为 - = 1. 9 16

典 例 精 析 类型一 双曲线的定义的应用 [例 1] 在△ ABC 中,B(4,0),C(- 4,0),点 A 1 运动时满足 sinB- sinC= sinA,求 A 点的轨迹. 2 [分析 ] 为寻求动点 A 满足的条件,可结合正 弦定理进行解题.

[解]

1 ∵ sinB- sinC= sinA, 2

1 ∴由正弦定理得 b- c= a, 2 1 即 |AC|- |AB|= |BC|. 2 ∴ |AC|- |AB|= 4. ∴点 A 的轨迹是以 C、 B 为焦点的双曲线的右 x2 y2 支 (除去点 (2,0)),其方程为 - = 1(x>2). 4 12

[点评] (1)本题三角形中的角的关系转化为边的 关系,为利用双曲线的定义创造了条件.

(2)由于动点M到两定点A、B的距离的差为常数,
而不是差的绝对值为常数,因此,其轨迹只能是双曲 线的一支.这一点要特别注意!

迁移体验 1 (1)动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0) 的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是 ( A.双曲线 C.两条射线 B.双曲线的一支 D.一条射线 )

x2 y2 (2)双曲线 - = 1 上的点 P 到点 (5,0)的距离 16 9 为 15,则点 P 到点(- 5,0)的距离是( A. 7 C. 5 或 25 B.23 D.7 或 23 )

解析:(1)由已知得|PM|-|PN|=2=|MN|, ∴P点的轨迹是一条射线.

(2)设F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知:
||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,

解得|PF1|=7或23.
答案:(1)D (2)D

类型二 [例 2]

求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双

9 曲线过点(3,-4 2)和( ,5),求双曲线的标准方程. 4 x2 y2 (2) 求与双曲线 - = 1 有公共焦点,且过点 16 4 (3 2,2)的双曲线方程.

[分析] 可先设出双曲线的标准方程,再构造关于 a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方

程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用.

[解 ]

y2 x2 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2- 2 a b

?32 9 ? a2 -b2=1, = 1(a>0, b>0),则? 81 ?25 2- 2= 1, a 16 b ?
2 ? ?a = 16, 解得? 2 ? ?b = 9,

y2 x2 ∴双曲线的方程为 - = 1. 16 9

x2 y2 (2)解法一:设双曲线方程为 2- 2=1. a b 由题意易求得 c= 2 5. ? 3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2= 1. a b 又∵ a2+ b2= (2 5)2,∴ a2=12,b2= 8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - = 1. 12 8

x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - = 16-k 4+k 1(- 4<k<16), 将点 (3 2,2)代入得 k= 4,所以所求双曲 x2 y2 线方程为 - = 1. 12 8

[ 点评 ]

求双曲线的标准方程一般采用待定系数

法.若明确焦点位置时,可直接设出双曲线方程,若

无法判定双曲线的焦点位置,分两种情况讨论,或者
将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn<0).同时在解题时 应注意方法技巧的灵活运用.

迁移体验 2 (1)已知双曲线过 M(1,1), N(- 2,5)两点,求双曲线的标准方程; x2 y2 (2)求与双曲线 - = 1 有相同的焦点,且过 4 2 点 P(2,1)的双曲线的方程.

解: (1)设双曲线的方程为 Ax2+By2= 1(AB<0). ∵双曲线过 M(1,1),N(-2,5), 8 ? ? ?A=7, ?A+ B= 1, ∴? 解得? ? ?4A+ 25B= 1, ?B=-1, 7 ? x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 7 7 8

x2 y2 (2) 设所求双曲线的方程为 - = 4-λ 2+λ 1(- 2<λ<4). 4 1 ∵双曲线过(2,1),∴ - = 1, 4- λ 2+λ 解得 λ=- 4(舍)或 λ= 1, x2 y2 ∴所求方程为 - = 1. 3 3

类型三 [例 3]

双曲线中的焦点三角形 x2 y2 若 F1, F2 是双曲线 - = 1 的两个 9 16

焦点, P 是双曲线上的点,且 |PF1|· |PF2|= 32,试 求△ F1PF2 的面积.

[ 分析 ]

双曲线 双曲线方程 ――→ |PF1|- |PF2|=± 2a 的定义

平方 余弦定理 2 2 ――→ |PF1| +|PF2| 的值 ――→ ∠F1PF2=90° 面积公式 ――→ S△F1PF2

[解]

x2 y2 由双曲线方程 - =1,可知 9 16

a= 3, b= 4,c= a2+ b2=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|= ± 2a= ± 6,将 此式两边平方,得|PF1|2+ |PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36, ∴ |PF1|2+ |PF2|2=36+ 2|PF1|· |PF2 | = 36+ 2× 32=100.

如图1所示,在△F1PF2中,由余弦定理,得

图1

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2 | 100-100 = =0,∴∠F1PF2=90° , 2|PF1|· |PF2 | 1 1 ∴S△F1PF2= |PF1 |· |PF2|= ×32=16. 2 2

[点评] 在解决与焦点三角形有关的问题的时候, 首先要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.其次是

要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算.在运算
过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应 用.

x2 y2 迁移体验 3 双曲线 - =1 上有一点 P, F1、 16 9 π F2 是双曲线的焦点,且∠F1PF2= ,则△PF1F2 面积 3 为________.

解析: ?||PF1|- |PF2||=8 ? ∵? , π 2 2 |PF1| +|PF2| - 2|PF1|· |PF2|· cos =100 ? 3 ? ∴ |PF1|· |PF2|=36, 1 π ∴ S= |PF1|· |PF2 |· sin =9 3. 2 3
答案:9 3

类型四 [例4]

双曲线实际应用 如图2所示,某村在P处有一堆肥,今要把

此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中
去,已知 PA = 100 m , PB = 150 m , BC = 60 m , ∠ APB = 60 °,能否在田中确定一条界线,使位于界 线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送 肥较近?如果能,请说出这条界线是什么曲线,并求 出它的方程.

图2

[分析]

首先确定分界线上的任一点应是沿PA,

PB两条路线距离相等的点,然后再进行讨论即可.

[解]

田地ABCD中的点可分为三类:第一类沿PA

送肥较近,第二类沿 PB 送肥较近,第三类沿 PA和 PB

送肥一样远近.由题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M是界线上的任一点, 则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值). 故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支.

若以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标 x2 y2 原点,建立直角坐标系,则所求双曲线为 2- 2= 1, a b 其中 a= 25, 2c= |AB|= 1002+ 1502- 2× 100× 150cos60° = 50 7,∴ c= 25 7, b2= c2- a2= 3750, x2 y2 因此,双曲线方程为 - =1 625 3750 (25≤ x≤ 35, y≥ 0), 即为所求界线的方程.

[点评] 有关双曲线的实际应用题,关键是审清题 意,根据题目中所给的条件列出方程或等式,如果没

有坐标系要先建系,再根据双曲线的定义用待定系数
法可解.

迁移体验4

如图3,B地在A地的正东方向4 km处,

C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸

PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.
现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转 运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用都 是a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是 ( )

图3 A. (2 7-2)a 万元 C. (2 7+1)a 万元 B. 5a 万元 D.(2 3+ 3)a 万元

解析:建立直角坐标系如图 4,由已知可求 C(3, 3),又|MA|-|MB|=2<|AB|,M 点轨迹是双曲线 x2 y2 - =1 的右支,总费用=a|MB|+a|MC|=a(|MB|+ 3 |MC|).

图4

又 |MB|+ |MC|= |MA|- 2+ |MC|≥|AC|- 2=2 7 -2,当 M、A、C 三点共线时等号成立,总费用最 低为(2 7-2)a 万元.
答案:A

思悟升华

1.双曲线的定义
(1) 在定义中,必须是一个动点到两定点距离的差的 绝对值,而不是距离的差. (2)要注意常数要小于|F1F2|,当常数等于|F1F2|时,轨 迹为两条射线,当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在,在学 习中与椭圆类比记忆. (3) 注意常数不能为 0 ,为 0 时轨迹为线段 F1 F 2 的垂直

平分线.

2.双曲线的标准方程 (1)双曲线有两种形式的标准方程:焦点在 x 轴或 x2 y2 在 y 轴.若焦点在 x 轴,方程为 2- 2= 1(a>0, b>0); a b y2 x2 若焦点在 y 轴,方程为 2- 2= 1(a>0,b>0).焦点的位 a b 置,由 x2, y2 的系数正负决定,焦点位置在 x2 或 y2 系 数为正的坐标轴上,若焦点位置不好确定,则方程可 设为 mx2+ ny2= 1(mn<0).

(2)无论焦点在什么轴上, a、 b、 c均满足 c2=a2+ b2,与椭圆要区别记忆.

3.双曲线标准方程的求法
(1) 定义法:根据已知条件,若判断出点的轨迹为

双曲线,且定值2a易求,则考虑运用定义法.

(2)待定系数法:若告诉所求曲线为双曲线,则考 虑运用待定系数法.首先判断焦点所在坐标轴,然后

设出标准方程,再找出a、b、c满足的关系式,最后
解方程组即可.

课时作业 13



更多相关文章:
双曲线定义及标准方程(第1课时)
双曲线定义及标准方程(第1课时)_数学_高中教育_教育...人教 A 版普通高中课程标准实验教科书选修 2-1 第...教学总结反思: (八) .课后作业:红对勾:本节课基础...
更多相关标签:
抛物线及其标准方程    双曲线的标准方程教案    双曲线的标准方程    双曲线的标准方程ppt    双曲线标准方程    双曲线的标准方程课件    双曲线的标准方程推导    双曲线标准方程推导    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图